八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊線段的垂直平分線PPT教學(xué)課件

線段的垂直平分線,1,如圖，ABC和 關(guān)于直線MN對(duì)稱，點(diǎn) 、 、 分別是點(diǎn) A、B、C 的對(duì)稱點(diǎn),線段 、 、 與直線MN有什么關(guān)系?,探究一, ,將和 沿折疊 后，點(diǎn)與點(diǎn) 重合，于是有:,2,探究二,1、用上述方法，你還能得其它的結(jié)論嗎？,BD=,CE=,MDB= ,MEC= ,點(diǎn)P是 的中點(diǎn),MN,結(jié)論,對(duì)稱軸所在的直線經(jīng)過對(duì)稱點(diǎn)連線段的 中點(diǎn)，并且垂直于這條直線線段,E,D,3,軸對(duì)稱的性質(zhì)：,1.對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段被對(duì)稱軸垂直平分。,2.對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。,4,線段的垂直平分線的定義,經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段直線，叫做這條線段的垂直平分線（又名線段的中垂線）,軸對(duì)稱中的垂直平分線性質(zhì):,1、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線,2、如果一 個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線,L垂直平分,L垂直平分,L垂直平分,5,探究三 請同學(xué)們動(dòng)手做一 做,L垂直平分AB,P1A=P1B P2B=P2B .,線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,垂直平分線的性質(zhì)定理,你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？,6,如圖，MNAB，垂足為點(diǎn)C，AC=CB，點(diǎn)P是直線MN上的任意一點(diǎn).,已知：,PA=PB,求證：,證明：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。,證明: MNAB（已知） PCA=PCB(垂直的定義) 在PCA和PCB中, PCA PCB(SAS),PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),7,A,C,M,N,P,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),上述證明有什么缺陷?,PCA與PCB將不存在.,PA與PB還相等嗎?,相等!,此時(shí),PA=CA,PB=CB 已知AC=CB PA=PB,B,幾何語言表達(dá)： MN AB于C，且AC=BC,點(diǎn)P在MN上 PA=PB,線段垂直平分線的性質(zhì)定理:,8,用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一 個(gè)簡易的“弓”，“箭”通過木棒中央的孔射出去，怎樣才能保持射出去的方向與木棒垂直呢？為什么,C,B,A,只要AB=BC就可以,與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上,點(diǎn)B在線段AC的垂直平分線上, AB=BC,探究三,垂直平分線的性質(zhì)逆定理,9,線段垂直平分線的逆定理：,與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。,你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？,結(jié)論：,C,幾何語言表達(dá)： PA=PB 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,此定理可以作為垂直平分線的判定定理,10,已知:,如圖,PA=PB,求證:,點(diǎn)P在線段AB的垂直 平分線上.,過點(diǎn)P作PCAB，垂足為點(diǎn)C.,在Rt PCA和Rt PCB中 PA=PB，PC=PC Rt PCA Rt PCB(H.L.),PC是線段AB的垂直平分線.即點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.,證明：,到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。,證明：,故PCA=PCB=90°.,11,1.垂直平分線的定義：MN是AB的垂直平分線 ， ； 2.垂直平分線的性質(zhì)：MN是AB的垂直平分線 （ ） 3.垂直平分線的判定：PAPB （ ）,MNAB,ADBD,PAPB,線段垂直平分線上點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn) 的距離相等,P在AB的垂直平分線上,與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距 離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上,4、線段垂直平分線的集合定義：線段垂直平分線可以看作是與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。,12,13,作線段的垂直平分線一.,已知：線段AB. 求作：線段AB的垂直平分線.,C,D,作法：,（2）作直線CD. CD即為所求.,原理：線段垂直平分線的逆定理.與兩點(diǎn)確定一條直線,（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于 AB的長為半徑作弧，兩弧交于C，D兩點(diǎn).,14,作線段的垂直平分線方法二.,已知：線段AB. 求作：線段AB的垂直平分線.,C,M,作法：,（3）連直線CM. CM即為所求.,（2）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于 AB的長為半徑作弧，兩弧交于C點(diǎn).,（1）取線段AB的中點(diǎn)M,原理：線段垂直平分線的逆定理.與兩點(diǎn)確定一條直線,15,1.如圖，A，B是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個(gè) 公共汽車站.使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽 車站應(yīng)建在什么地方？,【提示】連接AB，作AB的垂直平分線，則與公路的 交點(diǎn)就是要建的公共汽車站.,作圖與探索,16,2. 有A，B，C三個(gè)村莊，現(xiàn)準(zhǔn)備要建一所學(xué)校，要求學(xué)校到三個(gè)村莊的距離相等，請你確定學(xué)校的位置.,A,B,C,【提示】學(xué)校在連接任意兩點(diǎn)的兩條線段的垂直平分線的交點(diǎn)處.,17,利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，然后說說你發(fā)現(xiàn)了什么?,三角形三邊垂直平分線的性質(zhì),發(fā)現(xiàn)：三角形三邊 的垂直平分線交于一點(diǎn),18,證明結(jié)論：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn).,已知：在ABC中，設(shè)AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)O. 求證：O點(diǎn)在AC的垂直平分線上,證明：連接AO，BO，CO 點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，OA=OB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等)同理OB=OCOA=OCO點(diǎn)在AC的垂直平分線上(到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn).在這條線段的垂直平分線上)AB、BC、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)O,19,3.如圖，ABC中，邊AB，BC的垂直平分線交于點(diǎn)P. （1）求證：PA=PB=PC. （2）點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平分線上呢？由此你能得出什么結(jié)論？,A,P,C,B,結(jié)論：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.,20,定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。,三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)定理,21,3已知：ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AB的垂直平分線交AD于O求證：OA=OB=OC,開拓創(chuàng)新 試一試,證明：AB=AC，AD是BC的中線，AD垂直平分BC(等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊)又AB的垂直平分線與交于點(diǎn)OOB=OC=OA(三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等),http:/www.bnup.com.cn,分別作出直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說明交點(diǎn)分別在什么位置.,銳角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在斜邊上；鈍角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形外,23,如圖，如果ACD的周長為18cm，ABC的周長為28cm， DE是BC的垂直平分線,根據(jù)這些條件，你可以求出線段BC的長?,（1）ACD的周長AD CDAC18cm. （2）ABC的周長ABACBC28cm.,（3）由DE是BC的垂直平分線得：BDCD；所以ADCD ADBDAB.,（4）由（2）中式子（1）中式子得BC10cm.,【解析】,課前熱身-求邊,24,1.如圖，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，求BCD的周長.,D,C,B,E,A,25,2.已知:如圖,在ABC中,DE是AC的垂直平分線, AE=3cm, ABD的周長為13cm,則ABC 的周長 為 cm,A,B,D,C,E,3cm,19,13cm,26,3.如圖,CD、EF分別是AB、BC的垂直平分線.請你指出圖中相等的線段有哪些?,AD =BD,CF = BF,AC = BC,CE = BE,1,2,3,CF =DF,即:BF=CF=DF,27,4.如右上圖，在銳角三角形ABC中,A=50°，AC、BC的垂直平分線交于點(diǎn)O，則1_2，3_4，5_6，1+4=_度，5+6=_度，BOC=_度.,F,E,O,課前熱身-求角,28,5、如圖，在ABC中， ° °，的垂直平分線與 交于點(diǎn)，則的度數(shù)是,29,6.如右上圖，在ABC中，DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線，則B_1,C _ 2,若BAC=126°，則EAG=_度.,30,問題:如圖,A、B、C三個(gè)村莊合建一所學(xué)校,要求校址P點(diǎn)距離三個(gè)村莊都相等.請你幫助確定校址.,A,B,C,點(diǎn)P為校址,課前熱身-作圖,31,7.如圖,已知點(diǎn)A、B和直線l,在直線 l 上求作一點(diǎn)P,使PA=PB.,l,點(diǎn)P為所求作的點(diǎn),32,8.如圖，BD AC，垂足為點(diǎn)E，AE=CE.求證：AB+CD=AD+BC.,證明： BD AC，垂足為點(diǎn)E，AE=CE AB=CB，AD=CD.（線段垂直平分線的性質(zhì)定理） AB+CD=AD+BC,課前熱身-證明,33,9.如圖，在ABC中，已知點(diǎn)D在BC上，且BD+AD=BC.求證：點(diǎn)D在AC的垂直平分線上。,證明： BD+AD=BC=BD+DCAD=DC點(diǎn)D在AC的垂直平分線上（線段垂直平分線的判定定理）,34,10.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD 平分ABC交AC于D. 求證:D點(diǎn)在AB的垂直平分線上.,證明:,30o, C=90o, A=30o(已知) ABC=60o(三角形內(nèi)角和定理), A= ABD (等量代換), D點(diǎn)在AB的垂直平分線上.(和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.), AD=BD(等角對(duì)等邊),35,11.已知:如圖,線段CD垂直平分AB,AB平分CAD. 求證:ADBC.,證明:,線段CD垂直平分AB(已知), CA=CB(線段垂直平分線的 性質(zhì)定理), 1= 3(等邊對(duì)等角),又 AB平分CAD(已知) 1= 2(角平分線的定義), 2= 3(等量代換), AD BC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行),36, 1+ 2= 4(等邊對(duì)等角),又 4= B+ 3(三角形的一個(gè)外角等于與它 不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和), 1+ 2= B+ 3, AD平分BAC(已知) 2= 3(角平分線的定義), 1= B 即 CAF= B.,證明: EF垂直平分AD(已知), AF=DF(線段垂直平分線的性質(zhì)定理),12.已知:如圖,AD平分BAC,EF垂直平分AD交BC的延長線于F,連結(jié)AF.求證: CAF= B.,37,