高考數(shù)學(xué) 理科一輪【學(xué)案41】空間幾何體的表面積與體積含答案

學(xué)案41空間幾何體的表面積與體積導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積的計(jì)算公式.2.了解球、柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算公式.3.培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和計(jì)算能力，會(huì)利用所學(xué)公式進(jìn)行必要的計(jì)算.4.提高認(rèn)識(shí)圖、理解圖、應(yīng)用圖的能力自主梳理1多面體的表面積(1)設(shè)直棱柱高為h，底面多邊形的周長(zhǎng)為c，則S直棱柱側(cè)_.(2)設(shè)正n棱錐底面邊長(zhǎng)為a，底面周長(zhǎng)為c，斜高為h，則S正棱錐側(cè)_.(3)設(shè)正n棱臺(tái)下底面邊長(zhǎng)為a，周長(zhǎng)為c，上底面邊長(zhǎng)為a，周長(zhǎng)為c，斜高為h，則S正棱臺(tái)側(cè)_.(4)設(shè)球的半徑為R，則S球_.2幾何體的體積公式(1)柱體的體積V柱體_(其中S為柱體的底面面積，h為高)特別地，底面半徑是r，高是h的圓柱體的體積V圓柱r2h.(2)錐體的體積V錐體_(其中S為錐體的底面面積，h為高)特別地，底面半徑是r，高是h的圓錐的體積V圓錐r2h.(3)臺(tái)體的體積V臺(tái)體_(其中S，S分別是臺(tái)體上、下底面的面積，h為高)特別地，上、下底面的半徑分別是r、r，高是h的圓臺(tái)的體積V圓臺(tái)h(r2rrr2)(4)球的體積V球_(其中R為球的半徑)自我檢測(cè)1已知兩平行平面，間的距離為3，P，邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC在平面內(nèi)，則三棱錐PABC的體積為()A. B.C. D.2(20xx唐山月考)從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去4個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐ABCD，則它的表面積與正方體表面積的比為()A.3 B.2C.6 D.63設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，P，Q分別是側(cè)棱AA1，CC1上的點(diǎn)，且PAQC1，則四棱錐BAPQC的體積為()A.V B.VC.V D.V4(20xx平頂山月考)下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是()A9 B10C11 D125(20xx陜西)某幾何體的三視圖如下，則它的體積是()A8 B8C82 D.探究點(diǎn)一多面體的表面積及體積例1三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，一條側(cè)棱與底面相鄰兩邊都成60角，求此棱柱的側(cè)面積與體積變式遷移1(20xx煙臺(tái)月考)已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都等于2，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則三棱柱的側(cè)面面積為_探究點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)體的表面積及體積例2如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積(其中BAC30)及其體積變式遷移2直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上若ABACAA12，BAC120，則此球的表面積等于_探究點(diǎn)三側(cè)面展開圖中的最值問(wèn)題例3如圖所示，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABa，BCb，CC1c，并且a>b>c>0.求沿著長(zhǎng)方體的表面自A到C1的最短線路的長(zhǎng)變式遷移3(20xx杭州月考)如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1 .P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CPPA1的最小值是_1有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積的計(jì)算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素2當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無(wú)法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時(shí)，我們可采用“割”、“補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡(jiǎn)單幾何體(柱、錐、臺(tái))，或化離散為集中，給解題提供便利(1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個(gè)易求體積的幾何體，進(jìn)而求之(2)幾何體的“補(bǔ)形”：與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長(zhǎng)方體、正方體等另外補(bǔ)臺(tái)成錐是常見的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法，由臺(tái)體的定義，我們?cè)谟行┣闆r下，可以將臺(tái)體補(bǔ)成錐體研究體積 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(20xx安徽)一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A48 B328C488 D802已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面相切，若這個(gè)球的體積是，則這個(gè)三棱柱的體積是()A96 B16 C24 D483已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，長(zhǎng)為定值的線段EF在棱AB上移動(dòng)(EF<a)，若P是A1D1上的定點(diǎn)，Q是C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，則四面體PQEF的體積是()A有最小值的一個(gè)變量B有最大值的一個(gè)變量C沒(méi)有最值的一個(gè)變量D一個(gè)不變量4(20xx全國(guó))設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()Aa2 B.a2C.a2 D5a25(20xx北京)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是()A8 B6 C10 D8二、填空題(每小題4分，共12分)6(20xx馬鞍山月考)如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐PABCDEF，則此正六棱錐的側(cè)面積是_7(20xx淄博模擬)一塊正方形薄鐵片的邊長(zhǎng)為4 cm，以它的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，一邊長(zhǎng)為半徑畫弧，沿弧剪下一個(gè)扇形(如圖)，用這塊扇形鐵片圍成一個(gè)圓錐筒，則這個(gè)圓錐筒的容積等于_cm3.8(20xx四川)如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是_三、解答題(共38分)9(12分)(20xx佛山模擬)如圖組合體中，三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面ABB1A1是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個(gè)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求四棱錐A1BCC1B1與圓柱的體積比10(12分)(20xx撫順模擬)如圖，四面體ABCD中，ABC與DBC都是邊長(zhǎng)為4的正三角形(1)求證：BCAD；(2)試問(wèn)該四面體的體積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)棱長(zhǎng)AD的大??；若不存在，說(shuō)明理由11(14分)(20xx錦州期末)如圖，多面體ABFEDC的直觀圖及三視圖如圖所示，M，N分別為AF，BC的中點(diǎn)(1)求證：MN平面CDEF；(2)求多面體ACDEF的體積學(xué)案41空間幾何體的表面積與體積自主梳理1(1)ch(2)nahch(3)n(aa)h(cc)h(4)4R22.(1)Sh(2)Sh(3)h(SS)(4)R3自我檢測(cè)1D由題意，SABC，三棱錐的高h(yuǎn)3，V三棱錐PABCSh.2A設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則正四面體棱長(zhǎng)ABa，S正四面體表4(a)22a2.S正方體表6a2，四面體的表面積與正方體表面積的比為3.3C4.D據(jù)三視圖可知該幾何體由球和圓柱體組成，如圖所示，故該幾何體的表面積為SS圓柱S球26412.5A由三視圖可知該幾何體是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，所以V2328，故選A.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引對(duì)于斜棱柱表面積及體積的求解必須求各個(gè)側(cè)面的面積和棱柱的高解決此類斜棱柱側(cè)面積問(wèn)題的關(guān)鍵：在已知棱柱高的條件下，用線面垂直線線垂直的方法作出各個(gè)側(cè)面的高，并在相應(yīng)的直角三角形中求解側(cè)面的高解如圖，過(guò)點(diǎn)A1作A1O面ABC于點(diǎn)O，連接AO.過(guò)點(diǎn)A1作A1EAB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A1作A1FAC于點(diǎn)F，連接EO，F(xiàn)O，易得OEAB，OFAC，AA1和AB與AC都成60角，A1AEA1AF，A1EA1F.A1O面ABC，EOFO.點(diǎn)O在BAC的角平分線上，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，ABC是正三角形，BCAD.BCAA1.AA1BB1，側(cè)面BB1C1C是矩形，三棱柱的側(cè)面積為S234sin 60341212.AA13，AA1與AB和AC都成60角，AE.BAO30，AO，A1O.三棱柱的體積為V1612.變式遷移124解析如圖所示，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，連接A1D，AD.ABC為等邊三角形，ADBC，BC平面A1AD，BCA1A，又A1AB1B，BCB1B，又側(cè)面與底面邊長(zhǎng)都等于2，四邊形BB1C1C是正方形，其面積為4.作DEAB于E，連接A1E，則ABA1E，又AD，DE，AE，A1E，S四邊形ABB1A1，S三棱柱側(cè)24.例2解題導(dǎo)引解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算求全面積時(shí)不要忘記“內(nèi)表面”解如圖所示，過(guò)C作CO1AB于O1，在半圓中可得BCA90，BAC30，AB2R，ACR，BCR，CO1R，S球4R2，S圓錐AO1側(cè)RRR2，S圓錐BO1側(cè)RRR2，S幾何體表S球S圓錐AO1側(cè)S圓錐BO1側(cè)R2R2R2，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為R2.又V球R3，V圓錐AO1AO1COR2AO1，V圓錐BO1BO1COR2BO1，V幾何體V球(V圓錐AO1V圓錐BO1)R3R3R3.變式遷移220解析在ABC中，ABAC2，BAC120，可得BC2，由正弦定理，可得ABC外接圓的半徑r2，設(shè)此圓圓心為O，球心為O，在RtOBO中，易得球半徑R，故此球的表面積為4R220.例3解題導(dǎo)引本題可將長(zhǎng)方體表面展開，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)是兩點(diǎn)間的最短距離來(lái)解答解將長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面展開有下列三種可能，如圖所示三個(gè)圖形甲、乙、丙中AC1的長(zhǎng)分別為：，a>b>c>0，ab>ac>bc>0. 故最短線路的長(zhǎng)為.變式遷移35解析將BCC1沿BC1線折到面A1C1B上，如圖所示連接A1C即為CPPA1的最小值，過(guò)點(diǎn)C作CD垂直A1C1延長(zhǎng)線交于D，BCC1為等腰直角三角形，CD1，C1D1，A1DA1C1C1D7.A1C 5 .課后練習(xí)區(qū)1C由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長(zhǎng)為4的正方形；上底面是長(zhǎng)為4、寬為2的矩形；兩個(gè)梯形側(cè)面垂直于底面，上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為4，高為4；另兩個(gè)側(cè)面是矩形，寬為4，長(zhǎng)為.所以S表4224(24)4242488.2D由R3，R2.正三棱柱的高h(yuǎn)4.設(shè)其底面邊長(zhǎng)為a，則a2，a4.V(4)2448.3D4.B5C將三視圖還原成幾何體的直觀圖如圖所示它的四個(gè)面的面積分別為8,6,10,6，故最大的面積應(yīng)為10.66解析取底面中心為O，AF中點(diǎn)為M，連接PO、OM、PM、AO，則POOM，OMAF，PMAF，OAOP2，OM，PM.S側(cè)626.7.解析圍成圓錐筒的母線長(zhǎng)為4 cm，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2r24，r1，圓錐的高h(yuǎn).V圓錐r2h(cm3)82R2解析方法一設(shè)圓柱的軸與球的半徑的夾角為，則圓柱高為2Rcos ，圓柱底面半徑為Rsin ，S圓柱側(cè)2Rsin 2Rcos 2R2sin 2.當(dāng)sin 21時(shí)，S圓柱側(cè)最大為2R2，此時(shí)，S球表S圓柱側(cè)4R22R22R2.方法二設(shè)圓柱底面半徑為r，則其高為2.S圓柱側(cè)2r2，S圓柱側(cè)4.令S圓柱側(cè)0，得rR.當(dāng)0<r<R時(shí)，S>0；當(dāng)R<r<R時(shí)，S<0.當(dāng)rR時(shí)，S圓柱側(cè)取得最大值2R2.此時(shí)S球表S圓柱側(cè)4R22R22R2.方法三設(shè)圓柱底面半徑為r，則其高為2，S圓柱側(cè)2r2442R2(當(dāng)且僅當(dāng)r2R2r2，即rR時(shí)取“”)當(dāng)rR時(shí)，S圓柱側(cè)最大為2R2.此時(shí)S球表S圓柱側(cè)4R22R22R2.9解設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為h，當(dāng)點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)時(shí)，三角形ABC的面積為r2，三棱柱ABCA1B1C1的體積為r2h，三棱錐A1ABC的體積為r2h，四棱錐A1BCC1B1的體積為r2hr2hr2h，圓柱的體積為r2h，(10分)故四棱錐A1BCC1B1與圓柱的體積比為23.(12分)10(1)證明取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，EF，ABC與DBC都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，AEBC，DEBC.又AEDEE，BC平面AED.又AD面AED，BCAD.(6分)(2)解由已知得，AED為等腰三角形，且AEED2，設(shè)ADx，F(xiàn)為棱AD的中點(diǎn)，則EF，SAEDx ，(8分)VSAED(BECE) (0<x<4)，當(dāng)x224，即x2時(shí)，Vmax8，該四面體存在最大值，最大值為8，(11分)此時(shí)棱長(zhǎng)AD2.(12分)11(1)證明由多面體ABFEDC的三視圖知，三棱柱AEDBFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DAAE2，DA平面ABFE，面ABFE，ABCD都是邊長(zhǎng)為2的正方形(3分)連接EB，則M是EB的中點(diǎn)，在EBC中，MNEC，且EC平面CDEF，MN平面CDEF，MN平面CDEF.(6分)(2)解DA平面ABFE，EF平面ABFE，EFAD.又EFAE，AEADA，EF平面ADE.又DE平面ADE，EFDE，(8分)四邊形CDEF是矩形，且平面CDEF平面DAE.取DE的中點(diǎn)H，連接AH，DAAE，DAAE2，AH，且AH平面CDEF.(12分)多面體ACDEF的體積VSCDEFAHDEEFAH.(14分)