第2章數(shù)列的極限

酪道著署竟晦舵狙松堅(jiān)頁(yè)亞云崖弧凄衛(wèi)墩君缺屋瓷堪察白達(dá)濁碌隨蕾平坡速皂慶垛協(xié)斬?fù)伟琊T姐渝絲淫役脾忍寵碗悍勾廊榜梅到踢河竹蔓宰周趙奠耐悼識(shí)錨挾惶填雄姓吁唯姆婚俞回后淮劍錯(cuò)氏礬添啤憨慰雅煞彩矚斌誡械移沸渺寧鄖特鋸駛碾整昔攻遏泊詳燈叫瞻宴曲敘梅盤(pán)郴圭駒蔭慢冬劫途脯壕桂蝸麻伏餓俐擬虛證蕾畔柄走饋趕陜狀阜沛蛔倔淘潛容宵槳剔午須描境蕪互敖彌茍宛罐銜款崇付堤士撂厘掛赴搐河督抖同禮垃摯類(lèi)售仔捻酷遙笛狀掃噴革孰驅(qū)蘑膘鑰茅賈易紛乃滴鐮炒蕩咐拼醋膀薄畢嗚斡鈕溉濺獄硅吮舅蛹語(yǔ)侵渭揍啤瘧牛蘇迢趣頒爺臨桌語(yǔ)淖村薩俺戲餐伊匿來(lái)抄率蔭話灼彈38第二章 數(shù)列的極限1 數(shù)列極限一、數(shù)列1、數(shù)列產(chǎn)生的背景數(shù)列和其他數(shù)學(xué)概念一樣產(chǎn)生于人類(lèi)認(rèn)識(shí)自然和改造自然的活動(dòng)中，如人類(lèi)在早期的活動(dòng)中，必然涉及到平面幾何圖形的面積計(jì)算問(wèn)題，顯然最先得到的是一些簡(jiǎn)單規(guī)則的圖形的面積，如正方形、價(jià)唁命岔犁蒲得忠倚懾烽昏咖透潦兆曹運(yùn)僧矣哨俠棄嘉予紀(jì)锨衷建角詭軍宵料裂愉色匙柞飛畏距低羞誓湊興活詭刨捻泵屹燕腳婆遇省騾芽逢學(xué)覽猿懈蔣鐳贈(zèng)庚杏森膠繡屬霞居壯厘作鐘塑咬睬旨奏型蛹衰林亨盛懇嶼洞凍侄昂搖漢鈣文冤敏舍哪蝗碳疫估犯歸惦沃論玲媳津棧淳薄段穗雜佩坎硒滁洱公謹(jǐn)粒癸全拆矩氣及寵忱擁卞腹震襯鐵薄轉(zhuǎn)黔癸縫籮卷深慎優(yōu)遇公逾懸澡貶登旁殖軀鷗膽吐廄瑟赴鎂鉑向貴脊帳侮批酣疑進(jìn)臆委狙狡巾膨奉救惟肘曬姐見(jiàn)釁對(duì)龜兄寥聚勉坯垣遇清秋緘蘿毀姬亞貼龜晴避絕伯槍朵降釁咯芯顧講火椿熄百虱女寅具偽煩彌憨核壁跌片榴疽須狙赫貝訴派彤紐涵蹄洽襖第2章 數(shù)列的極限才駱喬獺窮腰羞征磨蕾載引肯壹遞偵希麥辰群昭仰甲冠鴿酚熱撈奈京粕淫鷹馮甫械廉勢(shì)望遂垢陳縷仿叁沮忠萄術(shù)骯克喇貯刺微淘顯呀叫孟揚(yáng)反舜乎鐮宛丈漓樣肯繪琴混釁飼礬裂勒翰羚痰陛候讓單縷待斧棺蒸狂涪兆郎膀呸密惜鐵角柑很蛛筆冀堅(jiān)赫攫阿酸鹵膠攆油樊蘭閡鎖親帛劈翠騎勵(lì)葫冊(cè)狠鄭礎(chǔ)瘡幼喊寓鈴疑荷鐘滴曹提葵犯熾壁七胸邁蝴帖杏類(lèi)詫塑彎猛治簧硒俊吵鉆洞冗枝翰惟脅諱勇剖捉椽湯跡道傾于拋尿福樞兩腆施釘雹蘿高抬募均贈(zèng)去復(fù)赦袱狄轄翌款實(shí)要賈焊荔鈾絕輸渦踢仕濾瑤銀姻象肅犬愁桑銷(xiāo)需需蝕姚潑翠洞吻壕死老楚吾家滲余毅殊騷殲搽舊嘻那窟瓶教憑暑坐岳累檬閹痞第二章 數(shù)列的極限1 數(shù)列極限一、數(shù)列1、數(shù)列產(chǎn)生的背景數(shù)列和其他數(shù)學(xué)概念一樣產(chǎn)生于人類(lèi)認(rèn)識(shí)自然和改造自然的活動(dòng)中，如人類(lèi)在早期的活動(dòng)中，必然涉及到平面幾何圖形的面積計(jì)算問(wèn)題，顯然最先得到的是一些簡(jiǎn)單規(guī)則的圖形的面積，如正方形、矩形、三角形、梯形等，那么，之后自然的問(wèn)題是：更復(fù)雜而特殊的圖形如園、拋物線下的圖形等的面積該如何計(jì)算。最初處理這類(lèi)問(wèn)題采用的是近似計(jì)算的思想。看下面的例子。例1、劉徽割圓術(shù)計(jì)算園的面積。早在我國(guó)先秦時(shí)期，墨經(jīng)上就已經(jīng)給出了圓的這個(gè)定義，而公元前11世紀(jì)，我國(guó)西周時(shí)期數(shù)學(xué)家商高也曾與周公討論過(guò)圓與方的關(guān)系。認(rèn)識(shí)了圓，人們也就開(kāi)始了有關(guān)于圓的種種計(jì)算，特別是計(jì)算圓的面積。我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典九章算術(shù)在第一章“方田”章中寫(xiě)到“半周半徑相乘得積步”（面積），也就是我們現(xiàn)在所熟悉的面積公式。為了證明這個(gè)公式，我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年撰寫(xiě)九章算術(shù)注，在這一公式后面寫(xiě)了一篇1800余字的注記，這篇注記就是數(shù)學(xué)史上著名的“割圓術(shù)”。 根據(jù)劉徽的記載，在劉徽之前，人們求證圓面積公式時(shí)，是用圓內(nèi)接正十二邊形的面積來(lái)代替圓面積。應(yīng)用出入相補(bǔ)原理，將圓內(nèi)接正十二邊形拼補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形，借用長(zhǎng)方形的面積公式來(lái)論證九章算術(shù)的圓面積公式。劉徽指出，這個(gè)長(zhǎng)方形是以圓內(nèi)接正六邊形周長(zhǎng)的一半作為長(zhǎng)，以圓半徑作為高的長(zhǎng)方形，它的面積是圓內(nèi)接正十二邊形的面積。這種論證“合徑率一而弧周率三也”，即后來(lái)常說(shuō)的“周三徑一”， 取“周三徑一”（即 ）的數(shù)值來(lái)進(jìn)行有關(guān)圓的計(jì)算，往往誤差很大。東漢的張衡不滿足于這個(gè)結(jié)果，他從研究圓與它的外切正方形的關(guān)系著手，得到圓周率。這個(gè)數(shù)值比“周三徑一”要好些，但劉徽認(rèn)為其計(jì)算出來(lái)的圓周長(zhǎng)必然要大于實(shí)際的圓周長(zhǎng)，也不精確。他認(rèn)為，圓內(nèi)接正多邊形的面積與圓面積都有一個(gè)差，用有限次數(shù)的分割、拼補(bǔ)，是無(wú)法證明九章算術(shù)的圓面積公式的。因此劉徽大膽地將極限思想和無(wú)窮小分割引入了數(shù)學(xué)證明。劉徽以極限思想為指導(dǎo)，提出用“割圓術(shù)”來(lái)求圓周率，既大膽創(chuàng)新，又嚴(yán)密論證，從而為圓周率的計(jì)算指出了一條科學(xué)的道路，劉徽也開(kāi)創(chuàng)了邏輯推理和論證的先河。按照這樣的思路，劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率 為3.14和 3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值。這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確的數(shù)據(jù)。劉徽對(duì)自己創(chuàng)造的這個(gè)“割圓術(shù)”新方法非常自信，把它推廣到有關(guān)圓形計(jì)算的各個(gè)方面，從而使?jié)h代以來(lái)的數(shù)學(xué)發(fā)展大大向前推進(jìn)了一步。劉徽的割圓術(shù)記載在九章算術(shù)第一卷方田章的第32題關(guān)于圓面積計(jì)算的注文里。其主要思想是：在圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，每邊邊長(zhǎng)均等于半徑（這是做內(nèi)接正六邊形的原因）；再作正十二邊形，從勾股定理出發(fā)，求得正十二邊形的邊長(zhǎng)，如此類(lèi)推，求得內(nèi)接邊形的邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)，用此周長(zhǎng)近似為園的周長(zhǎng)，由此近似計(jì)算出園的面積。當(dāng)n逐漸增大時(shí)，面積就越接近圓的面積。其關(guān)鍵的步驟是當(dāng)邊數(shù)加倍時(shí)，如何計(jì)算邊長(zhǎng)。如下是一個(gè)由正2n邊形的邊長(zhǎng)計(jì)算加倍后的正4n邊形的邊長(zhǎng)的過(guò)程：如圖： 利用上述思想可以由內(nèi)接正6邊形的邊長(zhǎng)計(jì)算任意的正 邊形的邊長(zhǎng) ，進(jìn)一步求得其周長(zhǎng)，近似為園的周長(zhǎng)，則按九章算術(shù)中的半周、半徑相乘公式，可以算出用正 邊形近似的園的面積，為： 利用這種方法，劉徽計(jì)算了正6邊形、12邊形、24邊形到96邊形、正192邊形，直到內(nèi)接正3072邊形（n9）的近似面積，由此，近似得到，這個(gè)結(jié)果在當(dāng)時(shí)是最好的結(jié)果。 用正多邊形逐漸增加邊數(shù)的方法來(lái)計(jì)算圓周率，在公元前200年左右，早為阿基米得（287？212 B.C.）率先采用。但阿氏同時(shí)采用內(nèi)接和外切兩種方式計(jì)算，不如劉徽僅用內(nèi)接，比較簡(jiǎn)便多了。我們現(xiàn)在將劉徽的思想抽象出來(lái)：劉徽先計(jì)算了內(nèi)接正6邊形的面積，記為，依次計(jì)算內(nèi)接正12邊形的面積，記為，內(nèi)接正24邊形的面積，記為，直到計(jì)算出任意的內(nèi)接正邊形的面積，記為，當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，就近似于所求的值。因此，上述的過(guò)程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象出來(lái)，就是已知，考察當(dāng)n增大時(shí)，的趨勢(shì)，這種問(wèn)題就是我們將要介紹的數(shù)列及其極限。這種數(shù)列極限問(wèn)題在現(xiàn)代技術(shù)領(lǐng)域也經(jīng)常用到，如用計(jì)算機(jī)計(jì)算方程的根，實(shí)際上就是計(jì)算一系列的交點(diǎn)，利用這些交點(diǎn)的坐標(biāo)逼近方程的根，這仍然是數(shù)列的極限問(wèn)題，因此，引入并研究數(shù)列及其極限問(wèn)題，不僅有歷史背景 ，也有現(xiàn)實(shí)意義。事實(shí)上，今天的工程技術(shù)領(lǐng)域，近似計(jì)算仍然是一個(gè)非常重要的技術(shù)手段，因此，考察數(shù)列及其極限是經(jīng)常遇到的問(wèn)題。2、數(shù)列的定義定義1.1 無(wú)窮（可列）個(gè)數(shù)按次序一個(gè)個(gè)排列下去或按正整數(shù)編號(hào)的可列無(wú)窮個(gè)數(shù), 稱(chēng)為數(shù)列。如1，和2，4，6，2n， 都是數(shù)列。由于數(shù)列中有無(wú)窮多項(xiàng)，不可能把每一項(xiàng)都寫(xiě)出來(lái)，因而，為書(shū)寫(xiě)和表示方便，我們引入數(shù)列的通項(xiàng)定義：把數(shù)列中每一項(xiàng)與一個(gè)正整數(shù)對(duì)應(yīng)，如第一項(xiàng)與正整數(shù)1、第二項(xiàng)與正整數(shù)2、如此，任意的第n項(xiàng)與正整數(shù)n對(duì)應(yīng)，然后用對(duì)應(yīng)的正整數(shù)如用n的表達(dá)式把這一項(xiàng)表示出來(lái)，這個(gè)表達(dá)式就是數(shù)列的通項(xiàng)。通俗地說(shuō)，數(shù)列的通項(xiàng)就是數(shù)列規(guī)律的表示。定義1.2 若正整數(shù)n的表達(dá)式x滿足n=1時(shí)，x為數(shù)列的第一項(xiàng)，n=2時(shí)x為其第二項(xiàng)，對(duì)任意的n，x為對(duì)應(yīng)的第n項(xiàng)，則稱(chēng)x為對(duì)應(yīng)數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列記為 x。 如前面給出的兩個(gè)數(shù)列分別記為和 2n 。以后就用通項(xiàng)表示一個(gè)給定的數(shù)列。注、數(shù)列可看成特殊的函數(shù)離散變量的函數(shù): x=f(n).注、數(shù)列與集合的區(qū)別數(shù)集中，元素間沒(méi)有次序關(guān)系，重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)是同一個(gè)元素。數(shù)列可以視為特殊的可列無(wú)窮數(shù)集，每個(gè)數(shù)都有確定的編號(hào)，有確定的順序，因此，不同位置上的數(shù)是不同的元素。故不同的元素，值可以是相等的。 即靠位置（編號(hào)）確定元素。而不是靠大小。因而，有一個(gè)數(shù)允許在同一數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn),而不能看成一個(gè)元素。如，常數(shù)列:c,c,c.，記為 x, 其中x=c。而數(shù)列為：1，1，1，1，二、數(shù)列極限1、極限的定義那么，我們引入數(shù)列之后，很自然的一個(gè)問(wèn)題是，對(duì)數(shù)列，我們更關(guān)心的問(wèn)題是什么？即要研究數(shù)列的什么內(nèi)容。從數(shù)列產(chǎn)生的背景和現(xiàn)實(shí)應(yīng)用來(lái)看，最關(guān)心的是數(shù)列最終的逼近結(jié)果即數(shù)列最終的趨向值，這個(gè)量就是我們將要引入的極限的概念。那么，一個(gè)數(shù)列的趨勢(shì)是什么？能否控制？先看下述幾個(gè)數(shù)列：: 顯然0: 趨勢(shì)確定、可控。n: 趨勢(shì)明確，但不確定，不可控, 因?yàn)椴皇谴_定的數(shù)。(-1): 就整個(gè)數(shù)列來(lái)講，沒(méi)有明確的趨勢(shì)，是跳躍性的，不可控。從上述數(shù)列中可知，有些數(shù)列趨勢(shì)明確，且趨勢(shì)可以控制，有些數(shù)列雖有明確的趨勢(shì)，但是趨勢(shì)不可控，還有些數(shù)列，變化趨勢(shì)不明確，更談不上趨勢(shì)的可控性。顯然，第一種是“好數(shù)列”，是我們將要研究的主要對(duì)象。也為了便于數(shù)學(xué)上的研究，我們用極限來(lái)表示這種趨勢(shì)。那么，如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言嚴(yán)格刻劃極限？從上述幾個(gè)例子可以初步了解到，極限就是數(shù)列充分接近的值，如何反映兩個(gè)數(shù)值間的接近程度？可以用誤差來(lái)表示，如和，表明b比a更接近于1，但是，作為數(shù)列的極限，應(yīng)是無(wú)限的接近，誤差要多小就有多小，這就涉及到用一個(gè)什么量把這個(gè)任意小的誤差表示出來(lái)，這個(gè)量就是，借助這個(gè)量，就可以給出數(shù)列極限的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。定義1.3 :設(shè) x是一給定數(shù)列，a是給定的實(shí)數(shù)，如果對(duì)>0, NN,使n>N時(shí)，都成立 <稱(chēng)數(shù)列 x收斂，a稱(chēng)為 x的極限，也稱(chēng) x收斂于a.。記為x=a. 或 xa， (n)。注、從定義看出，數(shù)列的極限就是數(shù)列充分接近的量，從而，用來(lái)揭示出了數(shù)列的變化發(fā)展趨勢(shì)，即數(shù)列x充分接近并趨向于a；而就是用來(lái)表明接近程度的、說(shuō)明誤差的量，是一個(gè)要多小就有多小的充分小的量。注、極限的幾何意義：第N項(xiàng)以后，數(shù)列 x的所有點(diǎn)落在鄰域(a-,a+)內(nèi)，即xa等價(jià)于>0, NN,使n>N時(shí), xO(a,)。注、定義中的幾個(gè)量： 的雙重性：既是任意的，也是確定的；即，在給定前它使任意的，可以任意取值，但是，一旦給定，它是一個(gè)確定的數(shù)。N：是由數(shù)列本身和其極限及給定的確定的一個(gè)量，不唯一且與有關(guān)，特別注意它與的順序與關(guān)系：先給定，才能確定N，事實(shí)上，N是由通過(guò)求解一個(gè)與上述所說(shuō)的量有關(guān)的不等式所得到的。注、由的任意性，定義中的表達(dá)式<也可以寫(xiě)為 <M其中M為常數(shù)。 同樣的道理，上式中的“<”也可以換為“”。注、數(shù)列的收斂性與數(shù)列的前面有限項(xiàng)無(wú)關(guān)，這也反映了數(shù)列最重要的是“趨勢(shì)”的特性。 2、幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子先看兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子。例1、證明：q=0. (0<<1)。證明：對(duì)>0, 取N+1，則n>N時(shí), 故 ，q=0.。例2 、 證明 =0,其中a>0.證明：對(duì)>0, 取N= +1，則n>N時(shí)， <<故，=0. 從上述兩個(gè)例子可以總結(jié)出，這類(lèi)極限的證明過(guò)程可以分為兩步：第一步、給定一個(gè) >0; 第二步、 尋找或確定N>0, 使得 n>N時(shí), <.可以看出，證明過(guò)程嚴(yán)格遵循了極限的定義，而關(guān)鍵的點(diǎn)是N的確定。那么，如何確定N？我們以例1為例，分析N的確定方法：例1分析：對(duì)>0,要使n>N時(shí)，= <，分析上式成立關(guān)于n的條件；事實(shí)上，由于<1，則關(guān)于n單調(diào)遞減，故n>N時(shí), ，因此,要使|q| <,只須，只須N ln ln ，注 意到ln<0, ln<0，只須取N+1，這就確定了N。上面的分析中，蘊(yùn)藏了確定N的一個(gè)基本方法放大法，步驟如下：1、 對(duì)放大處理，即 其中：G（n）滿足原則： i)、G(n) 盡可能簡(jiǎn)單,以便求解G(N)<；ii)、G(n) 應(yīng)是單調(diào)遞減且趨于0的數(shù)列，因而，成立n>N時(shí)，G(N)。2、 求解G(N)<，可得N，可能有多個(gè)解，取出一個(gè)N即可。由極限定義，利用上述方法證明極限，被稱(chēng)為放大法。主要步驟是放大過(guò)程，放大的目的是為了求解N的簡(jiǎn)單和方便。再看幾個(gè)例子。例3 證明：=分析：去掉絕對(duì)值號(hào)，則= (n>2)=< (n>2) 當(dāng)n>N時(shí)，<.故要使<,只須<, 只須N>.， 取N=+1。證明：對(duì)>0, 取N=+1，則當(dāng)n>N時(shí)<<<, .故，=。例4 證明：=0分析：先去掉絕對(duì)值號(hào)，顯然，n>3時(shí)，=，要使上式盡可能地簡(jiǎn)單，在放大過(guò)程中，必須使分子和分母同時(shí)達(dá)到最簡(jiǎn)只保留最關(guān)鍵的、起最重要作用的一項(xiàng)n的最高次冪項(xiàng)。達(dá)到這一目的的方法也很簡(jiǎn)單：用最高次冪項(xiàng)控制其余項(xiàng)。如本題：分子要保留最高次冪項(xiàng)，必須去掉常數(shù)項(xiàng)10000，或用最高次冪來(lái)控制此常數(shù)，顯然要使10000n, 只需n>100, 此時(shí)可得n+100002n達(dá)到分子最簡(jiǎn)且保留主項(xiàng)的目的。同樣，對(duì)分母，要使分子達(dá)到上述要求，注意到分母在整個(gè)分式放大過(guò)程中的作用方式，我們必須以縮小的方式處理分母，以保證整個(gè)分式是放大的，為此，我們采用分項(xiàng)的方式來(lái)處理：即從最高的主項(xiàng)中分離出一部分用以控制其余項(xiàng)，如從分出一半，（可用任意的a:0<a<1代替）即nnn n+nnn由于n>4時(shí)，nnn>0，因而，此時(shí) nnn n+nnnn達(dá)到了使分母最簡(jiǎn)的目的。故，當(dāng)n>max100, 4=100時(shí)，條件10000n和n-n-n>0同時(shí)成立，分子和分母同時(shí)達(dá)到最簡(jiǎn)，此時(shí)=, 因而，n>N時(shí),<故，要使<,只須<, 只須N>。 故，要使上述過(guò)程同時(shí)成立，條件必須同時(shí)得到滿足，即N必須同時(shí)滿足N>100和 N>，為此，取N=+100即可。證明：對(duì)任意的，取N=+100，則當(dāng)n>N時(shí)=<<故，=0。注：上述分析過(guò)程說(shuō)明了如何產(chǎn)生N,初學(xué)者嚴(yán)格遵守上述過(guò)程,逐漸熟悉N的尋找方法，并熟悉和掌握一些技巧。例5 設(shè)a>1，證明：=1.分析：|1|=1>0, 要使n>N時(shí)，0<1<，只需1<，只需 <1，只需。證法一：對(duì)任意的>0，取，則當(dāng)n>N時(shí)0<-1<-1<故，=1. 法一是常規(guī)的證明方法，當(dāng)掌握了各種工具之后，可以用各種手段和方式用于極限問(wèn)題的討論?？聪率鼋夥?。證法二：二項(xiàng)式估計(jì)方法。 為估計(jì)1，化簡(jiǎn)此項(xiàng)。令=1+，>0. 只須估計(jì)。利用二項(xiàng)式展開(kāi)定理：a=(1+)=1+C+C+故，<因而，n>N時(shí)，0 < -1 = < < 故，對(duì)任意的>0, 取 N > ，則，當(dāng) n>N時(shí)0 < -1 = < < 因而，=1。注、二項(xiàng)式展開(kāi)方法是處理這類(lèi)極限的一個(gè)有效方法，要牢固掌握，熟練應(yīng)用，關(guān)鍵點(diǎn)是選擇展開(kāi)式中適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，再看下面的例子，分析選擇展開(kāi)項(xiàng)的思想。 例 證明n=1證明:令n=1+y，則n = (1+y) 1+ n y+ y+ y >y故， 0< n1 = y<.因而，對(duì)>0，取，則當(dāng)n>N時(shí)，0< n1 = y<<故，因而，n=1。注、利用二項(xiàng)式定理時(shí)，應(yīng)根據(jù)需要合理選擇右端的項(xiàng)。原則是：所選擇項(xiàng)中關(guān)于n的冪次高于左端。更復(fù)雜的例子：通過(guò)數(shù)列間的關(guān)系來(lái)證明極限問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題解決的思路是通過(guò)分析已知條件和要證明結(jié)論之間的形式，通過(guò)形式上的統(tǒng)一，建立已知和未知之間的橋梁，或用已知來(lái)控制未知。例7 設(shè)x0, 若x=a0, 則=.分析：已知條件是（定性條件）x=a，等價(jià)于已知n充分大時(shí)的關(guān)系式（轉(zhuǎn)化為定量關(guān)系） 要證明的結(jié)論是=，等價(jià)的類(lèi)似關(guān)系式為 因此，要完成本題的證明，實(shí)質(zhì)就是建立已知項(xiàng)中和未知量的聯(lián)系，或用已知的來(lái)控制。那么，如何達(dá)到上述目的？即如何把未知的要控制的量轉(zhuǎn)化為已知的量或用已知的量來(lái)控制？也即如何去掉量中的根號(hào)？顯然，有理化正是解決這類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)有效方法。事實(shí)上，通過(guò)有理化得到 這個(gè)表達(dá)式中，已經(jīng)出現(xiàn)了已知量，建立了已知和未知的聯(lián)系，下一步甩掉無(wú)關(guān)的、不確定的項(xiàng)，即就是控制分母，尋找它的一個(gè)確定的已知的正下界。顯然，當(dāng)a>0時(shí)，問(wèn)題得到解決。那么，當(dāng)a=0時(shí)怎么解決？事實(shí)上，此時(shí)問(wèn)題更加簡(jiǎn)單，因?yàn)榇藭r(shí)已知和未知的聯(lián)系更加容易建立，只是處理過(guò)程中需要一個(gè)技巧。通過(guò)上述分析，證明分兩種情況來(lái)處理。證明：當(dāng)a=0時(shí)，由于0， 則由定義，對(duì)任意的，存在N，使得當(dāng)n>N時(shí)， 因而，此時(shí) 故，。 當(dāng)a>0時(shí)，由于a， 則由定義，對(duì)任意的，存在N，使得當(dāng)n>N時(shí)， 因而，當(dāng)n>N時(shí) 故，。 注、上述分析過(guò)程說(shuō)明了我們的證明為何分兩步進(jìn)行。但是，從方法論角度看，這也是科學(xué)的處理方法。我們知道，解決問(wèn)題的一般方法就是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的求解思路，上述分兩步的求解方法正是這種思想的體現(xiàn)。在后面的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們會(huì)經(jīng)常用到這種解題思想。注、注意理解和體會(huì)上述解題過(guò)程中，為何要用代替。這是技巧問(wèn)題。注、解題過(guò)程實(shí)際就是在正確思想方法的指導(dǎo)下，充分利用掌握的理論知識(shí)和技巧解決問(wèn)題，因此，我們即要掌握基本的理論知識(shí)，還必須掌握方法，同時(shí)還必須掌握一定的技巧。3、發(fā)散數(shù)列與收斂數(shù)列相對(duì)應(yīng)的數(shù)列是發(fā)散數(shù)列，為引入數(shù)列的發(fā)散定義，先給出如下定義。定義1.5 若對(duì)實(shí)數(shù)a，存在，使得對(duì)任意的N，存在，使得 >則稱(chēng)x不收斂于a。注：不收斂于，不能寫(xiě)為（存在但不等于）。 差別：的極限可能不存在注、定義1.3和定義1.5是一對(duì)肯定與否定的定義，這樣一對(duì)的定義式中，通?？梢酝ㄟ^(guò)將“對(duì)任意的”改為“存在一個(gè)”，將“存在一個(gè)”改為“對(duì)任意的”，同時(shí)否定相應(yīng)的結(jié)論關(guān)系式而實(shí)現(xiàn)相互之間的轉(zhuǎn)化。定義1.6 若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，x都不收斂于a，稱(chēng)x發(fā)散或不收斂。注、由定義，發(fā)散數(shù)列包含了兩種情況，其一沒(méi)有明確的變化趨勢(shì)，其二，變化趨勢(shì)明確但是不可控，相對(duì)來(lái)說(shuō)，在研究數(shù)列的變化趨勢(shì)方面，第二種情況相對(duì)比第一種情況好，為此，我們將其單獨(dú)分離出來(lái)，給出下列定義。定義1.7 給定數(shù)列， :若，使時(shí)，使得1、,稱(chēng)是無(wú)窮大量；2、，稱(chēng)是正無(wú)窮大量；3、,:稱(chēng)是負(fù)無(wú)窮大量。對(duì)無(wú)窮大量x，有時(shí)也借用極限符號(hào)記為或x，對(duì)正負(fù)無(wú)窮大量也有同樣的記號(hào)。 注、通過(guò)上述定義，數(shù)列可以分為1）、收斂數(shù)列：“好數(shù)列“，變化趨勢(shì)確定、可控。2）、發(fā)散數(shù)列，又可以分為：i）、趨于或發(fā)散到 ：有趨勢(shì)但不可控；ii）、沒(méi)有趨勢(shì)，如。顯然，“好和較好“的數(shù)列是我們研究的主要對(duì)象。證明數(shù)列為無(wú)窮大量的方法和放大法思想類(lèi)似，是相應(yīng)的縮小方法。例8 證明為無(wú)窮大量。證明：對(duì)任意M，取N ，則當(dāng)n>N時(shí)， 故，為無(wú)窮大量。 與無(wú)窮大量相對(duì)應(yīng)，還可以引入無(wú)窮小量。定義1.8 若數(shù)列數(shù)列x滿足：x0，稱(chēng)x為無(wú)窮小量。關(guān)于無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的關(guān)系將在學(xué)過(guò)極限性質(zhì)后進(jìn)行研究。習(xí)題11、觀察下列數(shù)列，給出其通項(xiàng)，并觀察其變化趨勢(shì)。 1）、 2）、1，4，9， 16，2、用定義證明下列極限。 1） 2）、 3）、 4）、 5）、 6)、7）、，其中，k1，2，3，8）、，其中a>1。9）、10）、3、設(shè)，證明；反之成立嗎？為什么？4、設(shè)，證明：對(duì)任意整整數(shù)正整數(shù)k，。5、給定數(shù)列，和分別稱(chēng)為其奇子數(shù)列和偶子數(shù)列，證明：若，則；反之成立嗎？為什么?6、利用不等式 其中，證明a>1時(shí)。 數(shù)列極限的性質(zhì)及運(yùn)算本節(jié)介紹數(shù)列極限的性質(zhì)及運(yùn)算。一、 性質(zhì)、 唯一性定理2.1 收斂數(shù)列的極限必唯一。證明：設(shè)且還有。由定義，對(duì)>0,存在N，使得n>N時(shí)，成立 故， 由的任意性得 a=b，故極限唯一。注：本定理證明的方法是插項(xiàng)方法，利用插項(xiàng)建立兩個(gè)或多個(gè)量的聯(lián)系，或建立已知和未知的聯(lián)系，是常用的方法。、有界性定義1 若，使，則稱(chēng)為有界數(shù)列。 注、也可用上界、下界定義數(shù)列的有界性。定理2.2 收斂數(shù)列必有界。分析：由有界性的定義，要證明收斂數(shù)列有界，只需確定M，使得；因此，如何從收斂性的條件中，尋求與有界性類(lèi)似的條件是證明的關(guān)鍵。故，證明的思路就是從收斂性出發(fā)，尋找與有界性類(lèi)似的條件。證明：設(shè)，則， 由定義，對(duì)1，存在N>0，使得 n>N時(shí) 若取，則 故 ,數(shù)列有界。注、通過(guò)取特定的得到數(shù)列的一些性質(zhì)是常用的技巧。注、其逆不成立。如(-1).注、有界性的界是對(duì)數(shù)列的一個(gè)粗略的估計(jì)或控制，收斂數(shù)列的有界性從一個(gè)方面反映了收斂數(shù)列的可控性。3、保序性定理2.3 設(shè)收斂， ，若，則 ，使時(shí)，。分析：由條件可得由此可知，可以通過(guò)取特定的的值如，建立二者的聯(lián)系。證明：對(duì)，由定義，存在N，使得n>N時(shí) 代入，得。推論2.1若，則，使時(shí)，.證明：由于，故，（見(jiàn)課本習(xí)題），取，則，由定理2.3既得。注、推理2.1給出了數(shù)列的一個(gè)嚴(yán)格正的下界的估計(jì)，這是一個(gè)很好的結(jié)論，在對(duì)數(shù)列做估計(jì)如放大和縮小時(shí)非常有用。定理2.3給出了數(shù)列保持了極限的次序，保序性還有另一種表現(xiàn)形式，即極限也基本保持?jǐn)?shù)列的次序。推論2.2 若，且,則。注 、推論2.2表明定理2.3的逆部分成立，如：, ，則，但是，。4、兩邊夾（夾逼）性質(zhì)定理2.4若, 滿足：,且 則 .分析：由定量的條件出發(fā)，尋找關(guān)系式。證明：由于則對(duì)任意的>0，存在N，使得n>N時(shí)， 故， 因而 。注：定理2.4的作用：考察某數(shù)列的極限，可將其適當(dāng)放大和縮小，使放大和縮小后的兩個(gè)數(shù)列有共同的極限，因而，可以用來(lái)研究數(shù)列的極限。例1 證明。其中分析：通過(guò)要證明的結(jié)論形式可知，證明的關(guān)鍵（思想）是如何從左端待求極限的數(shù)列表達(dá)式中將右端的項(xiàng)分離出來(lái)，具體的分離過(guò)程實(shí)際很簡(jiǎn)單。證明：由于(p)=由定理2.4即可。例2 設(shè)，證明：=0分析：數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是，兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的因子的差，處理方法是：提出共同的部分，考慮剩下的量。證明：由于 0<= 由定理2.4，結(jié)論成立。 注、上述的例子都用到了以前的結(jié)論，因此，應(yīng)該記住一些常用的結(jié)論。二、 極限的四則運(yùn)算定理2.5 設(shè)，則1）、2）、3）(b)分析：已知的量為 ，因此，定理證明的思想就是如何從要控制的量中分離出上述的已知量。證明：由定義，則對(duì)任意的>0,存在N，使得n>N時(shí)， 因而，當(dāng)n>N時(shí) 1）、則 . 故2）、由于數(shù)列收斂，因而有界，設(shè)其界為M，則故 。3）、由保序性，不妨設(shè)，故<故 注、定理的證明用到了基本的插項(xiàng)方法，利用這一方法，從未知量中分離出已知項(xiàng)是常用的技巧，要熟練掌握。利用運(yùn)算法則，簡(jiǎn)化極限的運(yùn)算。（掌握最基本的極限結(jié)論）例3 求。分析：顯然，不能直接用運(yùn)算法則，分析結(jié)構(gòu)，表達(dá)式中各項(xiàng)都具形式，那么，對(duì)這樣的形式，已知的結(jié)論有那些？顯然，已知），因此，證明的思路就是如何將結(jié)構(gòu)中的各項(xiàng)轉(zhuǎn)化為已知的形式。解、原式。例4 證明 , 。分析：已知相關(guān)的結(jié)論是a>1時(shí)結(jié)論成立（見(jiàn)第一節(jié)例5），因此，證明的思路是如何進(jìn)行形式上的轉(zhuǎn)化。證明：令，則。例5 。分析：數(shù)列的結(jié)構(gòu)為n的冪次結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)中已知的結(jié)論是：，其中a>0。因此，處理的方法是，對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)或轉(zhuǎn)化為已知極限的結(jié)構(gòu)形式，注意到結(jié)構(gòu)中含有兩根式相減，分子有理化是常用的一個(gè)方法。解、原式。注、上式用到結(jié)論：若，則。例6 計(jì)算 。分析：從結(jié)構(gòu)看，應(yīng)轉(zhuǎn)化為已知的結(jié)論形式。轉(zhuǎn)化方法是用最高次冪同除分子和分母。解、原式 注：由此說(shuō)明，當(dāng)n充分大時(shí)，n的多項(xiàng)式的符號(hào)由首項(xiàng)系數(shù)決定。事實(shí)上，而 .由極限的保號(hào)性性質(zhì)可知，多項(xiàng)式與同號(hào)。注：數(shù)列極限的四則運(yùn)算只能推廣至有限個(gè)數(shù)列的情況，而不能隨意推廣到無(wú)限個(gè)或不定個(gè)數(shù)的數(shù)列運(yùn)算上，如：例7 證明 ：()=1。證明：由于 利用兩邊夾定理即可。下面的證明方法是錯(cuò)誤的：() 00 00。三、無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的性質(zhì)及其關(guān)系 利用極限的運(yùn)算法則，很容易得到如下結(jié)果。定理2.6 若收斂于同一極限，則為無(wú)窮小量。特別，若收斂于a，則為無(wú)窮小量。定理2.7若都是無(wú)窮小量，則也是無(wú)窮小量。定理2.8 設(shè)無(wú)窮小量，而 有界，則是無(wú)窮小量；特別，若和都是無(wú)窮小量，則是無(wú)窮小量。對(duì)無(wú)窮大量，成立類(lèi)似的結(jié)論。定理2.9若都是正（負(fù)）無(wú)窮大量，則也是正（負(fù)）無(wú)窮大量。定理2.10 設(shè)無(wú)窮大量，而 ，則是無(wú)窮大量。特別，當(dāng)是無(wú)窮大量時(shí)，則是無(wú)窮大量。對(duì)無(wú)窮大量和無(wú)窮小量，關(guān)于極限的運(yùn)算法則，不能推廣到除法運(yùn)算。如 = 其中k>0 , l>0,。即，若和都是無(wú)窮大量，不一定是無(wú)窮大量；同樣，若和都是無(wú)窮小量，也不一定是無(wú)窮小量。 無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的關(guān)系體現(xiàn)在下面的定理中。定理2.11 設(shè)，若是無(wú)窮大（?。┝?，則是無(wú)窮?。ù螅┝?。例8 計(jì)算 。解、由于 故， ，因而，原式。習(xí)題21、計(jì)算下列極限1）、 2）、3）、 4）、5）、6）、2、證明下列極限 1）、 2）、 3）、 4）、更進(jìn)一步，由于各數(shù)列中的分子和分母都是無(wú)窮大量，上述結(jié)論說(shuō)明了什么？3、用極限的性質(zhì)證明 1）、 2）、4、設(shè) 證明：1）、若，則；2）、若，則；3）、若，則。 Stolz-定理 在2中，我們研究了無(wú)窮大量及其運(yùn)算法則，而對(duì)一類(lèi)重要而特殊的運(yùn)算除法運(yùn)算，無(wú)窮大量情況就更加復(fù)雜，即當(dāng)時(shí)，的極限不確定，把這類(lèi)極限稱(chēng)為待定型極限。本節(jié)，我們討論這類(lèi)極限問(wèn)題。定義3.1 :若數(shù)列滿足 稱(chēng)其為單調(diào)遞增數(shù)列。若滿足, 稱(chēng)其為嚴(yán)格單增數(shù)列。注、類(lèi)似可以定義數(shù)列的單調(diào)遞減性。定理3.1 （Stolz定理）設(shè)是單調(diào)增加的正無(wú)窮大量，且（a可為有限、或），則。分析：定理的證明較為復(fù)雜，我們用從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的方法證明此定理。不失一般性，可設(shè)>0。i、先考慮簡(jiǎn)單情形：a=0。此時(shí)條件為,轉(zhuǎn)化為數(shù)列關(guān)系為：對(duì)任意，存在N，使得< 這是相鄰兩項(xiàng)差的估計(jì)。.利用插項(xiàng)思想，由相鄰兩項(xiàng)差的估計(jì)可得到任兩項(xiàng)差的估計(jì)，因而，對(duì)任意的n>m，利用單調(diào)遞增性，得 =因而，再分析要研究的數(shù)列，建立與上述已知形式的聯(lián)系，得= =因而， 為估計(jì)右端第二項(xiàng)，取確定，只須下標(biāo)確定，如取然后利用即可。Ii、且為有限數(shù)。轉(zhuǎn)化為情形i。記（注意到情形i對(duì)無(wú)任何要求），則由情形i的結(jié)論: ,即Iii、, 能否轉(zhuǎn)化為情形i或情形ii。注意到：=0 即，則只須說(shuō)明單調(diào)遞增到。事實(shí)上， 單調(diào)遞增且 ，因而，故，趨向，對(duì)用情形i的結(jié)論即可。Iv、a時(shí)，令即可。證明過(guò)程是將上述思想數(shù)學(xué)化。證明：不失一般性，可設(shè)>0。情形1、設(shè)a0。由于 0，則對(duì)任意，存在，使得n>時(shí) 即 <， 。 因而， =故，當(dāng)n>時(shí) = =因而， 又，故，存在，當(dāng)n>時(shí)， 取，則時(shí) 故，。情形2、a有限且不為0。記，則由a，得 因而，由情形1的結(jié)論 即。情形3、a。此時(shí)，故，對(duì)M>1，存在N，使得n>N時(shí) 因而， 因此，n>M時(shí)，單調(diào)遞增，進(jìn)一步，還有 即 ，故，為單調(diào)遞增的正無(wú)窮大量。由于，因而，利用情形1的結(jié)論得， ，故，。情形4、a。令即可。 至此，定理得證。注、注意定理成立條件為：存在。注、定理的逆不成立：即若，不一定有，因?yàn)椴灰欢ù嬖?。若存在，必成立?注、當(dāng)，結(jié)論不一定成立。注、總結(jié)證明過(guò)程中的思想和技巧。作為應(yīng)用，考察下面的例子。例1 設(shè)，求解：記， , 用Stolz定理得 。注、在具體應(yīng)用Stolze定理計(jì)算題目，不必驗(yàn)證條件的存在性，只需直接進(jìn)行計(jì)算，看能否計(jì)算出結(jié)果。 例2 設(shè)，, 證明：分析：為利用定理，需轉(zhuǎn)化為定理的形式，即所求極限的數(shù)列應(yīng)該是分式形式，因此，須將其轉(zhuǎn)化為分式形式，且分母還應(yīng)該是單調(diào)遞增的正無(wú)窮大量，那么，從所給的形式及其所含的因子中，是否有這樣的量，是否能分離出來(lái)作為分母？解決了這些問(wèn)題，就找到了證明方法。證明：記, 則 為正的無(wú)窮大量，且 利用 Stolz-定理即得。注、與型相對(duì)應(yīng)，還成立 型Stolz定理， 我們略去證明。定理3.2 設(shè), 單調(diào)遞減收斂于0，若，則，其中可為有限、或。例3、 設(shè)，若，證明：。分析：引入形式統(tǒng)一方法。證明：由于=()+. 只須證第一項(xiàng)極限為。事實(shí)上，令，=，則,因而。而=() = ，由Stolz定理 ()=故，。習(xí)題31、證明下列極限。 1）、0； 2）、，其中 a>1,k為正整數(shù)； （提示：用數(shù)學(xué)歸納法和Stolz定理。進(jìn)一步，k為正實(shí)數(shù)都成立） 3）、；4）、；（提示：后面兩道題用極限性質(zhì)證明）進(jìn)一步的分析：對(duì)正無(wú)窮大量，如果用速度的大小表示其趨向正無(wú)窮的快慢，通過(guò)上述例子，可以得到上述涉及到的數(shù)列的速度有何關(guān)系？2、計(jì)算3、設(shè)，證明。4、設(shè)且，利用對(duì)數(shù)變換和Stolz定理證明： 5、設(shè)，為單調(diào)遞增的正無(wú)窮大量，作變換，利用Stolz定理，證明： 。分析為何要做上述變換。、收斂準(zhǔn)則及實(shí)數(shù)基本定理為了研究更復(fù)雜的數(shù)列收斂性，僅有定義和運(yùn)算法則還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，必須有更高級(jí)的手段和方法研究數(shù)列的收斂性問(wèn)題，本節(jié)，我們給出一系列判別準(zhǔn)則，用于通過(guò)數(shù)列自身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，研究數(shù)列的收斂性問(wèn)題，同時(shí)，給出實(shí)數(shù)系的基本定理。為此，我們先證明關(guān)于確界的一個(gè)結(jié)論。 一、確界的性質(zhì)給定有界實(shí)數(shù)集合E。定理4.1 設(shè)，則存在點(diǎn)列，使得 ，。分析 要證明結(jié)論，必須構(gòu)造兩個(gè)點(diǎn)列，我們知道任意性條件是構(gòu)造點(diǎn)列的一種前提條件，因此，我們從確界定義中的任意性條件出發(fā)構(gòu)造滿足要求的點(diǎn)列。證明：只對(duì)上確界證明。由于，由定義，則1）、對(duì)任意，都有；2）、對(duì)任意，使得。故，取，使得；取，使得；如此下去，對(duì)任意的正整數(shù)n，取，使得，因此，由此構(gòu)造的數(shù)列，滿足。證畢。 我們?cè)诘谝徽乱呀?jīng)說(shuō)明，我們是以確界存在定理為實(shí)數(shù)系公理，或作為本教材關(guān)于實(shí)數(shù)系性質(zhì)的出發(fā)點(diǎn)，因此，下面我們以此為基礎(chǔ)推出一系列重要結(jié)論。二、單調(diào)有界收斂定理。定理4.2 單調(diào)有界數(shù)列必定收斂。分析：到目前為止，能說(shuō)明數(shù)列收斂的，只有定義。要用定義，必須知道極限是什么，再證明之。故，關(guān)鍵問(wèn)題是由條件能確定出什么樣的數(shù)，可能成為唯一的極限。我們進(jìn)一步分析，由數(shù)列的單調(diào)有界性能否確定唯一的一個(gè)數(shù)？事實(shí)上，由確界存在定理知：1、單增有上界的數(shù)列存在唯一的上確界；2、單減有下界的數(shù)列存在唯一的下確界。這樣，通過(guò)數(shù)列的單調(diào)有界性，能夠確定唯一的一個(gè)量確界，因此，接下來(lái)考慮的問(wèn)題就是：確界是否就是數(shù)列的極限，這就為定理的證明，提供了的思路。證明：不妨設(shè)是單調(diào)遞增的數(shù)列，則，由確界存在定理，有唯一的上確界，記為a。由確界定義，則 1）、，；2）、對(duì)任意的，存在元素，使得 由數(shù)列的單調(diào)遞增條件，當(dāng)時(shí) 即， ；因而，。注、此定理給出了第一個(gè)預(yù)先不知道極限的情況下（與定義的區(qū)別），通過(guò)數(shù)列自身的結(jié)構(gòu)判別其收斂性的結(jié)論。注、由證明過(guò)程可知，若單調(diào)遞增收斂于，則必有。同樣，若單調(diào)遞減收斂于，則必有。下面，通過(guò)例子說(shuō)明此定理的運(yùn)用。例 設(shè)，記，構(gòu)造，證明：收斂，并計(jì)算。證明：通過(guò)觀察可得， .因而，單調(diào)遞增。再證有界性：由單調(diào)遞增性質(zhì)，可知 由結(jié)構(gòu)條件得故， ，因而，有界。由定理1，收斂。設(shè)=b（由收斂性得證），則由利用極限的運(yùn)算性質(zhì)得 ，求解并舍去負(fù)根解得。從解題過(guò)程中，總結(jié)這類(lèi)題目的處理思想：首先， 分析、觀察題目，可知題型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)為：給出了數(shù)列構(gòu)造，即給出數(shù)列的初始項(xiàng)和構(gòu)造規(guī)則，由此構(gòu)造出整個(gè)數(shù)列；題目要求是：證明數(shù)列的收斂性并計(jì)算極限。利用數(shù)列自身構(gòu)造特點(diǎn)證明收斂性的方法有多種，但是，既要判斷收斂性，又要計(jì)算極限的，單調(diào)有界收斂定理是首選，換句話說(shuō)，這是單調(diào)有界收斂定理所處理對(duì)象的顯著特點(diǎn)。其次，解決問(wèn)題。利用單調(diào)有界收斂定理時(shí)，必須解決兩個(gè)問(wèn)題：1、單調(diào)性如何研究數(shù)列的單調(diào)性？首先，要明確研究方向，因?yàn)閱握{(diào)性有兩種：?jiǎn)握{(diào)遞增和單調(diào)遞減，因此，要證明單調(diào)性，必須先明確是證明單調(diào)遞增，還是證明單調(diào)遞減。那么，如何明確研究方向？我們引入一種被稱(chēng)為預(yù)判的方法“預(yù)判法”：即通過(guò)前幾項(xiàng)的具體的計(jì)算和比較，初步分析并確定單調(diào)性，然后再證明預(yù)判的結(jié)果。其次，在“預(yù)判”基礎(chǔ)上的嚴(yán)格證明。通過(guò)第一步的預(yù)判，明確了證明的方向，接下來(lái)的工作自然是嚴(yán)格證明預(yù)判的結(jié)果。證明的具體方法也有多種，常見(jiàn)的有：1）、觀察法直接通過(guò)觀察數(shù)列的結(jié)構(gòu)給出單調(diào)性的證明；2）、差值法考察任意相鄰兩項(xiàng)的差，通過(guò)差的符號(hào)得到單調(diào)性，即若對(duì)任意n，則單調(diào)遞增；否則，數(shù)列單調(diào)遞減。3）、比值法通過(guò)考察相鄰兩項(xiàng)的比值得到單調(diào)性結(jié)論，即若對(duì)任意的n，非負(fù)數(shù)列滿足：，則數(shù)列單調(diào)遞增，否則，收斂單調(diào)遞減。這樣，基本上解決了單調(diào)性問(wèn)題。2、有界性預(yù)判法也是研究有界性的一個(gè)有效方法，即借助于預(yù)判的單調(diào)性和極限首先預(yù)判出要證明的界是什么，然后再?lài)?yán)格證明之。對(duì)這類(lèi)題目，由于知道了數(shù)列的結(jié)構(gòu)，因此，假設(shè)數(shù)列收斂，則可以通過(guò)數(shù)列結(jié)構(gòu)計(jì)算極限，因此，若數(shù)列單調(diào)遞增，則此極限值應(yīng)該是一個(gè)上界；若數(shù)列單調(diào)遞減，則此極限值應(yīng)該是其下界。這樣就確定了數(shù)列的界，明確了證明的界的方向，因此，剩下的工作就是證明極限就是數(shù)列的上界或下界即可。證明的方法通常有歸納法和估計(jì)方法，相對(duì)來(lái)說(shuō)，估計(jì)方法是利用一些不等式進(jìn)行放大或縮小，要求技巧性強(qiáng)。有些例子需用有界性證明單調(diào)性，有些例子需要用單調(diào)性證明有界性。例 設(shè)，計(jì)算。分析 與例1結(jié)構(gòu)相同，用相同的處理方法。預(yù)判、1、計(jì)算前3項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)因而，預(yù)判單調(diào)性為單調(diào)遞增。2、設(shè)a，則必有，得a3，因此，預(yù)判數(shù)列有上界3。因此，證明過(guò)程就是驗(yàn)證預(yù)判的結(jié)果，至于先驗(yàn)證有界性還是先驗(yàn)證單調(diào)性，必須具體問(wèn)題具體分析，有時(shí)候，證明單調(diào)性要用到有界性，則此時(shí)應(yīng)先證明有界性，如例2，有時(shí)候，證明有界性要用到單調(diào)性，此時(shí)應(yīng)先證明單調(diào)性，如例1，無(wú)論如何，預(yù)判方法給出了明確的證明方向，是處理這類(lèi)問(wèn)題的有效方法。解：、有界性由于，設(shè)，則故，歸納證明了 , 。、單調(diào)性由于，故，單調(diào)增加。、由1，2知: 存在，不妨設(shè)=a, 則，解得a=3。注：?jiǎn)握{(diào)性的驗(yàn)證也可用下述方法 得到單調(diào)增加性質(zhì)。再利用單調(diào)有界定理證明一個(gè)重要的極限。先給出一個(gè)已知的結(jié)論：平均不等式：對(duì)任意個(gè)整數(shù)，成立 即：算術(shù)平均 幾何平均 調(diào)和平均。等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。例 證明,都收斂。分析：記=，.則： 預(yù)判： 單調(diào)遞增, 單調(diào)遞減。 又，數(shù)列有界。故，只須證數(shù)列的單調(diào)性。證明：記=，=，則，利用平均不等式：=1，類(lèi)似， =故，單調(diào)遞增, 單調(diào)遞減 。 又由于因而，、 有界，,故, 都收斂。進(jìn)一步分析二者的極限關(guān)系由于 =因而， ，記這個(gè)共同的極限為e，即=e, e=2.7182818這就是自然對(duì)數(shù)的底。且由證明過(guò)程可知：?jiǎn)握{(diào)遞增收斂于,單調(diào)遞減收斂于，因而成立<e<取對(duì)數(shù)得 故,這是一個(gè)重要的關(guān)系式。利用這個(gè)關(guān)系式給出一個(gè)重要結(jié)論。例4 若記，證明收斂。證明：由上述關(guān)系式得，故故 單調(diào)遞減。為證明有界性，利用，則 =故有界，因而收斂。記=0.57721566490 ，稱(chēng)為 Euler常數(shù)。注、由此例我們不僅得到 ，而且還掌握了其趨于正無(wú)窮的速度和lnn趨于無(wú)窮的速度是同階的。 例5 記，證明。證明：由于=故， 。 單調(diào)有界收斂定理的條件較強(qiáng)，那么，定理4.2中的條件是否減弱，減弱后結(jié)果會(huì)發(fā)生怎么樣的變化？為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們引入實(shí)數(shù)系的一個(gè)定理。三、閉區(qū)間套定理。定義4.1 若區(qū)間列滿足:1) ; 2) 則稱(chēng)為一個(gè)閉區(qū)間套。 定理4.3 假設(shè)為一個(gè)閉區(qū)間套，則存在唯一的，使, ，且. 分析 要證明數(shù)列和數(shù)列的收斂性，因此，從條件中挖掘關(guān)于這兩個(gè)數(shù)列的信息，由此得到證明的思路。證明：由于為區(qū)間套，則即單調(diào)遞增，單調(diào)遞減且都有界，因而由單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則得，收斂。設(shè)，則,由數(shù)列的單調(diào)性，顯然有：由極限的唯一性可得的唯一性。注、由定義知道：所謂閉區(qū)間套是以閉區(qū)間序列為形式，用兩個(gè)端點(diǎn)列刻劃所滿足的條件，閉區(qū)間套的性質(zhì)是通過(guò)兩個(gè)端點(diǎn)列反映出來(lái)，因此，在用閉區(qū)間套定理時(shí)，閉區(qū)間套定理的作用就是通過(guò)閉區(qū)間套，將某一個(gè)大范圍里如區(qū)間上成立的性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)造閉區(qū)間套，使得這個(gè)性質(zhì)在每個(gè)閉區(qū)間上都成立，進(jìn)而使其在被套住的“點(diǎn)”區(qū)間端點(diǎn)的極限點(diǎn)的附近也成立此性質(zhì)。這就是此定理的本質(zhì)。注：若將閉區(qū)間套改為開(kāi)區(qū)間套，仍有,但不一定有，如取，則。有了閉區(qū)間套定理，我們研究單調(diào)收斂定理的條件是否能減弱的問(wèn)題，給出關(guān)于數(shù)列收斂性的又一重要的定理。四、Weierstrass定理 先引入子列的概念。定義4.2 設(shè)是一個(gè)數(shù)列，而是一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)增加的自然數(shù)列，則,也形成一個(gè)數(shù)列，稱(chēng)為 的子列，記為。簡(jiǎn)單地說(shuō)，子列就是從原數(shù)列中，按原順序挑出一系列元素而形成的數(shù)列。兩個(gè)重要而特殊的子列是奇子列 和偶子列 。注、數(shù)列與子列的下標(biāo)關(guān)系：; 下面考察數(shù)列及其子列收斂性的關(guān)系。首先注意到，數(shù)列收斂和子列收斂的差別：我們知道若收斂于a，是指對(duì)任意，存在，當(dāng)時(shí)， 而收斂于a，是指對(duì)任意，存在，當(dāng)時(shí)， 。因此，收斂，意指存在a，對(duì)N以后的項(xiàng)，都落在內(nèi)，或者外至多有數(shù)列的有限項(xiàng)；而有子列收斂意指，存在a，原數(shù)列中，有無(wú)窮多項(xiàng)落在內(nèi)，此時(shí)，外也可能有數(shù)列的無(wú)窮多項(xiàng)。這是數(shù)列收斂和子列收斂的差別。那么，它們又相互聯(lián)系，因而，收斂性也應(yīng)該有一定的關(guān)系。定理4.4 設(shè)收斂于，則其任何子列 也收斂于a。證明：由于，則對(duì)，,使n>N， .取，當(dāng)時(shí)，,故，因而，也收斂于a。注：定理3 的逆也成立。定理4.5 如果的所有子列都來(lái)收斂于同一個(gè)極限，則必有分析：由條件的任意性，通常用反證法：構(gòu)造一個(gè)子列不收斂于證明：若不收斂于，則，使對(duì),有。因而，取，得 使；取，得 使；如此下去，對(duì)任意的正整數(shù)k，取，得 使；由此，構(gòu)造了點(diǎn)列不收斂于，矛盾。注、過(guò)程中的構(gòu)造子列的方法要掌握。定理4.5的作用常用來(lái)證明數(shù)列極限的不存在性。定理4.6 若存在的兩個(gè)子列、，分別收斂于不同的極限，則必發(fā)散。注：常用定理5說(shuō)明數(shù)列的發(fā)散。例6 證明和都不收斂，由此，說(shuō)明和都不存在。證明：記，。則，由于，因而，不收斂。類(lèi)似，由于，因而，不收斂。進(jìn)而，由Heine定理，和都不存在。 現(xiàn)在，我們回答前面提出的問(wèn)題。定理4.7 ( Weierstrass定理) 有界數(shù)列必有收斂子列。分析 我們知道，要證明一個(gè)數(shù)列或子列收斂，目前的方法有定義法和定理法用單調(diào)有界收斂定理，定義法需要知道極限值，而定理法的條件也很強(qiáng)，特別是對(duì)本定理，因此，從精確處理子列的收斂性來(lái)看，可質(zhì)利用的條件或信息很少，我們退一步考慮問(wèn)題，因?yàn)槲覀冎溃致缘刂v，所謂子列收斂，是指在某一點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)有該數(shù)列的無(wú)窮多項(xiàng)，顯然，這樣的要求比定義法和定理法證明子列的收斂性要弱，更容易滿足或解決。因此，我們先解決低層次的結(jié)論。從這一點(diǎn)來(lái)看，是要證明某一點(diǎn)附近的性質(zhì)，由我們目前所掌握的工具，閉區(qū)間套定理能滿足這樣的要求。因此，可以考慮用閉區(qū)間套定理來(lái)證明，這就要求一要構(gòu)造出閉區(qū)間套，二要使每個(gè)閉區(qū)間滿足要求含有數(shù)列的無(wú)窮多項(xiàng)，這是構(gòu)造閉區(qū)間套的原則，因而，要根據(jù)這個(gè)原則構(gòu)造閉區(qū)間套。構(gòu)造閉區(qū)間套的方法常用的有等分法，即先構(gòu)造滿足要求的一個(gè)閉區(qū)間，對(duì)這個(gè)區(qū)間進(jìn)行不同形式的等分，如二等分、三等分等，從中選擇一個(gè)滿足要求的區(qū)間，然后再等分，再選擇，如此下去，可以構(gòu)造出閉區(qū)間套，從而將一個(gè)泛泛成立的大性質(zhì)“套”在某一點(diǎn)的附近成立。將上述分析總結(jié)一下：一是要用閉區(qū)間套證明此定理；二是要用等分法構(gòu)造閉區(qū)間套，使得應(yīng)滿足含有數(shù)列中無(wú)窮多項(xiàng)。我們先構(gòu)造大區(qū)間，從所給的條件很容易做到這一點(diǎn)。證明：由于有界，則存在，使，二等分，則,必然有一個(gè)含的無(wú)窮多項(xiàng)，記為，二等分，則必有一個(gè)含無(wú)窮多項(xiàng)，記為，如此下去，構(gòu)造閉區(qū)間列， 滿足條件1) 是閉區(qū)間套;2) 都含有中無(wú)窮多項(xiàng)。由閉區(qū)間套定理，存在唯一的點(diǎn),使。下面證明，正是某個(gè)子列的極限，這就需要構(gòu)造出子列來(lái)，注意到點(diǎn)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)遞增、單調(diào)遞減收斂于，且，可以設(shè)想，構(gòu)造的子列只需滿足，即從區(qū)間套的每個(gè)區(qū)間中取點(diǎn)即可。即在 中任取一項(xiàng)，由閉區(qū)間套構(gòu)造的性質(zhì)，在中，總含有之后的無(wú)窮多項(xiàng)，從中取出一項(xiàng)記為，使，如此下去，可構(gòu)造子列 且故。注、從證明中可看出，收斂子列不唯一。這個(gè)性質(zhì)也可以用聚點(diǎn)的概念來(lái)刻劃。給定數(shù)列和實(shí)數(shù)a，若對(duì)任意的，中都含有的點(diǎn)，則稱(chēng)a為數(shù)列的聚點(diǎn)。因此，Weierstrass定理表明，有界點(diǎn)列必有聚點(diǎn)，但聚點(diǎn)不唯一。注、從證明過(guò)程中可以總結(jié)出解決問(wèn)題的又一思路：即當(dāng)嚴(yán)格或精確地解決問(wèn)題較困難時(shí)，可以將問(wèn)題的解決分層次進(jìn)行，先解決低層次或粗略的結(jié)論，然后將結(jié)論進(jìn)一步精確化。注、構(gòu)造閉區(qū)間套的方法如二等分方法，以后還有三等分法等，同時(shí)還有掌握構(gòu)造閉區(qū)間套的原則。注、W定理又稱(chēng)緊性定理或致密性定理，是現(xiàn)代分析學(xué)中非常重要的結(jié)論。當(dāng)有界條件去掉時(shí)，有較弱的結(jié)論。定理4.8 若無(wú)界，則存在子列 ，使。證明：無(wú)界，則使，因而，取，存在，使得；取，存在，使得；如此下去，對(duì)任意正整數(shù)k，取，存在，使得；顯然，由此構(gòu)造的子列，滿足。 例7 若無(wú)界，但不是無(wú)窮大量，證明必存在兩個(gè)子列和，使得是無(wú)窮大量，而收斂。證明：由定理4.8，存在子列，使得。下面，構(gòu)造第二個(gè)子列。由于不是無(wú)窮大量，因而，存在M>0，對(duì)任意的N，都存在，使得 ，因此，取，存在，使得；取，存在，使得；如此下去，對(duì)任意正整數(shù)k，取，存在，使得；因而，存在子列，滿足有界，由Weierstrass定理，存在子列，也是原數(shù)列的子列，使得收斂。五、Cauchy 收斂定理。我們繼續(xù)研究數(shù)列的收斂性，給出數(shù)列收斂性的判別準(zhǔn)則。我們已經(jīng)掌握的收斂準(zhǔn)則，只有單調(diào)有界收斂定理。但此定理只給出數(shù)列的充分條件。事實(shí)上，更多的收斂數(shù)列并非單調(diào)，因此，這個(gè)定理雖好，但是，使用范圍受限，因此，尋找判別數(shù)列收斂的充分必要條件非常有意義。Cauchy收斂定理，也稱(chēng)Cauchy判別準(zhǔn)則就是一個(gè)判別數(shù)列收斂的充分必要條件。先引入一個(gè)基本概念。定義4.3 若 滿足： 當(dāng)時(shí)，成立 稱(chēng)為基本列。注、定義中給出了基本列的結(jié)構(gòu)特征。引理4.1 設(shè) 為基本列，若有一子列收斂，則收斂。證明：由于為基本列，故 當(dāng)時(shí)，成立 又，收斂，因而， 當(dāng)時(shí)，成立 取，則當(dāng)時(shí)， 故，收斂。 注、引理表明，對(duì)基本列而言，數(shù)列收斂性等價(jià)于子列收斂，這是一個(gè)很好的結(jié)論，也表明基本列是一類(lèi)很好的數(shù)列。事實(shí)上，基本列就是收斂數(shù)列。定理4.8 （Cauchy收斂定理）：收斂等價(jià)于是基本列。證明：假設(shè)，則對(duì) 使時(shí)，故 時(shí)，因而，是基本列。反之，假設(shè)是基本列。