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2020數(shù)學(xué)理高考二輪專題復(fù)習(xí)與測試:第二部分 專題五 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 Word版含解析

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2020數(shù)學(xué)理高考二輪專題復(fù)習(xí)與測試:第二部分 專題五 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 Word版含解析

A 級級基礎(chǔ)通關(guān)基礎(chǔ)通關(guān)一、選擇題一、選擇題1已知橢圓已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的離心率為的離心率為12,則,則()Aa22b2B3a24b2Ca2bD3a4b解析:解析:由由 eca12,則,則 a2c.又又 a2b2c2,所以,所以 3a24b2.答案:答案:B2(2019天一聯(lián)考天一聯(lián)考)設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線 C:x28y2m1 的左右焦點分別為的左右焦點分別為 F1、F2,過點,過點 F1的直線與雙曲線的直線與雙曲線 C 交于交于 M,N 兩點,其中兩點,其中 M 在左支上,在左支上,點點 N 在右支上,若在右支上,若F2MNF2NM,則,則|MN|()A8B4C8 2D4 2解析:解析:由由F2MNF2NM,知,知|F2M|F2N|,又又|MF2|MF1|4 2,|NF1|NF2|4 2.兩式相加,得兩式相加,得|NF1|MF1|8 2,故故|MN|NF1|MF1|8 2.答案:答案:C3已知橢圓已知橢圓 C:x2a2y2b21(ab0)的左焦點為的左焦點為 F,C 與過原點的與過原點的直線相交于直線相交于 A,B 兩點,連接兩點,連接 AF,BF.若若|AB|10,|BF|8,cos ABF45,則,則 C 的離心率為的離心率為()A.35B.57C.45D.67解析:解析:如圖所示,在如圖所示,在AFB 中,中,|AB|10,|BF|8,cos ABF45,由余弦定理得由余弦定理得|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cos ABF1006421084536,所以所以|AF|6,BFA90,設(shè)設(shè) F為橢圓的右焦點,連接為橢圓的右焦點,連接 BF,AF.根據(jù)對稱性可得四邊形根據(jù)對稱性可得四邊形 AFBF是矩形是矩形所以所以|BF|6,|FF|10,所以,所以 2a86,2c10,解得解得 a7,c5,所以,所以 eca57.答案:答案:B4(2019長郡中學(xué)模擬長郡中學(xué)模擬)已知已知 F1,F(xiàn)2是雙曲線是雙曲線x2a2y2b21(a0,b0)的左的左、 右焦點右焦點, 若點若點 F2關(guān)于雙曲線漸近線的對稱點關(guān)于雙曲線漸近線的對稱點 A 滿足滿足F1AOAOF1(O 為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點),則雙曲線的漸近線方程為,則雙曲線的漸近線方程為()Ay 3xBy2xCy 2xDyx解析:解析:設(shè)設(shè) F2A 與漸近線與漸近線 ybax 交于點交于點 M,且,且 O,M 分別為分別為 F1F2、F2A 的中點,的中點,故故 OMF1A,則,則 F1AF2A,OAOF1c.又又F1AOAOF1,所以,所以F1OA 為正三角形,為正三角形,所以所以MOF23,故雙曲線的漸近線為故雙曲線的漸近線為 y 3x.答案:答案:A5(2019全國卷全國卷)設(shè)設(shè) F 為雙曲線為雙曲線 C:x2a2y2b21(a0,b0)的右的右焦點焦點,O 為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點,以以 OF 為直徑的圓與圓為直徑的圓與圓 x2y2a2交于交于 P,Q 兩兩點若點若|PQ|OF|,則,則 C 的離心率為的離心率為()A. 2B. 3C2D. 5解析解析: 設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線 C:x2a2y2b21(a0, b0)的右焦點的右焦點 F 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(c,0)由圓的對稱性及條件由圓的對稱性及條件|PQ|OF|可知,可知,PQ 是以是以 OF 為直徑的圓的為直徑的圓的直徑,且直徑,且 PQOF.設(shè)設(shè) PQ 與與 OF 交于點交于點 M,連接,連接 OP,如圖所示,如圖所示則則|OP|a,|OM|MP|c2,由由|OM|2|MP|2|OP|2,得,得 2c22a2,故故ca 2,離心率,離心率 e 2.答案:答案:A二、填空題二、填空題6 (2019江蘇卷江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中中, 若雙曲線若雙曲線 x2y2b21(b0)經(jīng)過點經(jīng)過點(3,4),則該雙曲線的漸近線方程是,則該雙曲線的漸近線方程是_解析:解析:因為雙曲線因為雙曲線 x2y2b21(b0)經(jīng)過點經(jīng)過點(3,4),則,則 916b21(b0),解得,解得 b 2,即雙曲線方程為,即雙曲線方程為 x2y221,因此雙曲線的漸近線方程為因此雙曲線的漸近線方程為 y 2x.答案:答案:y 2x7(2019珠海調(diào)研珠海調(diào)研)已知直線已知直線 l 是拋物線是拋物線 y22px(p0)的準(zhǔn)線,的準(zhǔn)線,半徑為半徑為 3 的圓過拋物線頂點的圓過拋物線頂點 O 和焦點和焦點 F,且與直線,且與直線 l 相切,則拋物線相切,則拋物線的方程為的方程為_解析解析:由已知圓心在由已知圓心在 OF 的中垂線上的中垂線上,故圓心到準(zhǔn)線的距離為故圓心到準(zhǔn)線的距離為34p,所以所以34p3,所以,所以 p4,故拋物線的方程為,故拋物線的方程為 y28x.答案:答案:y28x8(2019全國卷全國卷)設(shè)設(shè) F1,F(xiàn)2為橢圓為橢圓 C:x236y2201 的兩個焦點的兩個焦點,M 為為 C 上一點且在第一象限上一點且在第一象限 若若MF1F2為等腰三角形為等腰三角形, 則則 M 的坐標(biāo)的坐標(biāo)為為_解析:解析:設(shè)設(shè) F1為橢圓的左焦點,分析可知點為橢圓的左焦點,分析可知點 M 在以在以 F1為圓心,焦為圓心,焦距為半徑的圓上,即在圓距為半徑的圓上,即在圓(x4)2y264 上上因為點因為點 M 在橢圓在橢圓x236y2201 上,上,所以聯(lián)立方程可得所以聯(lián)立方程可得(x4)2y264,x236y2201,解得解得x3,y 15.又因為點又因為點 M 在第一象限,所以點在第一象限,所以點 M 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3, 15)答案:答案:(3, 15)三、解答題三、解答題9(2018全國卷全國卷)設(shè)拋物線設(shè)拋物線 C:y24x 的焦點為的焦點為 F,過過 F 且斜率且斜率為為 k(k0)的直線的直線 l 與與 C 交于交于 A,B 兩點,兩點,|AB|8.(1)求求 l 的方程;的方程;(2)求過點求過點 A,B 且與且與 C 的準(zhǔn)線相切的圓的方程的準(zhǔn)線相切的圓的方程解:解:(1)由題意得由題意得 F(1,0),l 的方程為的方程為 yk(x1)(k0)設(shè)設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),由由yk(x1) ,y24x得得 k2x2(2k24)xk20.16k2160,故,故 x1x22k24k2.所以所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k24k2.由題設(shè)知由題設(shè)知4k24k28,解得,解得 k1(舍去舍去),k1.因此因此 l 的方程為的方程為 yx1.(2)由由(1)得得 AB 的中點坐標(biāo)為的中點坐標(biāo)為(3,2),所以所以 AB 的垂直平分線方程的垂直平分線方程為為y2(x3),即,即 yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則,則y0 x05,(x01)2(y0 x01)2216.解得解得x03,y02或或x011,y06.因此所求圓的方程為因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216 或或(x11)2(y6)2144.10(2018全國卷全國卷)已知斜率為已知斜率為 k 的直線的直線 l 與橢圓與橢圓 C:x24y231交于交于 A,B 兩點,線段兩點,線段 AB 的中點為的中點為 M(1,m)(m0)(1)證明:證明:k12;(2)設(shè)設(shè) F 為為 C 的右焦點,的右焦點,P 為為 C 上一點,且上一點,且FPFAFB0.證明:證明:|FA|,|FP|,|FB|成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差(1)證明:證明:設(shè)設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),則則x214y2131,x224y2231.兩式相減,并由兩式相減,并由y1y2x1x2k 得得x1x24y1y23k0.由題設(shè)知由題設(shè)知x1x221,y1y22m,于是,于是 k34m.由題設(shè)得由題設(shè)得 0m32,故,故 k12.(2)解:解:由題意得由題意得 F(1,0)設(shè)設(shè) P(x3,y3),則,則(x31,y3)(x11,y1)(x21,y2)(0,0)由由(1)及題設(shè)得及題設(shè)得 x33(x1x2)1,y3(y1y2)2m0.又點又點 P 在在 C 上,所以上,所以 m34,從而從而 P(1,32),|FP|32,于是于是|FA| (x11)2y21(x11)23(1x214)2x12.同理同理|FB|2x22.所以所以|FA|FB|412(x1x2)3.故故 2|FP|FA|FB|,即,即|FA|,|FP|,|FB|成等差數(shù)列成等差數(shù)列設(shè)該數(shù)列的公差為設(shè)該數(shù)列的公差為 d,則,則 2|d|FB|FA|12|x1x2|12(x1x2)24x1x2.將將 m34代入代入得得 k1,所以所以 l 的方程為的方程為 yx74,代入,代入 C 的方程,并整理得的方程,并整理得 7x214x140.故故 x1x22,x1x2128,代入,代入解得解得|d|3 2128.所以該數(shù)列的公差為所以該數(shù)列的公差為3 2128或或3 2128.B 級級能力提升能力提升11(2019全國卷全國卷)已知橢圓已知橢圓 C 的焦點為的焦點為 F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),過過 F2的直線與的直線與 C 交于交于 A,B 兩點兩點若若|AF2|2|F2B|,|AB|BF1|,則則 C的方程為的方程為()A.x22y21B.x23y221C.x24y231D.x25y241解析解析: 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0) 連接連接 F1A, 令令|F2B|m,則,則|AF2|2m,|BF1|3m.由橢圓的定義知,由橢圓的定義知,4m2a,得得 ma2,故故|F2A|a|F1A|,則點,則點 A 為橢圓為橢圓 C 的上頂點或下頂點如圖的上頂點或下頂點如圖不妨設(shè)不妨設(shè) A(0,b),由,由 F2(1,0),AF22F2B,得,得 B32,b2 .由點由點 B 在橢圓上,得在橢圓上,得94a2b24b21,得得 a23,b2a2c22,橢圓,橢圓 C 的方程為的方程為x23y221.答案:答案:B12(2019天津卷天津卷)設(shè)橢圓設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)的左焦點為的左焦點為 F,上頂,上頂點為點為 B.已知橢圓的短軸長為已知橢圓的短軸長為 4,離心率為,離心率為55.(1)求橢圓的方程;求橢圓的方程;(2)設(shè)點設(shè)點 P 在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點 M 為直線為直線 PB與與 x 軸的交點軸的交點,點點 N 在在 y 軸的負(fù)半軸上軸的負(fù)半軸上,若若|ON|OF|(O 為原點為原點),且且OPMN,求直線,求直線 PB 的斜率的斜率解:解:(1)設(shè)橢圓的半焦距為設(shè)橢圓的半焦距為 c,依題意,依題意 2b4,得,得 b2.又又 eca55,且,且 a2b2c24c2,解之得解之得 a 5,c1.所以橢圓的方程為所以橢圓的方程為x25y241.(2)由題意由題意,設(shè)設(shè) P(xP,yP)(xP0),M(xM,0)設(shè)直線設(shè)直線 PB 的斜率的斜率為為k(k0),又又 B(0,2),則直線,則直線 PB 的方程為的方程為 ykx2,與橢圓方程聯(lián)立,與橢圓方程聯(lián)立ykx2,x25y241,整理得整理得(45k2)x220kx0,可得可得 xP20k45k2,代入代入 ykx2 得得 yP810k245k2,進(jìn)而直線進(jìn)而直線 OP 的斜率為的斜率為yPxP45k210k.在在 ykx2 中,令中,令 y0,得,得 xM2k.由題意得由題意得 N(0,1),所以直線,所以直線 MN 的斜率為的斜率為k2.由由 OPMN,得,得45k210kk2 1,化簡得,化簡得 k2245,從而從而 k2 305.所以,直線所以,直線 PB 的斜率為的斜率為2 305或或2 305.

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