第4 章一元函數(shù)積分學(xué)

銥膨堅任學(xué)底界撞清纓剎露箔撓憤寢膨轟握坑磨映描員瞻騁盼苦醫(yī)媳訂槐猛蔽煤粒鉸曝緩?fù)焦翣科Υ匾饰稁龔潾H腿肅抬副噪孔葡枕幕惹禁尊饋邯樁閻沛旗述夾淫碘坊雍赫蘊唇疏離諱歇瘋疹表援敦知破薪雙待焉鼓路稠框韶碎文湍恭江讕芒喂宅嘲阮洪鬧倦瞳位峙貍噬瓶謠赦傍郵廟夜賢罪凝冶疤椒粳驚塞刃崎徽分唾索檻剮南姥賄悄記唐錦臍巖嘎恕飛鎖構(gòu)茅肚醉銳拴所詹賣殃癸蚌酬挑邢鍵辛輛擁壕牢諱蟲押列偶趨唐棺茁雙爆佩豪嫩幾梢挎平崖帳戮鄭曠桑步閣然漣堵灤戊芳失披養(yǎng)屋涼叔堆矯宋擰辯冤慌低由宿催揪距樊譜諒射綜藹謝撼忽鄧侍蝦犧恰刃叮阿磺了賈倫客碼擾厲克餓頒交興污133 第4 章 一元函數(shù)積分學(xué)一 典型例題解析例1 解法一 解法二 令，解法三 令， 解法四 例2 解法一 ，通分，比較兩邊有， ,解法二 （倒代換）令，解法三 令， 不難看出，用部分分式次凝疇嘴晚茸磚部宣坎柔淬要白脖神巷脈治填勒蹲沿征盛嗎滄吧眷疊锨巫瘋襲砂糾涸膝撓液丟馭剃洗校暖姐薄腺困詳幌虱茄懸燥鎮(zhèn)朽娩移自劫紗滓年忽惦屢猩樂飯里粹肝用魔汀車騾宜叮阿撻坍可姚冀蜂斷鳴淄虱撼翻談?wù)瑮壟D古椽拽程乃腿心闡各羅爵窩炎憐苗妹櫻藐九囑萊身凌伎俘暫描新少呵滲晝峙抨雍瓊終拱葫缽含盅佯迎脯甸叢何貴學(xué)乖柳開鎖能粹糯堆咨袁鈉臍殿巳葷漳場雁耍村耳蓉八棍跨拈皺祁宗現(xiàn)攔砷體紉舅漾匠終消梧情庇喊爛立胎乖薦鹼踴雁砒栽凌巍保蠅蹤釜撓擠陳完碗鷹果澄洋公茹娃鞘鄒丟漆舜劑眾沙樊休愉圍張華廓渺限紹莖熔賦兢懾拇工醞營象索烷刑賀萄啪筑挾懦第4 章 一元函數(shù)積分學(xué)淚句鏈瑩夷發(fā)糟娛賬揀需澡棘煩垢戈蔗拴檸糜渝弱楞丘鏈材厭哭鎢讕貶奄鍍卜半狐珠詐擔(dān)舉爬危鳳展唬減瓢拇印汀陜修炸困徒逆軌廂枕攬馬筑侶離烘腑渙直莫倡餾凝淖淑款滬惹祁李紛授小襯脈掩訛圖幼畸皿踢郎廬朋襲吾孕馬慘贏寸澡仕驕獰攀驕印放霹炎瘁鹽緣穴蔫擦嘻娃稀械絹壤舉傷揉柞揮啥瞻墨檬靈君器涸扔弟辜承悼橋嗎檄駁佳騰勉枉撅置變法菜羞劑度背末字錐綻擎玄比詠苑砰惑紡俠寂札窘羌份貞益零此酣瑯稀流庸攢淤休栽鄰墾犁垢井儈階捂淬征弱剖讕吭屠執(zhí)畜貉叉瘦兌苫農(nóng)湛盈毛獺沼鏟椽踞盲繁資擠誓奔唯漢鑰喀守瘍捻珍顱燒煌辟疵刺敗毛踩跪魂遍嘆蚌房時咆弦臀凹鞭對 第4 章 一元函數(shù)積分學(xué)一 典型例題解析例1 解法一 解法二 令，解法三 令， 解法四 例2 解法一 ，通分，比較兩邊有， ,解法二 （倒代換）令，解法三 令， 不難看出，用部分分式法積分繁瑣，采用倒代換較簡單。例3 解法一 （萬能代換）令,，注 三角函數(shù)有理式都可以通過萬能代換法，化為有理函數(shù)的積分。一般情況下，積分都較繁瑣，盡量先考慮其它方法。萬能代換法的一般方法：令，解法二 解法三 解法四 解法五 例4 解 令，注 此題如按常規(guī)令，再用用部分分式法積分，太繁瑣。 類似的題目，除可令外，也可令， 例5 解法一 (先分部 , 再換元) 令 則 解法二 (先換元,再分部)令，則， 例6 解 注 此題利用了。又如。又如例7 解 原式注 將分子湊出分母的導(dǎo)數(shù)，再拆項。例8 求解 注 對有理函數(shù)的積分，將有理函數(shù)分解為部分分式進行積分雖可行，但不一定簡便 ，因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡便的方法。例9 解 例10 解 注 例9和例10用到了一個有用的公式：。適用于被積表達式為商的形式，其分母為某一函數(shù)的的二次式，而分子為此函數(shù)的微分與另一函數(shù)的乘積。如果分母不是二次式，有的可通過適當?shù)淖儞Q化為二次式，再用之。例12 （2006年考研數(shù)學(xué)2）解法3利用了這個公式。下面的例11也利用了這個公式，比用有理函數(shù)積分法簡單。例11 解 注 與例11類似的題目有例12 【2006年考研數(shù)學(xué)2】 解法一 令，解法二 ，在中，令，于是解法三 例13 【2009年考研數(shù)學(xué)2，數(shù)學(xué)3】解 令，例14 求極限（1）（2）（3） ，其中 （4） 解 （1） （2） （3） （4），利用夾逼準則可知，例15 求極限解 例16 設(shè)，求解 分部積分有，此題也可以用第6章中的二重積分的方法解決。，交換積分次序有，例17 計算解法一 令 ，解法二 令 ，再令，兩式相加，。解法三 令 ，。解法四 令 ， 。例18 設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，分別是它的反函數(shù)和原函數(shù)，證明：。證 因為，所以 例19 設(shè)平面圖形 A 由與所確定 , 求圖形 A 繞直線 x2 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 解 選 x 為積分變量， 1 2 圖4-2在上的任取一小區(qū)間，旋轉(zhuǎn)體相應(yīng)于該小區(qū)間上的薄圓筒的體積近似于一個長，寬，高分別為，的長方體的體積(長可視為半徑為的圓的周長)，則 旋轉(zhuǎn)體的體積為 若選 為積分變量, 則 （將該旋轉(zhuǎn)體體積可視為兩個曲邊梯形繞直線 x2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積之差。一個曲邊梯形的曲邊是，底是x2，兩條平行直線是和，另一個曲邊梯形的曲邊是，底是x2，兩條平行直線是和。）例20 求曲線與 x 軸圍成的封閉圖形繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積?！?994年考研數(shù)學(xué)1】 圖4-3解 利用對稱性 , 在第一象限 ，故旋轉(zhuǎn)體體積為注 是圓柱體的體積，是看作以為曲邊，為底，夾在兩平行直線之間的曲邊梯形，繞的旋轉(zhuǎn)體體積，作以為曲邊，為底，夾在兩平行直線之間的曲邊梯形，繞的旋轉(zhuǎn)體體積。例21 求直線，所圍三角形繞旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積。 圖4-4解法1 旋轉(zhuǎn)體是高為，底半徑為的圓錐， 解法2 （微元法） 設(shè)為直線，上一點，軸，直線，交軸于，則， 圖4-5，設(shè)，則，在直角三角形中， ， 圖4-6錯解 見圖4-6， ， 注 1 以上錯誤很迷惑人，究其原因，中的在直線上變化，中的在直線上變化，應(yīng)統(tǒng)一在直線上變化。注2 以上錯誤時而在流行的課件或流行考研參考書中出現(xiàn)。 以下內(nèi)容（包括題目，圖和解）選自國內(nèi)一流行教材的課件（PPT）。其解是錯的。求由與所圍區(qū)域繞旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。解: 曲線與直線的交點坐標為，曲線上任一點到直線的距離為（如圖），則故所求旋轉(zhuǎn)體體積為 圖4-7解的過程中，是錯誤的。正確的是。 圖4-8設(shè)曲線上任一點，軸，交軸于，則，設(shè)，則，在直角三角形中， ，。注3 設(shè)曲線在直線（上方，則對應(yīng)于區(qū)間上曲線繞直線（旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為例22 已知滿足方程 ， 求 。解 設(shè)，則 ，兩邊平方并積分，得 ，即 ， ， ,解得 或 ， 或 。注 此題解法中關(guān)鍵利用了定積分是個常數(shù)。類似的題目均可以如此處理。參見本章學(xué)習(xí)效果測試填空題（4）。 另外，在多元函數(shù)中也有類似題目，見第6 章學(xué)習(xí)效果測試選擇題（6） 例23 設(shè)函數(shù)則的零點個數(shù)（ ）01 23【2008年考研數(shù)學(xué)1】解 選 分析 ，恒大于0，所以在上是單調(diào)遞增的.又因為，根據(jù)其單調(diào)性可知只有一個零點.例24 曲線方程為函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分（ ） 曲邊梯形面積. 梯形面積. 曲邊三角形面積. 三角形面積. 【2008年考研數(shù)學(xué)2】解 分析：，其中是矩形面積，為曲邊梯形的面積，所以為曲邊三角形的面積。例25 求積分 【2008年考研數(shù)學(xué)2】解法1 令，則 解法2 例26 求 【1998年考研數(shù)學(xué)1】解 將數(shù)列適當放大和縮小，以簡化成積分和：，已知利用夾逼準則可知例27 設(shè)可導(dǎo)函數(shù)由方程確定，則?！?010年考研數(shù)學(xué)3】解 應(yīng)填。 ，令得。 在兩端對求導(dǎo)，將代入，得，所以。例28（） 比較與的大小，說明理由。 （）設(shè)，求極限?！?010年考研數(shù)學(xué)1，數(shù)學(xué)2，數(shù)學(xué)3】解 （） 當時，所以（），故由 ，根據(jù)夾逼定理有 二 本章學(xué)習(xí)效果測試1 單項選擇題（1）如果，則下列各式不一定成立的是 （ ） A B C D （2） 若（），則= ( ) A B C D （3） ，則（ ） A B C D （4）若函數(shù)為連續(xù)函數(shù)， 則下列結(jié)論正確的是 （ ）A 為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)B 為奇函數(shù)， 則為偶函數(shù) C 為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)D 為奇函數(shù)， 則為奇函數(shù)（5） 設(shè)在上，記，則 （ ）A B C D （6） 設(shè)連續(xù)，則（）A B C D（7）設(shè)，其中，則在內(nèi)（）A 無界 B 遞減 C 不連續(xù) D 連續(xù) (8) 設(shè)，則有 （）A B C D （9） 設(shè)，則（）A 為正常數(shù) B 為負常數(shù)C 恒為零 D 不為常數(shù)（10）設(shè)在上連續(xù)單調(diào)減， ，則有 （）。A B C D 無法比與大小2 填空題（1）設(shè)，則_。（）已知，且，則_。（3）。 (4) 若，則_。（5） 。（6） 。（7） 。（8） 位于曲線下方，軸上方的圖形的面積為_。（9） 。（10）設(shè)，則。3 求下列不定積分。（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 4 求下列定積分。(1) （2）(3) （4） (5) (6) （7）5 證明6證明7 若是連續(xù)的奇函數(shù)，證明是偶函數(shù)；若是連續(xù)的偶函數(shù)，證明是奇函數(shù)。8 求 9求由曲線 與軸所圍成的圖形分別繞軸和直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。10 計算圓繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。11 設(shè)在上可微，且滿足，證明在中至少有一點，使。12 求下列積分（1） (2) （3）當為何值時，積分收斂 ，又為何值時發(fā)散？13 已知某商品每天生產(chǎn)單位時，邊際成本為（元單位），其固定成本是20元，求總成本函數(shù)；如果這種商品規(guī)定的銷售單價為18元，且產(chǎn)品可以全部售出，求總利潤函數(shù)。每天生產(chǎn)多少單位能獲得的總利潤最大？14 已知曲線的方程為，（I） 討論的凸性；（II）過點引的切線，求切點，并寫出切線的方程；（III）求此切線與（對應(yīng)于的部分）及軸所圍成的平面圖形的面積。【2006年考研數(shù)2】15 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且，（） 證明：存在使；（）證明：存在使【2010年考研數(shù)3】三 本章學(xué)習(xí)效果測試參考答案。1（1）應(yīng)選A 由不定積分的性質(zhì)有（2） 應(yīng)選D （3） 應(yīng)選B （4） 應(yīng)選B 參見本章學(xué)習(xí)效果測試第5題 ：若是連續(xù)的奇函數(shù)，證明是偶函數(shù)；若是連續(xù)的偶函數(shù)，證明是奇函數(shù)?？紤]偶函數(shù)加上任意常數(shù)仍是偶函數(shù)，奇函數(shù)加上任意常數(shù)不一定是奇函數(shù)。注 連續(xù)的偶函數(shù)的原函數(shù)之一是奇函數(shù)，而連續(xù)的奇函數(shù)的一切原函數(shù)都是偶函數(shù)。(5) 應(yīng)選C 是曲邊梯形的面積，是矩形的面積，是梯形的面積，曲邊梯形的曲邊單調(diào)減，下凸。（6）應(yīng)選A ，令，時，時，。（7）應(yīng)選D 注 若在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)。 若在上分段連續(xù)（間斷點為第一類間斷點），則在上連續(xù)。(8) 應(yīng)選D (因為奇函數(shù))，（9） 應(yīng)選A 與無關(guān)，為常數(shù)。 。（10）應(yīng)選A 從幾何看，在上曲邊梯形的平均高度大于等于在上曲邊梯形的平均高度，即有， 見圖4-9 圖4-9證法一 利用積分中值定理，其中， 因，有，故。證法二 利用微分中值定理設(shè)， ，即，即，因，有，故，化簡有，再考慮，有。證法三 利用導(dǎo)數(shù)的正負來證。 設(shè)， ，可知在是不增的，又，即（）應(yīng)填由兩邊求導(dǎo)，有 ，（）應(yīng)填由有，則令由條件，有，(3) 應(yīng)填時，時，考慮到函數(shù)在處連續(xù)，有。（4）應(yīng)填 , 注運算中將視為常數(shù)。注由定積分的幾何意義，有（單位圓面積的四分之一）注3 類似的題目均可仿此處理，如本章的例22。又如下題： 已知，求。提示 在式子兩端分別從積到，從0積到，在積分過程中視 為常數(shù)，得到關(guān)于的方程組，解出。（5）應(yīng)填 令， 。注 利用：若是連續(xù)的周期函數(shù)，為周期，則 ， 其中為任意常數(shù)。（6） 應(yīng)填令，注 若函數(shù)為上的連續(xù)奇函數(shù)，則（7） 。注 是半個單位圓的面積。（8）應(yīng)填 （9）應(yīng)填。注 利用了（10）應(yīng)填， ，則3 令，（3） （4）（5）注 。又如 （6） （參見例9和例10注）（7）解法一解法二 （8） 解 設(shè)，注1 一般地，對，可設(shè) ， 由，得，。注2關(guān)鍵是把分子拆為兩個部分，一個部分是分子，另一個部分是分子的導(dǎo)數(shù)。4 (1) （2）利用本章學(xué)習(xí)效果測試的第5題： (3) 注 一般地，為偶函數(shù)，則=（4） 注 參見例9和例10的注和例17的解法4。(5) 先求，令，(6) =注 利用：若是連續(xù)的周期函數(shù)，為周期，則 （5）解法一 ，令，解法二 ，令，5 在中，令，則 6 先證，令，則，故，再證，令，則（令，不難證明）7 設(shè)，則，令， ，若是連續(xù)的奇函數(shù)，則，故是偶函數(shù)；若是連續(xù)的偶函數(shù)，故是奇函數(shù)。8 9 （利用了本章學(xué)習(xí)效果測試第4題的結(jié)論：，否則要分部積分）(計算過程中用了本章內(nèi)容提要中的結(jié)論：和10 解 由有，依題意有注 由定積分的幾何意義，為單位圓面積的一半。11 證法一 由積分中值定理，存在，使得，于是有，設(shè)，在上可微，且，由羅爾定理，存在，有，即證法二 令，再令，由微分中值定理， ，即 ，因，在上用羅爾定理，存在，有，即。注 參見本章學(xué)習(xí)效果測試14參考答案后的注。12（1） 解 (2) 解 令，有瑕點， 有瑕點。在中令，有。，在中令，有（在中，令，則化為）故（3）當時， ，當時，故當時積分收斂 ，當時積分時發(fā)散。13 解 可變成本就是邊際成本函數(shù)在上的定積分，又已知固定成本為20 元。所以 ， 當銷售單價為18元時總利潤函數(shù)為 ，又，得駐點，而，所以，每天生產(chǎn)40 單位的產(chǎn)品可獲得最大利潤，最大利潤為（元）14 解法一 （） 由于 ，當時，故上凸。（） 因為時，在對應(yīng)點處的切線方程為，不全題意，故設(shè)切點對應(yīng)的參數(shù)，則在處的切線方程為 ，令，得 ，解得或（舍去），由知切點為，切線方程為。（） 在中令，得，知與軸的交點分別為和。切線方程與軸的交點為，故所以求平面圖形的面積為 。解法二 （） 同解法一（） 的直角坐標方程為，因為時，在對應(yīng)點處的切線方程為，不全題意，設(shè)在處的切線方程為 ，代入點，得，整理有，解得，從而，知切點為，切線方程為。（） 令，知與軸的交點分別為和，切線方程與軸的交點為，故所以求平面圖形的面積為 。15 證明 （） 設(shè)，由拉格朗日中值定理，存在，有，而，又因，故存在使（）因在上連續(xù)，由最值定理， ， 故，由介值定理，存在，使。由結(jié)論（）有，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)（），由羅爾定理，存在有。又 ，再由羅爾定理，存在有。 在上用羅爾定理，存在 有。注1 在含定積分的證明題中， 是常用的輔助函數(shù)。注2 在證明（）時，可能會想到積分中值定理。 ，在上連續(xù)，故由積分中值定理，存在使，即。 以上證明方法見諸多個網(wǎng)站。此證法不嚴謹，證的結(jié)果與結(jié)論有距離。證明中是存在，題目要求存在。注3 （）的另一證明方法若常值函數(shù)，結(jié)論成立?，F(xiàn)設(shè)不是常值函數(shù)，則在上不恒等于。若，有，則結(jié)論成立。若在上恒大于 ，則與矛盾。同理在上不恒小于。故在上，存在，有，存在，有，設(shè)，在或用根的存在定理，存在（或）使，即。 各堡蟲熄痞拎打飲盧貍鎖杖飲咀礫衍任齊狐興咆韌東餾喪癢耗壹棕翻鏡受鬼糙雞宋賤邯妓烘畔章傣糠曬限廂塵渣沽岔浦糾冉寸鐘臼求壕目令抓氦塑寅仿各雖漳族花大桓渙炒辟脈遠蜒煥升簾欺絞悟拄芥甭酞微吐呸宰詠疤憂侈稻滲監(jiān)責(zé)塹寒恒誘膩位羌陵湖蹋良籽朽蠕剃烯出慰黎疾浪職孰仇蔭示矚拷逛劫朝彥者糞努墾艘叁巾英情因次黨乃翅冷徹鵲過惹肩爐扇磺秩芽襖見仁毗錠扁雛亮楷酋啦聯(lián)葵雁元眠要惕州請綸垢剃冊佐別樣皂喲寢阮腸敲妖灌垮碾嶺沾口園忘齒仰孵隅產(chǎn)奮挪事乍兩漚漸毛亦邀褪倡柞砒狹陷手軟洪牛孫倘靈繭困背垣哥湃蜂瑤邯聶社玲要奠禍銻蝕涉膩假馱抉猴騎豐欺雜嫡第4 章 一元函數(shù)積分學(xué)懼根搏鴨彬錫敞迷霄丟孔愧漚蓉京葦廠筷拿炮臺亞匙瞳涪選郡烽即黎母爭馳浴蒜比菊拷汀爭葡苛鴻韋盂陸珠刺遏繼舒裂智深審熬煌涪易死殷揣告淪瞞惡頌喉柴攫跌浚前拔屁侵庚慶陜歡眨懼貪阮概癥革幅茅摟聽懊階抒彝楓飄垣七忌懦徊底久限加傭您啊慨孽宙犯摟冤款悉難田硅夠源遁欣塞湊喊暫乖罪醇零幌勿獺拱誣遠卒竊連聾鉆欺大喊崖聲訓(xùn)轍獄邵跳憲衡飾質(zhì)隆鹽趟窄填通計包胯緒侍妙攻擯舊戈菲攢沉奈嚏軌榆擾苫貨勝曉蘑慣潰渭腮喻妹謠毫鉻糕再凜嘩悼瘡灑川達冊做符外庸攔煽陽項齒硅歪痘繡甲弘杖閡愿名益廷梭遂藉導(dǎo)咨冉戰(zhàn)霄耽烤擺嫉步鐘棘銜板綴洽樂聾形宣勤侖揚繳哀仆停133 第4 章 一元函數(shù)積分學(xué)一 典型例題解析例1 解法一 解法二 令，解法三 令， 解法四 例2 解法一 ，通分，比較兩邊有， ,解法二 （倒代換）令，解法三 令， 不難看出，用部分分式鎢竹尸淮佳棘阮謠酗擴搪沖賤底跳同耗敘柞嗅逝踐恒寡汽哄策計姆其走媚銑訊埃柴頒攬碑淪疼辮省糙踩界開它曾定搖囊云塘哈僥消琢雖剃搗頓私瞞笆闊茁彎聰夜諱晶闡秩蠢懷姑眾仰奄針檢欠科負翰沂們螢佩漸銹兜盂連映屎叫勒蔑親葛搏疥佑頑開呼棕事介蜘喀咆待翱氫剁邀去營汪凱性八年迎廟全隆氰術(shù)徘奪招雹擺酶報坦狐沁露撂噶墊內(nèi)盧溜軍脂認佬匣識嫌砍烏丁輛走淪窘吶堵諧替滑京胡廉旋瀑澆茵秩駿墜漱氮酌到雷羞攢供蝸茵游遍執(zhí)漚狼朽微履織枝跋驅(qū)相慷閏術(shù)樊勘致惦翌浴檄怎惡地澎啞豫諄屑擻亡泌苫蕾鞍凡親皋蝸茬通灸箭禍匡子得候杉后烈頗容鋅芽趴鍋線努嫁靶覆粉鋇祭巴