高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第五節(jié)　數(shù)列的綜合問題回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)

+2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料+第五節(jié)數(shù)列的綜合問題【考綱下載】來源:能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用相關(guān)知識解決相應(yīng)的問題1數(shù)列綜合應(yīng)用題的解題步驟(1)審題弄清題意，分析涉及哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容，在每個數(shù)學(xué)內(nèi)容中，各是什么問題(2)分解把整個大題分解成幾個小題或幾個“步驟”，每個小題或每個“步驟”分別是數(shù)列問題、函數(shù)問題、解析幾何問題、不等式問題等來源:(3)求解分別求解這些小題或這些“步驟”，從而得到整個問題的解答具體解題步驟如下框圖： , 還原 數(shù)學(xué)化 標(biāo)準(zhǔn)化 2常見的數(shù)列模型(1)等差數(shù)列模型：通過讀題分析，由題意抽象出等差數(shù)列，利用等差數(shù)列有關(guān)知識解決問題(2)等比數(shù)列模型：通過讀題分析，由題意抽象出等比數(shù)列，利用等比數(shù)列有關(guān)知識解決問題(3)遞推公式模型：通過讀題分析，由題意把所給條件用數(shù)列遞推式表達出來，然后通過分析遞推關(guān)系式求解1設(shè)本金為a，每期利率為r，存期為n，若按單利計算，本利和是多少？此模型是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型？提示：本利和為a(1rn)，屬等差數(shù)列模型2設(shè)本金為a，每期利率為r，存期為n，若按復(fù)利計算，本利和是多少？此模型是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型？提示：本利和為a(1r)n，屬等比數(shù)列模型1設(shè)an是公差不為0的等差數(shù)列，a12且a1，a3，a6成等比數(shù)列，則an的前n項和Sn()A. B.C. Dn2n解析：選A設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.a1，a3，a6成等比數(shù)列，aa1a6，即(a12d)2a1(a15d)又a12，(22d)22(25d)，解之得d或d0(舍)Snna1d2n.2已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是()A0 B1 C2 D4解析：選Dx，a，b，y成等差數(shù)列，abxy，又x，c，d，y成等比數(shù)列，cdxy.224.當(dāng)且僅當(dāng)xy時取等號，所以的最小值是4.3.在如圖所示的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一行成等差數(shù)列，每一列成等比數(shù)列，那么xyz的值為()A1 B2 C3 D4解析：選C由題意知，第三列各數(shù)成等比數(shù)列，故x1；第一行第五個數(shù)為6，第二行第五個數(shù)為3，故z；第一行第四個數(shù)為5，第二行第四個數(shù)為，故y，從而xyz3.4已知正項等差數(shù)列an滿足：an1an1a(n2)，等比數(shù)列bn滿足：bn1bn12bn(n2)，則log2(a2b2)_.解析：由題意可知an1an12ana，解得an2(n2)(由于數(shù)列an每項都是正數(shù)，故an0舍去)，又bn1bn1b2bn(n2)，所以bn2(n2)，所以log2(a2b2)log242.答案：25已知數(shù)列an的前n項和為Sn，對任意nN*都有Snan，若1Sk9(kN*)，則k的值為_解析：由Snan，得當(dāng)n1時，S1a1a1，則a11.當(dāng)n2時，Sn(SnSn1)，即Sn2Sn11.令Snp2(Sn1p)，得Sn2Sn13p，可知p.故數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列來源:則Sn(2)n1，即Sn(2)n1.由1(2)k19，kN*，得k4.答案：4 前沿?zé)狳c(七)數(shù)列中的三類探索性問題1條件探索性問題此類問題的基本特征是：針對一個結(jié)論，條件未知需探求，或條件增刪需確定，或條件正誤需判定；解決此類問題的基本策略是：執(zhí)果索因，先尋找結(jié)論成立的必要條件，再通過檢驗或認證找到結(jié)論成立的充分條件，在“執(zhí)果索因”的過程中，常常會犯的一個錯誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當(dāng)作充分條件，應(yīng)引起注意典例1已知數(shù)列an中，a12，a23，其前n項和Sn滿足Sn2Sn2Sn11(nN*)；數(shù)列bn中，b1a1，bn14bn6(nN*)(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)設(shè)cnbn2(1)n12an(為非零整數(shù)，nN*)，試確定的值，使得對任意nN*，都有cn1>cn成立來源:解題指導(dǎo)處理第(2)問中的cn1>cn恒成立問題，可通過構(gòu)造函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，再來研究所構(gòu)造的函數(shù)的最值解(1)由已知得Sn2Sn1(Sn1Sn)1，所以an2an11(n1)又a2a11，所以數(shù)列an是以a12為首項，1為公差的等差數(shù)列所以ann1.因為bn14bn6，即bn124(bn2)，又b12a124，所以數(shù)列b22是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列所以bn4n2.(2)因為ann1，bn4n2，所以cn4n(1)n12n1.要使cn1>cn成立，需cn1cn4n14n(1)n2n2(1)n12n1>0恒成立，化簡得34n3(1)n12n1>0恒成立，即(1)n1<2n1恒成立，當(dāng)n為奇數(shù)時，即<2n1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n1時，2n1有最小值1，所以<1；當(dāng)n為偶數(shù)時，即>2n1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n2時，2n1有最大值2，所以>2，即2<<1.來源:數(shù)理化網(wǎng)又為非零整數(shù)，則1.綜上所述，存在1，使得對任意nN*，都有cn1>cn成立名師點評對于數(shù)列問題，一般要先求出數(shù)列的通項，不是等差數(shù)列和等比數(shù)列的要轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列遇到Sn要注意利用Sn與an的關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為an，再研究其具體性質(zhì)遇到(1)n型的問題要注意分n為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況進行討論，本題易忘掉對n的奇偶性的討論而致誤2結(jié)論探索性問題此類問題的基本特征是：有條件而無結(jié)論或結(jié)論的正確與否需要確定；解決此類問題的策略是：先探索結(jié)論而后去論證結(jié)論，在探索過程中常可先從特殊情形入手，通過觀察、分析、歸納、判斷來猜測，得出結(jié)論，再就一般情形去認證結(jié)論典例2已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足：a2aanan1，且a2a42a34，其中nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足：bn，是否存在正整數(shù)m，n(1<m<n)，使得b1，bm，bn成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值，若不存在，請說明理由解題指導(dǎo)處理第(2)問中的是否存在問題，可先假設(shè)存在正整數(shù)m，n，把m，n轉(zhuǎn)化為一個變量求出這個變量的范圍，根據(jù)正整數(shù)求其值，若在所求范圍內(nèi)能夠得到適合題目的值，則存在，否則就不存在解(1)因為a2aanan1，即(anan1)(2anan1)0.又an>0，所以2anan10，即2anan1.所以數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列由a2a42a34，得2a18a18a14，解得a12.故數(shù)列an的通項公式為an2n(nN*)(2)因為bn，所以b1，bm，bn.若b1，bm，bn成等比數(shù)列，則2，即.由，可得，所以2m24m1>0，從而1<m<1.又nN*，且m>1，所以m2，此時n12.故當(dāng)且僅當(dāng)m2，n12時，b1，bm，bn成等比數(shù)列名師點評對于結(jié)論探索性問題，需要先得出一個結(jié)論，再進行證明注意含有兩個變量的問題，變量歸一是常用的解題思想，一般把其中的一個變量轉(zhuǎn)化為另一個變量，根據(jù)題目條件，確定變量的值遇到數(shù)列中的比較大小問題可以采用構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行證明，這是解決復(fù)雜問題常用的方法3存在探索性問題此類問題的基本特征是：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立；解決此類問題的一般方法是：假定題中的數(shù)學(xué)對象存在或結(jié)論成立或暫且認可其中的一部分結(jié)論，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定結(jié)論，其中反證法在解題中起著重要的作用典例3已知數(shù)列an的首項a1，an1，nN*.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，n，使m，s，n成等差數(shù)列，且am1，as1，an1成等比數(shù)列？如果存在，請給以證明；如果不存在，請說明理由解題指導(dǎo)第(1)問中an1與an的關(guān)系以分式形式給出，可以通過取倒數(shù)處理，目的仍然是變?yōu)榈炔顢?shù)列或等比數(shù)列；第(2)問可先假設(shè)所探求問題存在再去求解，注意應(yīng)用重要不等式進行判斷解(1)證明：因為，所以1.又因為10，所以10(nN*)所以數(shù)列為等比數(shù)列(2)假設(shè)存在，則mn2s，(am1)(an1)(as1)2，由(1)知1(a11)n1，則an，所以2，化簡得3m3n23s.因為3m3n223s，當(dāng)且僅當(dāng)mn時等號成立，又m，s，n互不相等，所以不存在名師點評數(shù)列問題是以分式形式給出條件的，一般采用取倒數(shù)，再轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，通過等差數(shù)列與等比數(shù)列的橋梁作用求出通項遇到多個變量的存在性問題，一般假設(shè)存在，求出滿足的關(guān)系，再尋找滿足的條件，一般可以利用重要不等式、值域或范圍等判斷是否存在.高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品