【備戰(zhàn)】北京中國(guó)人民大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)（題型預(yù)測(cè)范例選講）綜合能力題選講 第03講 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（含詳解）

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)題型預(yù)測(cè)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)都是非常重要的初等函數(shù)，也是我們?cè)诟咧须A段研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)主要的載體其它初等函數(shù)與之相復(fù)合，所得到的新函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性，以及它們與不等式的綜合常常成為考查的核心范例選講例1已知，其中（1）試求的定義域和值域；求出的反函數(shù)；（2）求出的反函數(shù)；（3）判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；（4）若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍.講解 （1）由于，所以，函數(shù)的定義域?yàn)镽.為求的值域，觀察函數(shù)的解析式注意到其實(shí)是一個(gè)單調(diào)函數(shù)（）和一個(gè)非單調(diào)函數(shù)（）之和，因此，的單調(diào)性并不能通過(guò)簡(jiǎn)單判斷很快得到解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以有下面的兩種選擇：一、從單調(diào)性的定義出發(fā)即任取，且，比較的大小關(guān)系，這種方法留給同學(xué)自己完成二、通過(guò)剛才的觀察，很快可以看出：在上單調(diào)遞增，此時(shí)，的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，因此，若令，則由，則可知：此時(shí)的取值范圍為又時(shí)，所以，函數(shù)的值域?yàn)樗裕瘮?shù)的值域?yàn)镽（2）設(shè)，則=，利用與互為倒數(shù)，可得=，所以，所以，=，R（3）任取R，則=，所以，函數(shù)為奇函數(shù)任取，且，則由及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：，所以，即所以，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增（4）由得：，即：結(jié)合的單調(diào)性可知：上式等價(jià)于：，解之得：點(diǎn)評(píng) 定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)求值域、判斷奇偶性、單調(diào)性、研究函數(shù)圖象等都應(yīng)先從定義域出發(fā)從定義域出發(fā)，利用函數(shù)的單調(diào)性，是求函數(shù)值域常用的方法例2已知函數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意都有成立（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若當(dāng)時(shí)，的取值范圍恰為，求實(shí)數(shù)的值講解：（1）由及可得：解之得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)意義，所以，只有（2）時(shí)， ，其定義域?yàn)?所以，或若，則為研究時(shí)的值域，可考慮在上的單調(diào)性下證在上單調(diào)遞減任取，且，則又，所以，即所以，當(dāng)，在上單調(diào)遞減由題：時(shí)，的取值范圍恰為，所以，必有，解之得：（因?yàn)?，所以舍去）若，則又由于，所以，此時(shí)，同上可證在上單調(diào)遞增（證明過(guò)程略）所以，在上的取值范圍應(yīng)為，而為常數(shù)，故的取值范圍不可能恰為所以，在這種情況下，無(wú)解綜上，符合題意的實(shí)數(shù)的值為，點(diǎn)評(píng) 本題（2）中，充分的運(yùn)用已知條件，可以減少分類討論的次數(shù)3