2020版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤檢測：五十五 橢圓及其性質(zhì) Word版含解析

課時(shí)跟蹤檢測（五十五）課時(shí)跟蹤檢測（五十五） 橢圓及其性質(zhì)橢圓及其性質(zhì) 一、題點(diǎn)全面練一、題點(diǎn)全面練 1方程方程 kx24y24k 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)軸上的橢圓，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是的取值范圍是( ) A(4，) B4 C(，4) D(0,4) 解析：解析：選選 D 因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y2k1，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在 x 軸上，所以軸上，所以 0k4. 2(2019 六盤水模擬六盤水模擬)已知點(diǎn)已知點(diǎn) F1，F(xiàn)2分別為橢圓分別為橢圓 C：x24y231 的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn) P 在在橢圓橢圓 C 上，且上，且F1PF260 ，則，則|PF1| |PF2| ( ) A4 B.6 C8 D12 解析：解析：選選 A 由由|PF1|PF2|4，|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2| cos60 |F1F2|2，得，得3|PF1| |PF2|12，所以，所以|PF1| |PF2|4，故選，故選 A. 3 (2018 大連二模大連二模)焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓方程為軸上的橢圓方程為x2a2y2b21(ab0)， 短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩， 短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為b3，則橢圓的離心率為，則橢圓的離心率為( ) A.14 B.13 C.12 D.23 解析：解析：選選 C 由短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，又由三角形面積公式由短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，又由三角形面積公式得得122cb12(2a2c)b3，得，得 a2c，即，即 eca12，故選，故選 C. 4若點(diǎn)若點(diǎn) O 和點(diǎn)和點(diǎn) F 分別為橢圓分別為橢圓x24y231 的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn) P 為橢圓上的任意一點(diǎn)，則為橢圓上的任意一點(diǎn)，則OP FP 的最大值為的最大值為 ( ) A2 B.3 C6 D8 解析：解析：選選 C 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) P(x0，y0)，則，則x204y2031，即，即 y2033x204.因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn) F(1,0)，所以，所以 OP FP x0(x01)y2014x20 x0314(x02)22.又又 x02,2，所以，所以(OP FP )max6. 5. (2019 滁州模擬滁州模擬)已知橢圓已知橢圓 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)為的右焦點(diǎn)為 F， 短軸的一個(gè)端點(diǎn)， 短軸的一個(gè)端點(diǎn)為為 M，直線直線 l：3x4y0 交橢圓交橢圓 E 于于 A，B 兩點(diǎn)若兩點(diǎn)若|AF|BF|4，點(diǎn)，點(diǎn) M 到直線到直線 l 的距離不小于的距離不小于45， 則橢圓則橢圓 E 的離心率的取值范圍是的離心率的取值范圍是( ) A. 0，32 B. 0，34 C. 32，1 D. 34，1 解析：解析：選選 A 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及橢圓的定義可得，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及橢圓的定義可得，|AF|BF|2a4，所以，所以 a2.設(shè)設(shè)M(0，b)， 因?yàn)橐驗(yàn)?d|304b|32 4 245，所以，所以 1b2.又又 eca1b2a2 1b24，所以，所以 0e32.故選故選 A. 6橢圓橢圓x24y21 的左、右焦點(diǎn)分別的左、右焦點(diǎn)分別為為 F1，F(xiàn)2，過，過 F1作垂直于作垂直于 x 軸的直線與橢圓相交，軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為一個(gè)交點(diǎn)為 P，則，則|PF2|_. 解析：解析：F1( 3，0)，PF1x 軸，軸，P 3，12， |PF1 |12， |PF2 |41272. 答案：答案：72 7. 與圓與圓 C1：(x3)2y21 外切，且與圓外切，且與圓 C2：(x3)2y281 內(nèi)切的動(dòng)圓圓心內(nèi)切的動(dòng)圓圓心 P 的軌跡的軌跡方程為方程為_ 解析：解析：設(shè)動(dòng)圓的半徑為設(shè)動(dòng)圓的半徑為 r，圓心為，圓心為 P(x，y)，則有，則有|PC1|r1，|PC2|9r.所以所以|PC1|PC2|10|C1C2|6，即，即 P 在以在以 C1(3,0)，C2(3,0)為焦點(diǎn)，長軸長為為焦點(diǎn)，長軸長為 10 的橢圓上，所以點(diǎn)的橢圓上，所以點(diǎn) P 的軌的軌跡方程為跡方程為x225y2161. 答案：答案：x225y2161 8. (2019 嘉興模擬嘉興模擬)已知橢圓已知橢圓x2a2y2b21(abc0，a2b2c2)的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，若以，若以 F2為圓心，為圓心，bc 為半徑作圓為半徑作圓 F2，過橢圓上一點(diǎn)，過橢圓上一點(diǎn) P 作此圓的切線，切點(diǎn)為作此圓的切線，切點(diǎn)為 T，且，且|PT|的最小值不小于的最小值不小于32(ac)，則橢圓的離心率，則橢圓的離心率 e 的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：解析：因?yàn)橐驗(yàn)閨PT|PF2|2 bc 2，|PF2|的最小值為的最小值為 ac，所以，所以|PT|的最小值為的最小值為 ac 2 bc 2. 依題意，有依題意，有 ac 2 bc 232(ac)，所以，所以(ac)24(bc)2，所以，所以 ac2(bc)，所以所以 ac2b，所以，所以(ac)24(a2c2)，所以，所以 5c22ac3a20，所以，所以 5e22e30. 又又 bc，所以，所以 b2c2，所以，所以 a2c2c2，所以，所以 2e21. 聯(lián)立聯(lián)立，得，得35e22. 答案：答案： 35，22 9已知橢圓已知橢圓 C 的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為 A(2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率為軸上，離心率為32. (1)求橢圓求橢圓 C 的方程；的方程； (2)點(diǎn)點(diǎn) D 為為 x 軸上一點(diǎn)，過軸上一點(diǎn)，過 D 作作 x 軸的垂線交橢圓軸的垂線交橢圓 C 于不同的兩點(diǎn)于不同的兩點(diǎn) M，N，過，過 D 作作 AM 的的垂線交垂線交 BN 于點(diǎn)于點(diǎn) E.求證：求證：BDE 與與BDN 的面積之比為的面積之比為 45. 解：解：(1)設(shè)橢圓設(shè)橢圓 C 的方程為的方程為x2a2y2b21(ab0) 由題意得由題意得 a2，ca32，解得解得 c 3.所以所以 b2a2c21. 所以橢圓所以橢圓 C 的方程為的方程為x24y21. (2)證明：設(shè)證明：設(shè) M(m，n)，則，則 D(m,0)，N(m，n) 由題設(shè)知由題設(shè)知 m 2，且，且 n0. 直線直線 AM 的斜率的斜率 kAMnm2， 故直線故直線 DE 的斜率的斜率 kDEm2n. 所以直線所以直線 DE 的方程為的方程為 ym2n(xm) 直線直線 BN 的方程為的方程為 yn2m(x2) 聯(lián)立聯(lián)立 ym2n xm ，yn2m x2 ， 解得點(diǎn)解得點(diǎn) E 的縱坐標(biāo)的縱坐標(biāo) yEn 4m2 4m2n2. 由點(diǎn)由點(diǎn) M 在橢圓在橢圓 C 上，得上，得 4m24n2，所以，所以 yE45n. 又又 SBDE12|BD| |yE|25|BD| |n|， SBDN12|BD| |n|. 所以所以BDE 與與BDN 的面積之的面積之比為比為 45. 10(2019 西安模擬西安模擬)已知橢圓已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)為的右焦點(diǎn)為 F2(3,0)，離心率為，離心率為 e. (1)若若 e32，求橢圓的方程；，求橢圓的方程； (2)設(shè)直線設(shè)直線 ykx 與橢圓相交于與橢圓相交于 A，B 兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，M，N 分別為線段分別為線段 AF2，BF2的中點(diǎn)，若坐標(biāo)的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn) O 在以在以 MN 為直徑的圓上，且為直徑的圓上，且22e32，求，求 k 的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)由題意得由題意得 c3，ca32，所以，所以 a2 3，又因?yàn)?，又因?yàn)?a2b2c2，所以，所以 b23.所以橢圓所以橢圓的方程為的方程為x212y231. (2)由由 x2a2y2b21，ykx得得(b2a2k2)x2a2b20. 設(shè)設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以所以 x1x20，x1x2a2b2b2a2k2，依題意易知，依題意易知，OMON，四邊形，四邊形 OMF2N 為平行四邊形，為平行四邊形，所以所以 AF2BF2. 因?yàn)橐驗(yàn)镕2A (x13，y1)， F2B (x23，y2)， 所以所以F2A F2B (x13)(x23)y1y2(1k2)x1x290. 即即a2 a29 1k2 a2k2 a29 90， 將其整理為將其整理為 k2a418a281a418a2181a418a2. 因?yàn)橐驗(yàn)?2e32，所以，所以 2 3a3 2，即，即 12a218. 所以所以 k218，即，即 k ，24 24， . 二、專項(xiàng)培優(yōu)練二、專項(xiàng)培優(yōu)練 (一一)易錯(cuò)專練易錯(cuò)專練不丟怨枉分不丟怨枉分 1(2019 長沙模擬長沙模擬)設(shè)橢圓設(shè)橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)為的右焦點(diǎn)為 F，橢圓，橢圓 C 上的兩點(diǎn)上的兩點(diǎn) A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 且滿足關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 且滿足 FA FB 0， |FB|FA|2|FB|， 則橢圓， 則橢圓 C 的離心率的取值范圍是的離心率的取值范圍是( ) A. 22，53 B. 53，1 C. 22， 31 D.)31，1 解析：解析： 選選 A 設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為 F， 由橢圓的對(duì)稱性可知， 四邊形， 由橢圓的對(duì)稱性可知， 四邊形 AFBF為平行四邊形，為平行四邊形， 又又 FA FB 0，即，即 FAFB，故平行四邊形，故平行四邊形 AFBF為矩形，所以為矩形，所以|AB|FF|2c. 設(shè)設(shè)|AF|n，|AF|m，則在，則在 RtFAF 中，中， mn2a，m2n24c2，聯(lián)立，聯(lián)立得得 mn2b2. 得得mnnm2c2b2，令，令mnt，得，得 t1t2c2b2. 又由又由|FB|FA|2|FB|得得mnt1,2，所以，所以 t1t2c2b2 2，52.故橢圓故橢圓 C 的離心率的取值的離心率的取值范圍是范圍是 22，53. 2(2019 鄭州質(zhì)量預(yù)測鄭州質(zhì)量預(yù)測)已知橢圓已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為 A，B.左、左、右焦點(diǎn)分別是右焦點(diǎn)分別是 F1，F(xiàn)2，在線段，在線段 AB 上有且只有一個(gè)點(diǎn)上有且只有一個(gè)點(diǎn) P 滿足滿足 PF1PF2，則橢圓的離心率的平，則橢圓的離心率的平方為方為( ) A.32 B.3 52 C.1 52 D.312 解析：解析：選選 B 由題意得，由題意得，A(a,0)，B(0，b)，由在線段，由在線段 AB 上有且只上有且只有一個(gè)點(diǎn)有一個(gè)點(diǎn) P 滿足滿足 PF1PF2，得點(diǎn)，得點(diǎn) P 是以點(diǎn)是以點(diǎn) O 為圓心，線段為圓心，線段 F1F2為直徑為直徑的圓的圓 x2y2c2與線段與線段 AB 的切點(diǎn)，連接的切點(diǎn)，連接 OP，則，則 OPAB，且，且|OP|c，即點(diǎn)即點(diǎn) O 到直線到直線 AB 的距離為的距離為 c.又直線又直線 AB 的方程為的方程為 bxayab0，點(diǎn)，點(diǎn) O到直線到直線 AB 的距離的距離 dabb2a2c， 兩邊同時(shí)平方整理得， 兩邊同時(shí)平方整理得， a2b2c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)a4b4，可得，可得 b4a2b2a40，兩邊同時(shí)除以，兩邊同時(shí)除以 a4，得，得 b2a22b2a210，可，可得得b2a21 52，則，則 e2c2a2a2b2a21b2a211 523 52，故選，故選 B. (二二)交匯專練交匯專練融會(huì)巧遷移融會(huì)巧遷移 3與立體幾何交匯與立體幾何交匯如圖所示， 圓柱形玻璃杯中水的液面呈橢圓形如圖所示， 圓柱形玻璃杯中水的液面呈橢圓形狀，則該橢圓的離心率為狀，則該橢圓的離心率為( ) A.33 B.12 C.22 D.32 解析：解析：選選 B 設(shè)圓柱的底面半徑為設(shè)圓柱的底面半徑為 1，則橢圓的短半軸長為，則橢圓的短半軸長為 1，長軸長為，長軸長為2sin 604 33，即長半軸長為即長半軸長為2 33，所以半焦距，所以半焦距為為33，故離心率為，故離心率為12. 4與數(shù)列交匯與數(shù)列交匯已知實(shí)數(shù)已知實(shí)數(shù) 4，m,9 構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線x2my21 的離心率為的離心率為( ) A.306 B. 7 C.306或或 7 D.56或或 7 解析：解析：選選 C 由題意知由題意知 m236，解得，解得 m 6.當(dāng)當(dāng) m6 時(shí)，該圓錐曲線表示橢圓，此時(shí)時(shí)，該圓錐曲線表示橢圓，此時(shí) a 6，b1，c 5，則，則 e306；當(dāng)；當(dāng) m6 時(shí)，該圓錐曲線表示雙曲線，此時(shí)時(shí)，該圓錐曲線表示雙曲線，此時(shí) a1，b 6，c 7，則，則 e 7.故選故選 C. 5與圓的交匯與圓的交匯設(shè)設(shè) F 是橢圓是橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)，的一個(gè)焦點(diǎn)，P 是橢圓是橢圓 C 上的點(diǎn)，圓上的點(diǎn)，圓x2y2a29與線段與線段 PF 交于交于 A，B 兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)，若 A，B 三等分線段三等分線段 PF，則橢圓，則橢圓 C 的離心率為的離心率為( ) A.33 B.53 C.104 D.175 解析：解析：選選 D 如圖，取線段如圖，取線段 PF 的中點(diǎn)的中點(diǎn) H，連接，連接 OH，OA.設(shè)橢圓另設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)為 E，連接，連接 PE. A，B 三等分線段三等分線段 PF，H 也是線段也是線段 AB 的中點(diǎn)，即的中點(diǎn)，即 OHAB. 設(shè)設(shè)|OH|d，則，則|PE|2d，|PF|2a2d，|AH|ad3. 在在 RtOHA 中，中，|OA|2|OH|2|AH|2，解得，解得 a5d. 在在 RtOHF 中，中，|FH|45a，|OH|a5，|OF|c. 由由|OF|2|OH|2|FH|2， 化簡得化簡得 17a225c2，ca175. 即橢圓即橢圓 C 的離心率為的離心率為175.故選故選 D. 6與向量交匯與向量交匯已知點(diǎn)已知點(diǎn) A 在橢圓在橢圓x225y291 上，點(diǎn)上，點(diǎn) P 滿足滿足 AP (1)OA (R)，且，且OA OP 72，則線段，則線段 OP 在在 x 軸上的投影長度的最大值為軸上的投影長度的最大值為_ 解析：解析： AP (1)OA ， OP OA ，則，則 O，P，A 三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，OA OP 72，|OA | OP |72.設(shè)設(shè) OP 與與 x 軸夾角為軸夾角為 ，A(x，y)，B 為點(diǎn)為點(diǎn) A 在在 x 軸上的投影，則軸上的投影，則 OP 在在 x 軸上軸上 的投影長度為的投影長度為| OP |cos 72|OB |OA |272|x|x2y27211625|x|9|x|7212 1692515，當(dāng)且，當(dāng)且僅當(dāng)僅當(dāng)|x|154時(shí)等號(hào)成立則線段時(shí)等號(hào)成立則線段 OP 在在 x 軸上的投影長度的最大值為軸上的投影長度的最大值為 15. 答案：答案：15