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精校版數(shù)學(xué)人教A版選修45優(yōu)化練習(xí):第四講 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 Word版含解析

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精校版數(shù)學(xué)人教A版選修45優(yōu)化練習(xí):第四講 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 Word版含解析

最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料課時(shí)作業(yè)A組基礎(chǔ)鞏固1用數(shù)學(xué)歸納法證明1<n(nN,且n>1)時(shí),第一步即證下述哪個(gè)不等式成立()A1<2B1<2C1<2 D1<2解析:nN,且n>1,第一步n2,左邊1,右邊2,即1<2,應(yīng)選C.答案:C2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1>成立時(shí),起始值n0至少應(yīng)取()A7 B8C9 D10解析:1,n16,n7,故n08.答案:B3用數(shù)學(xué)歸納法證明 “Sn>1(nN)”時(shí),S1等于()A. BC. D解析:因?yàn)镾1的首項(xiàng)為,末項(xiàng)為,所以S1,故選D.答案:D4設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),有f(k)滿足:當(dāng)“f(k)k2成立時(shí),總可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命題總成立的是()A若f(3)9成立,則當(dāng)k1時(shí),均有f(k)k2成立B若f(5)25成立,則當(dāng)k<5時(shí),均有f(k)k2成立C若f(7)<49成立,則當(dāng)k8時(shí),均有f(k)<k2成立D若f(4)25成立,則當(dāng)k4時(shí),均有f(k)k2成立解析:由題意設(shè)f(x)滿足:“當(dāng)f(k)k2成立時(shí),總可推出f(k1)(k1)2成立”因此,對(duì)于A,k1,2時(shí)不一定成立對(duì)于B,C顯然錯(cuò)誤對(duì)于D,因?yàn)閒(4)25>42,因此對(duì)于任意的k4,均有f(k)k2成立答案:D5某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān),如果當(dāng)nk(kN)時(shí)命題成立,那么可推得當(dāng)nk1時(shí),命題也成立現(xiàn)已知當(dāng)n5時(shí)該命題不成立,那么可推得()A當(dāng)n6時(shí)該命題不成立B當(dāng)n6時(shí)該命題成立C當(dāng)n4時(shí)該命題不成立D當(dāng)n4時(shí)該命題成立解析:與“如果當(dāng)nk(kN)時(shí)命題成立,那么可推得當(dāng)nk1時(shí)命題也成立”等價(jià)的命題為“如果當(dāng)nk1時(shí)命題不成立,則當(dāng)nk(kN)時(shí),命題也不成立”故知當(dāng)n5時(shí),該命題不成立,可推得當(dāng)n4時(shí)該命題不成立,故選C.答案:C6觀察下列式子:1<,1<,1<,可歸納出一般性結(jié)論:_.解析:由題意得1<(nN)答案:1<(nN)7用數(shù)學(xué)歸納法證明cos cos 3cos(2n1)(kN,ak,nN),在驗(yàn)證n1時(shí),左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是_答案:cos 8用數(shù)學(xué)歸納法證明:2n1n2n2(nN)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證_答案:n1時(shí),221212,即449證明不等式:1<2(nN)證明:(1)當(dāng)n1時(shí),左邊1,右邊2,不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí),命題成立,即1<2(kN)當(dāng)nk1時(shí),左邊1<2,現(xiàn)在只需證明<2,即證:2<2k1,兩邊平方,整理得0<1,顯然成立<2成立即1<2成立當(dāng)nk1時(shí),不等式成立由(1)(2)知,對(duì)于任何正整數(shù)n原不等式都成立10設(shè)Sn(nN),設(shè)計(jì)算S1,S2,S3,并猜想Sn的表達(dá)式,然后用數(shù)學(xué)歸納法給出證明解析:S1,S2,S3,猜想Sn(nN)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n1時(shí),左邊S1,右邊,等式成立(2)假設(shè)nk(k1,kN)時(shí)等式成立,即,則當(dāng)nk1時(shí),這就是說(shuō),當(dāng)nk1時(shí),等式成立由(1)(2)可知,等式Sn對(duì)nN都成立B組能力提升1觀察下列不等式:1>,1>1,1>,1>2,1>,由此猜測(cè)第n(nN)個(gè)不等式為()A1>B1>C1>D1>解析:1,3,7,15,31,的通項(xiàng)公式為an2n1,不等式左邊應(yīng)是1.,1,2,的通項(xiàng)公式為bn,不等式右邊應(yīng)是.答案:C2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“>(n>2,nN)”時(shí)的過(guò)程中,由nk到nk1時(shí),不等式的左邊()A增加了一項(xiàng)B增加了兩項(xiàng),C增加了兩項(xiàng),又減少了一項(xiàng)D增加了一項(xiàng),又減少了一項(xiàng)解析:當(dāng)nk時(shí),左邊.當(dāng)nk1時(shí),左邊.故由nk到nk1時(shí),不等式的左邊增加了兩項(xiàng),又減少了一項(xiàng)答案:C3用數(shù)學(xué)歸納法證明某不等式,其中證nk1時(shí)不等式成立的關(guān)鍵一步是:>()>,括號(hào)中應(yīng)填的式子是_解析:由>k2,聯(lián)系不等式的形式可知,應(yīng)填k2.答案:k24設(shè)a,b均為正實(shí)數(shù),nN,已知M(ab)n,Nannan1b,則M,N的大小關(guān)系為_(kāi)(提示:利用貝努利不等式,令x)解析:令x,M(ab)n,Nannan1b,(1x)n,1nx.a>0,b>0,x>0.由貝努利不等式得(1x)n>1nx.>,M>N答案:M>N5對(duì)于一切正整數(shù)n,先猜出使tn>n2成立的最小的正整數(shù)t,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明,并再證明不等式:n(n1)·>lg(1·2·3··n)證明:猜想當(dāng)t3時(shí),對(duì)一切正整數(shù)n使3n>n2成立下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明當(dāng)n1時(shí),313>112,命題成立假設(shè)nk(k1,kN)時(shí),3k>k2成立,則有3kk21.對(duì)nk1,3k13·3k3k2·3k>k22(k21)>3k21.(3k21)(k1)22k22k2k(k1)0,3k1>(k1)2,對(duì)nk1,命題成立由上知,當(dāng)t3時(shí),對(duì)一切nN,命題都成立再用數(shù)學(xué)歸納法證明:n(n1)·>lg(1·2·3··n)當(dāng)n1時(shí),1×(11)×>0lg 1,命題成立假設(shè)nk(k1,kN)時(shí),k·(k1)·>lg(1·2·3··k)成立當(dāng)nk1時(shí),(k1)·(k2)·k(k1)·2(k1)·>lg(1·2·3··k)lg 3k1>lg(1·2·3··k)lg(k1)2lg1·2·3··k·(k1),命題成立由上可知,對(duì)一切正整數(shù)n,命題成立6已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)a12,公比q3,Sn是它的前n項(xiàng)和求證:.證明:由已知,得Sn3n1,等價(jià)于,即3n2n1.(*)法一:用數(shù)學(xué)歸納法證明上面不等式成立當(dāng)n1時(shí),左邊3,右邊3,所以(*)成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí),(*)成立,即3k2k1,那么當(dāng)nk1時(shí),3k13×3k3(2k1)6k32k32(k1)1,所以當(dāng)nk1時(shí),(*)成立綜合,得3n2n1成立所以.法二:當(dāng)n1時(shí),左邊3,右邊3,所以(*)成立當(dāng)n2時(shí),3n(12)nCC×2C×22C×2n12n>12n,所以(*)成立所以.最新精品資料

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