新課標(biāo)高三數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第11篇 第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué) 歸納法課時(shí)訓(xùn)練 理

【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11篇 第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法課時(shí)訓(xùn)練 理【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)綜合法2、5、8、10、14、16分析法3、7、11反證法1、9數(shù)學(xué)歸納法4、6、12、13、15基礎(chǔ)過(guò)關(guān)一、選擇題1.用反證法證明某命題時(shí),對(duì)結(jié)論“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是(B)(A)自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)(B)自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)(C)自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)(D)自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)解析:“恰有一個(gè)偶數(shù)”反面應(yīng)是“至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)”.故選B.2.設(shè)x,y,z>0,則三個(gè)數(shù)yx+yz,zx+zy,xz+xy(C)(A)都大于2(B)至少有一個(gè)大于2(C)至少有一個(gè)不小于2(D)至少有一個(gè)不大于2解析:由于yx+yz+zx+zy+xz+xy=（yx+xy）+（zx+xz）+（yz+zy）2+2+2=6,yx+yz,zx+zy,xz+xy中至少有一個(gè)不小于2.故選C.3.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證b2-ac<3a”索的因應(yīng)是(C)(A)a-b>0 (B)a-c>0(C)(a-b)(a-c)>0(D)(a-b)(a-c)<0解析:由a>b>c,且a+b+c=0可得b=-a-c,a>0,c<0.要證b2-ac<3a,只要證(-a-c)2-ac<3a2,即證a2-ac+a2-c2>0,即證a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,即證a(a-c)-b(a-c)>0,即證(a-c)(a-b)>0.故求證“b2-ac<3a”索的因應(yīng)是(a-c)(a-b)>0.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+12+14+12n-1>12764成立,起始值至少應(yīng)取為(B)(A)7(B)8(C)9(D)10解析:左邊的和為1-12n1-12=2-21-n,當(dāng)n=8時(shí),和為2-2-7>12764.5.(20xx合肥一模)對(duì)于函數(shù)f(x),若a,b,cR,f(a),f(b),f(c)都是某一三角形的三邊長(zhǎng),則稱f(x)為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”.以下說(shuō)法正確的是(D)(A)f(x)=1(xR)不是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”(B)“可構(gòu)造三角形函數(shù)”一定是單調(diào)函數(shù)(C)f(x)=1x2+1(xR)是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”(D)若定義在R上的函數(shù)f(x)的值域是e,e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則f(x)一定是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”解析:對(duì)于A選項(xiàng),由題設(shè)所給的定義知,a,b,cR,f(a),f(b),f(c)都是某一正三角形的三邊長(zhǎng),是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),由A選項(xiàng)判斷過(guò)程知,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)a=0,b=3,c=3時(shí),f(a)=1>f(b)+f(c)=15,不構(gòu)成三角形,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),由于e+e>e,可知,定義在R上的函數(shù)f(x)的值域是e,e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則f(x)一定是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”.6.(20xx青島市高三月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明1n+1+1n+2+12n>1134時(shí),由k到k+1,不等式左邊的變化是(C)(A)增加12(k+1)項(xiàng)(B)增加12k+1和12k+2兩項(xiàng)(C)增加12k+1和12k+2兩項(xiàng)同時(shí)減少1k+1項(xiàng)(D)以上結(jié)論都不對(duì)解析:n=k時(shí),左邊=1k+1+1k+2+1k+kn=k+1時(shí),左邊=1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+(k+1),由“n=k”變成“n=k+1”時(shí),不等式左邊的變化是12k+1+12k+2-1k+1.二、填空題7.設(shè)a>b>0,m=a-b,n=a-b,則m,n的大小關(guān)系是. 解析:法一取a=2,b=1,得m<n.法二a-b<a-bb+a-b>aa<b+2b·a-b+a-b2b·a-b>0,顯然成立,故m<n.答案:m<n8.已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y=x2+1圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn),其中nN*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為. 解析:由條件得cn=an-bn=n2+1-n=1n2+1+n,cn隨n的增大而減小.cn+1<cn.答案:cn+1<cn9.用反證法證明:若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理數(shù)根,那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù).用反證法證明時(shí),假設(shè)的內(nèi)容是. 解析:“至少有一個(gè)是”的否定為“都不是”.答案:假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)10.(20xx福建模擬)對(duì)于30個(gè)互異的實(shí)數(shù),可以排成m行n列的矩形數(shù)陣,如圖所示的5行6列的矩形數(shù)陣就是其中之一.x1x2···x6y1y2···y6············z1z2···z6將30個(gè)互異的實(shí)數(shù)排成m行n列的矩形數(shù)陣后,把每行中最大的數(shù)選出,記為a1,a2,am,并設(shè)其中最小的數(shù)為a;把每列中最小的數(shù)選出,記為b1,b2,bn,并設(shè)其中最大的數(shù)為b.兩位同學(xué)通過(guò)各自的探究,分別得出兩個(gè)結(jié)論如下:a和b必相等;a和b可能相等;a可能大于b;b可能大于a.以上四個(gè)結(jié)論中,正確結(jié)論的序號(hào)是(請(qǐng)寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)). 解析:不妨假設(shè)m行n列的矩形數(shù)陣,為如題圖所示的5行6列的矩形數(shù)陣,則由題意可得a的最小值為6,最大值為30;而b的最小值為6,最大值為26,且在同一個(gè)5行6列的矩形數(shù)陣中,一定有ab,故正確,而不正確.答案:三、解答題11.已知a>0,求證:a2+1a2-2a+1a-2.證明:要證a2+1a2-2a+1a-2.只要證a2+1a2+2a+1a+2.a>0,故只要證a2+1a2+22a+1a+22,即a2+1a2+4a2+1a2+4a2+2+1a2+22a+1a+2,從而只要證2a2+1a22a+1a,只要證4a2+1a22a2+2+1a2,即a2+1a22,而上述不等式顯然成立,故原不等式成立.12.(20xx湖南常德模擬)設(shè)a>0,f(x)=axa+x,令a1=1,an+1=f(an),nN*.(1)寫(xiě)出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.(1)解:a1=1,a2=f(a1)=f(1)=a1+a;a3=f(a2)=a2+a;a4=f(a3)=a3+a.猜想an=a(n-1)+a(nN*).(2)證明:易知,n=1時(shí),猜想正確.假設(shè)n=k時(shí)猜想正確,即ak=a(k-1)+a,則ak+1=f(ak)=a·aka+ak=a·a(k-1)+aa+a(k-1)+a=a(k-1)+a+1=a(k+1)-1+a.這說(shuō)明,n=k+1時(shí)猜想正確.由知,對(duì)于任何nN*,都有an=a(n-1)+a.能力提升13.(20xx安慶高三月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>n2(n5,nN+),第一步應(yīng)驗(yàn)證(B)(A)n=4(B)n=5(C)n=6(D)n=7解析:根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟,首先要驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立;又n5,所以第一步驗(yàn)證n=5.14.已知三個(gè)不等式ab>0;ca>db;bc>ad.以其中兩個(gè)作條件,余下一個(gè)作結(jié)論,則可組成個(gè)正確命題. 解析:此題共可組成三個(gè)命題即;.若ab>0,ca>db,則ca-db=bc-adab>0,得bc-ad>0,即可得命題正確;若ab>0,bc>ad,則bc-adab=ca-db>0,得ca>db,即命題正確;若bc>ad,ca>db,則ca-db=bc-adab>0,得ab>0,即命題正確.綜上可得正確的命題有三個(gè).答案:三15.數(shù)列an滿足Sn=2n-an(nN+)(1)計(jì)算a1,a2,a3,a4;(2)猜想通項(xiàng)公式an,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解:(1)由a1=2-a1,得a1=1,由a1+a2=2×2-a2,得a2=32,由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=74,由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=158.(2)猜想an=2n-12n-1(nN+).證明如下:當(dāng)n=1,由上面計(jì)算可知猜想成立;假設(shè)n=k時(shí)猜想成立,即ak=2k-12k-1,此時(shí)Sk=2k-ak=2k-2k-12k-1,當(dāng)n=k+1時(shí),Sk+1=2(k+1)-ak+1,得Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1.因此ak+1=122(k+1)-Sk=k+1-12（2k-2k-12k-1）=2k+1-12(k+1)-1.當(dāng)n=k+1時(shí)也成立,an=2n-12n-1(nN+).探究創(chuàng)新16.設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列an的集合:an+an+22an+1;anM,其中nN*,M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù).(1)若an是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,a3=4,S3=18,試探究Sn與集合W之間的關(guān)系;(2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=5n-2n,且bnW,M的最小值為m,求m的值;(3)在(2)的條件下,設(shè)Cn=15bn+(m-5)n+2,求證:數(shù)列Cn中任意不同的三項(xiàng)都不能成為等比數(shù)列.(1)解:a3=4,S3=18,a1=8,d=-2.Sn=-n2+9n.Sn+Sn+22<Sn+1滿足條件,Sn=-（n-92）2+814,當(dāng)n=4或5時(shí),Sn取最大值20.Sn20滿足條件,SnW.(2)解:bn=5n-2n可知bn中最大項(xiàng)是b3=7,M7,M的最小值為7.即m=7.(3)證明:由(2)知Cn=n+2,假設(shè)Cn中存在三項(xiàng)cp,cq,cr(p,q,r互不相等)成等比數(shù)列,則cq2=cp·cr,(q+2)2=(p+2)(r+2),(q2-pr)+(2q-p-r)2=0,p,q,rN*,q2=pr,2q-p-r=0.消去q得(p-r)2=0,p=r,與pr矛盾.Cn中任意不同的三項(xiàng)都不能成為等比數(shù)列.