高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第4章學(xué)案16

精品資料第4章三角函數(shù)與三角恒等變換學(xué)案16任意角、弧度及任意角的三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)目標： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義自主梳理1任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線OA繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置OB所成的圖形旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角的_，射線的端點O叫做角的_，旋轉(zhuǎn)終止位置的射線OB叫做角的_，按_時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按_時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負角若一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個_角(1)象限角使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就說這個角是_角(2)象限界角(即終邊在坐標軸上的角)終邊在x軸上的角表示為_；終邊在y軸上的角表示為_；終邊落在坐標軸上的角可表示為_(3)終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合_或_，前者用角度制表示，后者用弧度制表示(4)弧度制把長度等于_長的弧所對的_叫1弧度的角以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做_，它的單位符號是_，讀作_，通常略去不寫(5)度與弧度的換算關(guān)系360_ rad；180_ rad；1_ rad；1 rad_57.30.(6)弧長公式與扇形面積公式l_，即弧長等于_S扇_.2三角函數(shù)的定義設(shè)是一個任意角，它的終邊上任意一點P的坐標為(x，y)，|OP|r，我們規(guī)定：比值叫做的正弦，記作sin ，即sin ；比值叫做的余弦，記作cos ，即cos ；比值_(x0)叫做的正切，記作tan ，即tan .(1)三角函數(shù)值的符號各象限的三角函數(shù)值的符號如下圖所示，三角函數(shù)正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦(2)三角函數(shù)線下圖中有向線段MP，OM，AT分別表示_，_和_自我檢測1“”是“cos 2”的_條件2與2010終邊相同的最小正角為_，最大負角為_3(2010山東青島高三教學(xué)質(zhì)量檢測)已知sin <0且tan >0，則角是第_象限角4若n360，m360(m，nZ)，則，終邊關(guān)于直線_對稱5已知角的終邊上一點的坐標為，則角的最小正值為_探究點一角的概念例1(1)如果角是第三象限角，那么，角的終邊落在第幾象限；(2)寫出終邊落在直線yx上的角的集合；(3)若168k360 (kZ)，求在0，360)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角變式遷移1若是第二象限的角，試分別確定2，的終邊所在位置探究點二弧長與扇形面積例2已知一個扇形的圓心角是，0<<2，其所在圓的半徑是R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積；(2)若扇形的周長是一定值C(C>0)，當為多少弧度時，該扇形有最大面積？變式遷移2(1)已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；(2)已知扇形的周長為40，當它的半徑和中心角取何值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？探究點三三角函數(shù)的定義例3已知角的終邊在直線3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值變式遷移3已知角的終邊經(jīng)過點P(4a,3a) (a0)，求sin ，cos ，tan 的值1角的度量由原來的角度制改換為弧度制，要養(yǎng)成用弧度表示角的習(xí)慣，象限角的判斷，終邊相同的角的表示，弧度、弧長公式和扇形面積公式的運用是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)2三角函數(shù)都是以角為自變量(用弧度表示)，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射，注意兩種定義法，即坐標法和單位圓法(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2y21逆時針方向運動弧長到達Q，則Q的坐標為_2(2011汕頭模擬)若角和角的終邊關(guān)于x軸對稱，則角可以用表示為_3已知點P落在角的終邊上，且0,2)，則的值為_4已知為第三象限的角，則在第_象限5(2011南京模擬)已知點P(sin cos ，tan )在第一象限，且0,2，則的取值范圍是_6若1弧度的圓心角所對弦長等于2，則這個圓心角所對的弧長等于_7(2011淮安模擬)已知角的終邊落在直線y3x上，則_.8閱讀下列命題：若點P(a,2a) (a0)為角終邊上一點，則sin ；同時滿足sin ，cos 的角有且只有一個；設(shè)tan 且<<，則sin ；設(shè)cos(sin )tan(cos )>0 (為象限角)，則在第一象限其中正確命題為_(將正確命題的序號填在橫線上)二、解答題(共42分)9(14分)已知扇形OAB的圓心角為120，半徑長為6，(1)求的弧長；(2)求弓形OAB的面積10(14分)在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合：(1)sin ；(2)cos .11(14分)已知角終邊經(jīng)過點P(x，) (x0)，且cos x.求sin 的值答案 自主梳理1始邊頂點終邊逆順零(1)第幾象限(2)|k，kZ(3)|k360，kZ|2k，kZ(4)半徑圓心角弧度制rad弧度(5)2(6)|r弧所對的圓心角(弧度數(shù))的絕對值與半徑的積lr|r22.(2)的正弦線的余弦線的正切線自我檢測1充分而不必要2.2101503.三4.x軸5.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)一般地，角與終邊關(guān)于x軸對稱；角與終邊關(guān)于y軸對稱；角與終邊關(guān)于原點對稱(2)利用終邊相同的角的集合S|2k，kZ判斷一個角所在的象限時，只需把這個角寫成0,2)范圍內(nèi)的一角與2的整數(shù)倍，然后判斷角的象限(3)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法為先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合參數(shù)k賦值來求得所需角解(1)2k<<2k (kZ)，2k<<2k(kZ)，即2k<<2k (kZ)角終邊在第二象限又由各邊都加上，得2k<<22k (kZ)是第四象限角同理可知，是第一象限角(2)在(0，)內(nèi)終邊在直線yx上的角是，終邊在直線yx上的角的集合為.(3)168k360 (kZ)，56k120 (kZ)056k120<360，k0,1,2時，0，360)故在0，360)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角是56，176，296.變式遷移1解是第二象限的角，k36090<<k360180 (kZ)(1)2k360180<2<2k360360 (kZ)，2的終邊在第三或第四象限，或角的終邊在y軸的非正半軸上(2)k18045<<k18090 (kZ)，當k2n (nZ)時，n36045<<n36090；當k2n1 (nZ)時，n360225<<n360270.是第一或第三象限的角的終邊在第一或第三象限例2解題導(dǎo)引本題主要考查弧長公式和扇形的面積公式，并與最值問題聯(lián)系在一起確定一個扇形需要兩個基本條件，因此在解題中應(yīng)依據(jù)題目條件確定出圓心角、半徑、弧長三個基本量中的兩個，然后再進行求解解(1)設(shè)扇形的弧長為l，該弧所在弓形的面積為S，如圖所示，當60，R10 cm時，可知lR cm.而SS扇SOABlRR2sin 10100 cm2.(2)已知2RlC，即2RRC，S扇R2RRR2R22.當且僅當R2R，即2時，等號成立，即當為2弧度時，該扇形有最大面積C2.變式遷移2解設(shè)扇形半徑為R，圓心角為，所對的弧長為l.(1)依題意，得221780.8或.8>2，舍去，.(2)扇形的周長為40，即R2R40，SlRR2R2R2100.當且僅當R2R，即R10，2時扇形面積取得最大值，最大值為100.例3解題導(dǎo)引某角的三角函數(shù)值只與該角終邊所在位置有關(guān)，當終邊確定時三角函數(shù)值就相應(yīng)確定了但若終邊落在某條直線上時，這時終邊實際上有兩個，因此對應(yīng)的函數(shù)值有兩組，要分別求解解角的終邊在直線3x4y0上，在角的終邊上任取一點P(4t，3t) (t0)，則x4t，y3t，r5|t|，當t>0時，r5t，sin ，cos ，tan ；當t<0時，r5t，sin ，cos ，tan .綜上可知，t>0時，sin ，cos ，tan ；t<0時，sin ，cos ，tan .變式遷移3解r5|a|.若a>0，則r5a，角在第二象限，sin ，cos ，tan .若a<0，則r5a，角在第四象限，sin ，cos ，tan .課后練習(xí)區(qū)1(，)解析依題意得Q(cos，sin)，即Q(，)22k(kZ)3.解析由三角函數(shù)的定義，tan 1.又sin >0，cos <0，P在第四象限，.4二或四解析是第三象限角，180k360<<270k360(kZ)90k180<<135k180(kZ)當k2m (mZ)時可得90m360<<135m360，故的終邊在第二象限當k2m1 (mZ)時可得270m360<<315m360，故的終邊在第四象限綜上，可知是第二或第四象限的角5.解析由已知得2k<<2k或2k<<2k，kZ.02，當k0時，<<或<<.6.解析設(shè)圓的半徑為r，rsin 1.r.弧長lr.72或2解析角終邊落在直線y3x上，為第二或第四象限角當為第二象限時，2.若為第四象限時，2.8解析中，當在第三象限時，sin ，故錯中，同時滿足sin ，cos 的角為2k (kZ)，不只有一個，故錯正確可能在第一象限或第四象限，故錯綜上選.9解(1)120，r6，的弧長為lr64.(4分)(2)S扇形OABlr4612，(8分)SABOr2sin 629，(12分)S弓形OABS扇形OABSABO129.(14分)10解(1)作直線y交單位圓于A、B兩點，連結(jié)OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角的集合為.(7分)(2)作直線x交單位圓于C、D兩點，連結(jié)OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍故滿足條件的角的集合為.(14分)11解P(x，) (x0)，點P到原點的距離r.(2分)又cos x，cos x.x0，x，r2.(6分)當x時，P點坐標為(，)，由三角函數(shù)的定義，有sin ，sin ；(10分)當x時，同樣可求得sin .(14分)