高考數學理一輪資源庫 第3章學案13

精品資料第3章導數及其應用學案13導數的概念及運算導學目標： 1.了解導數概念的實際背景，理解函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義，理解導函數的概念了解曲線的切線的概念.2.能根據導數定義，求函數yC (C為常數)，yx，yx2，y，y的導數熟記基本初等函數的導數公式(c，xm (m為有理數)，sin x，cos x，ex，ax，ln x，logax的導數)，能利用基本初等函數的導數公式及導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數(僅限于形如f(axb)的導數自主梳理1函數f(x)在區(qū)間x1，x2上的平均變化率為_2函數yf(x)在xx0處的導數(1)定義設f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0(a，b)，若x無限趨近于0時，比值_無限趨近于一個常數A，則稱f(x)在xx0處可導，并稱常數A為函數f(x)在xx0處的導數，記作f(x0)(2)幾何意義函數f(x)在點x0處的導數f(x0)的幾何意義是過曲線yf(x)上點(x0，f(x0)的_(3)導數的物理意義：函數ss(t)在點t0處的導數s(t0)，是物體的運動方程ss(t)在t0時刻的瞬時速度v，即v_；vv(t)在點t0處的導數v(t0)，是物體的運動方程vv(t)在t0時刻的瞬時加速度a，即a_.3函數f(x)的導函數如果函數yf(x)在開區(qū)間(a，b)內任一點都是可導的，就說f(x)在開區(qū)間(a，b)內可導，其導數也是開區(qū)間(a，b)內的函數，又稱作f(x)的導函數，記作y或f(x)4基本初等函數的導數公式表原函數導函數f(x)C(C為常數)f(x)_f(x)x (為常數)f(x)_ (為常數)f(x)sin xf(x)_f(x)cos xf(x)_f(x)ax (a>0，a1)f(x)_(a>0，a1)f(x)exf(x)_f(x)logax(a>0，a1，且x>0)f(x)_f(x)ln xf(x)_5.導數運算法則(1)f(x)±g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3)_ g(x)06復合函數的求導法則：若yf(u)，uaxb，則yxyu·ux，即yxyu·a.自我檢測1(2011·中山期末統(tǒng)一考試)已知物體的運動方程為st2(t是時間，s是位移)，則物體在時刻t2時的速度為_2設yx2·ex，則y_.3已知函數yf(x)的圖象在點M(1，f(1)處的切線方程是yx2，則f(1)f(1)_.4(2010·臨汾二模)若函數f(x)exaex的導函數是奇函數，并且曲線yf(x)的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標是_5(2009·湖北)已知函數f(x)f()cos xsin x，則f()_.探究點一利用導數的定義求函數的導數例1利用導數的定義求函數的導數：(1)f(x)在x1處的導數；(2)f(x).變式遷移1求函數y在x0到x0x之間的平均變化率，并求出其導函數探究點二導數的運算例2求下列函數的導數：(1)y(1)；(2)y；(3)yxex；(4)ytan x.變式遷移2求下列函數的導數：(1)yx2sin x；(2)y3xex2xe；(3)y.探究點三求復合函數的導數例3求下列函數的導數：(1)y(2x3)5；(2)y；(3)yln(2x5)變式遷移3求下列函數的導數：(1)y；(2)ysin；(3)yx.探究點四導數的幾何意義例4已知曲線yx3.(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程；(3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程變式遷移4求曲線f(x)x33x22x過原點的切線方程1準確理解曲線的切線，需注意的兩個方面：(1)直線與曲線公共點的個數不是切線的本質特征，若直線與曲線只有一個公共點，則直線不一定是曲線的切線，同樣，若直線是曲線的切線，則直線也可能與曲線有兩個或兩個以上的公共點(2)曲線未必在其切線的“同側”，如曲線yx3在其過(0,0)點的切線y0的兩側2曲線的切線的求法：若已知曲線過點P(x0，y0)，求曲線過點P的切線則需分點P(x0，y0)是切點和不是切點兩種情況求解(1)點P(x0，y0)是切點的切線方程為yy0f(x0)(xx0)(2)當點P(x0，y0)不是切點時可分以下幾步完成：第一步：設出切點坐標P(x1，f(x1)；第二步：寫出過P(x1，f(x1)的切線方程為yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得過點P(x0，y0)的切線方程3求函數的導數要準確地把函數分割為基本初等函數的和、差、積、商及其復合運算，再利用運算法則求導數在求導過程中，要仔細分析函數解析式的結構特征，緊扣法則，聯系基本初等函數求導公式，對于不具備求導法則結構形式的要適當變形(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2010·南通模擬)已知函數f(x)x3x26x，當x0時，常數A，則A_.2一質點沿直線運動，如果由始點起經過t秒后的位移為st3t22t，那么速度為零的時刻是_3若曲線yx4的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為_4(2010·遼寧改編)已知點P在曲線y上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是_5(2009·福建)若曲線f(x)ax2ln x存在垂直于y軸的切線，則實數a的取值范圍是_6(2009·安徽改編)設函數f(x)x3x2tan，其中，則導數f(1)的取值范圍為_7已知函數yf(x)，yg(x)的導函數的圖象如圖所示，那么yf(x)，yg(x)的圖象可能是_(填上正確的序號)8(2011·南京模擬)若點P是曲線f(x)x2ln x上任意一點，則點P到直線yx2的最小距離為_二、解答題(共42分)9(12分)求下列函數在xx0處的導數(1)f(x)，x02；(2)f(x)，x01.10(14分)求經過點P(2,0)的曲線y的切線方程11(16分)設函數f(x)ax (a，bZ)，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y3.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：函數yf(x)的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；(3)證明：曲線yf(x)上任一點的切線與直線x1和直線yx所圍三角形的面積為定值，并求出此定值答案 自主梳理1.2.(1)(2)切線的斜率(3)s(t0)v(t0)4.0x1cos xsin xaxln aex5.(1)f(x)±g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)自我檢測1.2.(2xx2)ex3.34.ln 25.1課堂活動區(qū)例1解題導引(1)用導數定義求函數導數必須把分式中的分母x這一因式約掉才可能求出極限，所以目標就是分子中出現x，從而分子分母相約分(2)第(1)小題中用到的技巧是“分子有理化”“有理化”是處理根式問題常用的方法，有時用“分母有理化”，有時用“分子有理化”(3)用導數的定義求導的步驟為：求函數的增量y；求平均變化率；化簡取極限解(1)，從而，當x0時，f(1).(2)，從而，當x0時，f(x).變式遷移1解y，.x0時，.y.例2解題導引求函數的導數要準確地把函數分割為基本函數的和、差、積、商及其復合運算，再利用運算法則求導數在求導過程中，要仔細分析函數解析式的結構特征，緊扣求導法則，聯系基本函數求導公式對于不具備求導法則結構形式的要適當恒等變形解(1)y(1)，y(x)(x)xx.(2)y.(3)yxexx(ex)exxexex(x1)(4)y.變式遷移2解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln 3·ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(3)y.例3解題導引(1)求復合函數導數的思路流程為：(2)由復合函數的定義可知，中間變量的選擇應是基本函數的結構，解這類問題的關鍵是正確分析函數的復合層次，一般是從最外層開始，由外向內，一層一層地分析，把復合函數分解成若干個常見的基本函數，逐步確定復合過程解(1)設u2x3，則y(2x3)5由yu5與u2x3復合而成yyu·ux5u4·210u410(2x3)4.(2)設u3x，則y由yu與u3x復合而成yyu·uxu(1)u.(3)設u2x5，則yln(2x5)由yln u與u2x5復合而成yyu·ux·2.變式遷移3解(1)設u13x，yu4.則yyu·ux4u5·(3).(2)設u2x，則ysin u，yyu·uxcos u·22cos(2x)(3)y(x)x·x().例4解題導引(1)求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異；過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點(2)求函數對應曲線在某一點處的切線的斜率，只要求函數在該點處的導數即可(3)解決“過某點的切線”問題，一般是設出切點坐標來解決解(1)yx2，在點P(2,4)處的切線的斜率k4.曲線在點P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設曲線yx3與過點P(2,4)的切線相切于點A，則切線的斜率kx.切線方程為yx(xx0)，即yxxx.點P(2,4)在切線上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求切線方程為4xy40或xy20.(3)設切點為(x0，y0)，則切線的斜率為kx1，解得x0±1，故切點為，(1,1)故所求切線方程為yx1和y1x1，即3x3y20和xy20.變式遷移4解f(x)3x26x2.設切線的斜率為k.(1)當切點是原點時kf(0)2，所以所求曲線的切線方程為y2x.(2)當切點不是原點時，設切點是(x0，y0)，則有y0x3x2x0，kf(x0)3x6x02，又kx3x02，由得x0，k.所求曲線的切線方程為yx.綜上，曲線f(x)x33x22x過原點的切線方程為y2x或yx.課后練習區(qū)132.1秒或2秒末3.4xy304.5a<0解析由題意可知該函數的定義域為x|x>0，且f(x)2ax.因為曲線存在垂直于y軸的切線，故此時斜率為0，問題轉化為x>0范圍內導函數f(x)2ax存在零點令2ax0，即2ax210，即x2，顯然只有a<0，方程2ax210才有正實數根，故實數a的取值范圍是a<0.6，2解析f(x)sin ·x2cos ·x，f(1)sin cos 2sin，又.，sin1，f(1)2.7解析由導函數yf(x)的圖象可知yf(x)在(0，)上單調遞減，說明函數yf(x)的圖象上任意一點切線的斜率為單調遞減，故可排除、.又由圖象知yf(x)與yg(x)在點xx0處相交，說明yf(x)與yg(x)的圖象在xx0處的切線斜率相同，故可排除.8.解析過點P作yx2的平行直線，且與曲線f(x)x2ln x相切設P(x0，xln x0)，則有kf(x0)2x0.2x01，x01或x0(舍去)，P點坐標為(1,1)，d，即最小距離為.9解(1)f(x)，f(2)0.(6分)(2)f(x)(x)x(ln x)x1，f(1).(12分)10解設切點為M(x0，y0)(x00)，則y0.切線過P(2,0)，切線斜率為.(4分)又y()，k.(6分)由導數的幾何意義知.解得x01.(10分)y01，M(1,1)切線斜率為k1，故切線方程為y1(x1)，即xy20.(14分)11(1)解f(x)a，(2分)于是解得或因為a，bZ，故f(x)x.(6分)(2)證明已知函數y1x，y2都是奇函數，所以函數g(x)x也是奇函數，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形而f(x)x11.可知，函數g(x)的圖象按向量a(1,1)平移，即得到函數f(x)的圖象，故函數f(x)的圖象是以點(1,1)為中心的中心對稱圖形(10分)(3)證明在曲線上任取一點，由f(x0)1知，過此點的切線方程為y(xx0)(12分)令x1，得y，切線與直線x1的交點為；令yx，得y2x01，切線與直線yx的交點為(2x01,2x01)；直線x1與直線yx的交點為(1,1)，從而所圍三角形的面積為|2x011|2x02|2.所以，所圍三角形的面積為定值2.(16分)