高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第四章 第8講 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例
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高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第四章 第8講 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例
精品資料第8講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例一、填空題1已知A、B兩地的距離為10 km,B、C兩地的距離為20 km,現(xiàn)測得ABC120,則A,C兩地的距離為_解析 如圖所示,由余弦定理可得:AC210040021020cos 120700,AC10(km)答案 10 km2如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿著DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑為_米解析 由題圖知,連接OC,在三角形OCD中,OD100,CD150,CDO60,由余弦定理可得OC210021502210015017 500,OC50.答案 503某人向正東方向走x km后,他向右轉(zhuǎn)150,然后朝新方向走3 km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好 km,那么x的值為_解析如圖,在ABC中,ABx,BC3,AC,ABC30,由余弦定理得()232x223xcos 30,即x23x60,解得x1,x22,經(jīng)檢測均合題意答案或24. 如圖所示,為了測量河對岸A,B兩點(diǎn)間的距離,在這一岸定一基線CD,現(xiàn)已測出CDa和ACD60,BCD30,BDC105,ADC60,則AB的長為_解析在ACD中,已知CDa,ACD60,ADC60,所以ACa.在BCD中,由正弦定理可得BCa.在ABC中,已經(jīng)求得AC和BC,又因?yàn)锳CB30,所以利用余弦定理可以求得A,B兩點(diǎn)之間的距離為ABa.答案a5一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40海里的速度沿東偏南50方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是東偏南20,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65,那么B、C兩點(diǎn)間的距離是_解析 如圖所示,由已知條件可得,CAB30,ABC105,即AB4020(海里)BCA45.由正弦定理可得:.BC10(海里)答案 10(海里)6已知A、B兩地的距離為10 km,B、C兩地的距離為20 km,現(xiàn)測得ABC120,則A、C兩地的距離為_km.答案 107如圖,設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C,測出AC的距離為50 m,ACB45,CAB105后,就可以計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離為_m.答案 508如圖,飛機(jī)的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi),若飛機(jī)的高度為海拔18 km,速度為1 000 km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0,經(jīng)過1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5,則山頂?shù)暮0胃叨葹?精確到0.1 km)_解析AB1 0001 000 (m),BCsin 30 (m)航線離山頂hsin 7511.4 (km)山高為1811.46.6 (km)答案6.6 km9已知等腰三角形腰上的中線長為,則該三角形的面積的最大值是_解析如圖,設(shè)ABAC2x,則在ABD中,由余弦定理,得3x24x24x2cos A,所以cos A.所以sin A,所以SABC(2x)2sin A.故當(dāng)x2時,(SABC)max 2.答案210已知ABC中,B45,AC4,則ABC面積的最大值為_解析法一如圖,設(shè)ABC的外接圓為圓O,其直徑2R4.取AC的中點(diǎn)M,則OMRcos 452,則AC4.過點(diǎn)B作BHAC于H,要使ABC的面積最大,當(dāng)且僅當(dāng)BH最大而BHBOOM,所以BHRR22,所以(SABC)maxACBHmax4(22)44,當(dāng)且僅當(dāng)BABC時取等號法二如圖,同上易知,ABC的外接圓的直徑2R4.SABCABBCsin B2R2sin Asin Bsin C8sin Asin C4.當(dāng)AC67.5時,(SABC)max44.答案44二、解答題11如圖,在半徑為、圓心角為60的扇形的弧上任取一點(diǎn)P,作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ,使點(diǎn)Q在OA上,點(diǎn)N、M在OB上,設(shè)矩形PNMQ的面積為y,(1)按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式:設(shè)PNx,將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式;設(shè)POB,將y表示成的函數(shù)關(guān)系式;(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系式,求出y的最大值解(1)ON,OMx,MNx,yx,x.PNsin ,ONcos ,OMsin sin ,MNONOMcos sin ,ysin (cos sin ),即y3sin cos sin2,.(2)選擇y3sin cos sin2sin,2,ymax.12如圖,甲船以每小時30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于A1處時,乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處,此時兩船相距20海里,當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處,此時兩船相距10海里問:乙船每小時航行多少海里?解:如圖所示,連接A1B2,由已知A2B210,A1A23010,來源: A1A2A2B2.又A1A2B218012060,A1A2B2是等邊三角形,A1B2A1A210.由已知,A1B120,B1A1B21056045,在A1B2B1中,由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200,B1B210.因此,乙船的速度為6030(海里/小時)13. 如圖,當(dāng)甲船位于A處時獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救甲船立即前往救援,同時把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C處的乙船,接到信號后乙船朝北偏東方向沿直線前往B處救援,問的正弦值為多少?解如題圖,在ABC中,AB20海里,AC10海里,BAC120,由余弦定理知BC2AB2AC22ABACcos 12020210222010700.BC10海里由正弦定理,sinACBsinBACsin 120.sin sin(30ACB)sin 30cosACBcos 30sinACB.乙船應(yīng)沿北偏東sin 的方向沿直線前往B處救援14某單位設(shè)計(jì)一個展覽沙盤,現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi),布設(shè)一個對角線在l上的四邊形電氣線路,如圖所示,為充分利用現(xiàn)有材料,邊BC,CD用一根5米長的材料彎折而成,邊BA、AD用一根9米長的材料彎折而成,要求A和C互補(bǔ),且ABBC.(1)設(shè)ABx米,cos Af(x),求f(x)的解析式,并指出x的取值范圍;(2)求四邊形ABCD面積的最大值解(1)在ABD中,由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos A.同理,在CBD中,BD2CB2CD22CBCDcos C.因?yàn)锳和C互補(bǔ),所以AB2AD22ABADcos ACB2CD22CBCDcos CCB2CD22CBCDcos A.即x2(9x)22x(9x)cos Ax2(5x)22x(5x)cos A解得cos A,即f(x),其中x(2,5)(2)四邊形ABCD的面積S(ABADCBCD)sin Ax(9x)x(5x)x(7x) .記g(x)(x24)(x214x49),x(2,5)由g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)0,解得x4.函數(shù)g(x)在區(qū)間(2,4)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞減因此g(x)的最大值為g(4)129108.所以S的最大值為6.答:所求四邊形ABCD面積的最大值為6 m2.