高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第二章 第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性

精品資料第3講函數(shù)的奇偶性與周期性一、填空題1若函數(shù)f(x)m為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)m_.解析由題意，得f(0)0，所以m0，即m1.答案12設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且周期為3，f(1)1，則f(2 011)_解析因?yàn)閒(x)f(x)，f(x3)f(x)，f(1)1，所以f(1)1，f(2 011)f(36701)f(1)1.答案13已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)2x3，則f(2)_.解析 f(x)為R上的奇函數(shù)，f(2)f(2)又當(dāng)x2時(shí)，f(2)2231，f(2)1.答案 14設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且對(duì)于任意的x都有f(1x)f(1x)0恒成立如果實(shí)數(shù)m、n滿足不等式組那么m2n2的取值范圍是_解析 考查函數(shù)單調(diào)性及對(duì)稱性，舉特殊函數(shù)是解決此類問題的一個(gè)重要方法如：f(x)x1，f(x1)f(1x)0，所以f(x)的對(duì)稱中心為(1,0)，不等式組由圖可知OA最小，OA，OB最大，OB7，m2n2(13,49)答案 (13,49)5設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x2)13，若f(1)2，則f(99)_.解析 由f(x)f(x2)13得f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)f(99)f(2541)f(1).答案 6設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，最小正周期T3，若f(1)1，f(2)，則a的取值范圍是_答案 7已知定義在R上的函數(shù)yf(x)滿足條件ff(x)，且函數(shù)yf為奇函數(shù)，給出以下四個(gè)命題：函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)；函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)其中真命題的序號(hào)為_答案 8若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于f(x)的判斷：f(x)是周期函數(shù)；f(x)關(guān)于直線x1對(duì)稱；f(x)在0,1上是增函數(shù)；f(x)在1,2上是減函數(shù)；f(2)f(0)其中正確的序號(hào)是_解析f(x1)f(x)，f(x)f(x1)f(x11)f(x2)，f(x)是周期為2的函數(shù)，正確又f(x2)f(x)f(x)，f(x)f(2x)，yf(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，正確又f(x)為偶函數(shù)且在1,0上是增函數(shù)，f(x)在0,1上是減函數(shù)又對(duì)稱軸為x1，f(x)在1,2上為增函數(shù)，f(2)f(0)，故錯(cuò)誤，正確答案9已知函數(shù)f(x)x2cos x，x，則滿足f(x0)>f的x0的取值范圍為_解析f(x)2xsin x，在區(qū)間內(nèi)f(x)>0，f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí)由f(x0)>f得x0，易證f(x)是偶函數(shù)，x0也符合題意答案10已知定義在R上的函數(shù)yf(x)滿足條件ff(x)，且函數(shù)yf為奇函數(shù)，給出以下四個(gè)命題：函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)；函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)其中真命題的序號(hào)為_(寫出所有真命題的序號(hào))解析由ff(x)，得f(x3)ff(x)，所以正確由yf為奇函數(shù)，得f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以不正確由ff，得f(x)f，又ff(x)，所以ff，所以f(x)是偶函數(shù)，正確由正確知不正確答案二、解答題11設(shè)f(x)exaex(aR，xR)(1)討論函數(shù)g(x)xf(x)的奇偶性；(2)若g(x)是偶函數(shù)，解不等式f(x22)f(x)解(1)a1時(shí)，f(x)exex是偶函數(shù)，所以g(x)xf(x)是奇函數(shù)；a1時(shí)，f(x)exex是奇函數(shù)，所以g(x)xf(x)是偶函數(shù)a1，由f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，得g(x)xf(x)是非奇非偶函數(shù)(2)當(dāng)g(x)是偶函數(shù)時(shí)，a1，f(x)exex是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，于是由f(x22)f(x)得x22x，即x2x20，解得1x2.12.已知函數(shù)f(x)x2(x0，aR)(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2(x0)為偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)設(shè)x2>x12，則f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a，由x2>x12，得x1x2(x1x2)>16，x1x2<0，x1x2>0.要使f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，只需f(x1)f(x2)<0，即x1x2(x1x2)a>0恒成立，則a16.13定義在R上的增函數(shù)yf(x)對(duì)任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)(1)求f(0)；(2)求證：f(x)為奇函數(shù)；(3)若f(k3x)f(3x9x2)<0對(duì)任意xR恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解 (1)令xy0，得f(00)f(0)f(0)，即f(0)0.(2)證明：令yx，得f(xx)f(x)f(x)，又f(0)0，則有0f(x)f(x)，即f(x)f(x)對(duì)任意xR成立，所以f(x)是奇函數(shù)(3)因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，又由(2)知f(x)是奇函數(shù)所以f(k3x)<f(3x9x2)f(3x9x2)，所以k3x<3x9x2，即32x(1k)3x2>0對(duì)任意xR成立令t3x>0，問題等價(jià)于t2(1k)t2>0對(duì)任意t>0恒成立令f(t)t2(1k)t2，其對(duì)稱軸為t，當(dāng)<0，即k<1時(shí)，f(0)2>0，符合題意；當(dāng)0，即k1時(shí)，f(t)>0對(duì)任意t>0恒成立解得1k<12.綜上所述，當(dāng)k<12時(shí)，f(k3x)f(3x9x2)<0對(duì)任意xR恒成立14 (1)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)x2x1，求f(x)的解析式；(2)設(shè)a>0，f(x)是R上的偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；(3)已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,2，且在區(qū)間2,0內(nèi)遞減，求滿足f(1m)f(1m2)<0的實(shí)數(shù)m的取值范圍解 (1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0，當(dāng)x<0時(shí)，x>0，由已知f(x)(x)2(x)1x2x1f(x)f(x)x2x1.f(x)(2)f(x)是R上的偶函數(shù)，f(x)f(x)在R上恒成立即，(a21)(e2x1)0，對(duì)任意的x恒成立，解得a1.(3)f(x)的定義域?yàn)?,2，有解得1m.又f(x)為奇函數(shù)，且在2,0上遞減，在2,2上遞減，f(1m)<f(1m2)f(m21)1m>m21，即2<m<1.綜合，可知1m<1.