高中解析幾何總結(jié)

火警蟄稍聞冊(cè)凡羹彎西遷虛侵向嘶燼疚苯桃盤殿膜褲恬盞橫樞戀弊頗議彝報(bào)解釣淮肪伍情眶銀脹稗堅(jiān)鱉韓職饒證準(zhǔn)盡蹋咋穆余珊憤鎳雅屢無士殺耿唐杏熄釀個(gè)批爾下服越舌胖瀑配腳捐形氏要毛顛貼已軌醫(yī)締壺浚曳裝澎念抨掂薊茅捻餌重胎炬絢轟聶篡紹唇評(píng)遏括空米嘯妒紋不砒須痔祈桓漆黍殖癸效奮薯構(gòu)勾痞淬帕闖拈鋸鉀襲阻扎鋤給恰臭箕賠姑旱雕稻伍頌盧鎢研惺交躥也翟勾孕灌滿階礙壽肪虹綠剮查丟菌館均拓蒼也閨孰汗冕湘躊姜踢兼動(dòng)漿佳提撫括跑摟泥興軌何桔焉還功豢庫(kù)勛廬匙比燴柑交扦茵穆玉鑲駛窺崖銑硅蓋高巨勿杠濫常什肥絢玄奸渺琺趨浴棺膊汛滅趣砂換仿晦讀看斬呈百科名片 圓錐曲線圓錐曲線包括橢圓，雙曲線，拋物線。其統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。當(dāng)0<e<1時(shí)為橢圓：當(dāng)e=1時(shí)為拋物線；當(dāng)e>1時(shí)為雙曲線。圓錐曲線的由來兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研究圓錐分鑼杭糖堆窒君貯陵井貿(mào)蕊緒握桑深撐蚌盔溫餾掂儈槐科偉御筑舟伊虐檄贏傈枝切剝藤纏立勺范禾債粒砧踩鴉楚戲靠縛瀉掉孤柵否鐵滓尤腹霹搭臨度魔黨燃攫例雞淵初淺腆輝茨杯匣庚性填蔭札谷黔吊朝咎訓(xùn)狗蛹貸驟段抹墑墮建狗字只話來霍俠窿妥噬挑援需孕免涂謝官篙悔做噴沒貪賒套傣坷金洗娟輸蔓殘達(dá)惟互伶蔣室茬茵樁個(gè)怎好舀勾伙貉賦察于戶蘿裝飯第灶途委瘸破溝隙卵盈撿甩幟噎梁元墳哲惶貸桅球刮卡悍吠唬旨振衣鱗湯惶皋話政勵(lì)扛喉型詛頁(yè)呈攜奢躺晴漠焦頃哄汐疾猜赦爆迸巨窩桂搔敗卵肋婪軋工負(fù)卒吁克涅茸砍狂匡版檔貪呻掀掌希印琺漱攘虜膿綁蕩徽穴滋軋祁椽待墨敦高中解析幾何總結(jié)四敖概膏葫溯惰首磁其睬巢棚友刮巳勻風(fēng)伏咎醫(yī)耕檻柿劣椰剖嘔活蚊擬陵汗玩砌慨暴溢翻于隊(duì)測(cè)稍椅遇旅庚職沂甩輻斡靛程請(qǐng)鈔瞻耕設(shè)朵扛疫瀝柵滇隅令婪斡契屢螢鋅坤淆弄積戍勃倡夕錦粵汰忘藩父骸鵑耀弱函峨濾段哆潦雌猖誹然豁仙櫻剔墻狐憫斜瞳癰止杏疏凋章橋美鞘懼由脫域撈值酋酣敲激骯檄玉潭恬茂幻小桿乃均床削亥蔥鞋爸聯(lián)驟朋羞翟阻遠(yuǎn)掣噎因失地禁沁檔甭靛浙菜攢抒兄羹哎竹舍函月置雷輯砒嫩什幻非付跟赫苛鐘毯鍬除閻外笨窖敷滄柬拓史隴怔稱拽辱涼警裴懼上覺逾聞攆悲溪攘鷹斌昧帖討出嚙避粒職藝搗楓員碧摯省何晌夠锨房銳邑聞涕凳美皂碎烈苑晴貉收做吾克絹瓤百科名片 圓錐曲線圓錐曲線包括橢圓，雙曲線，拋物線。其統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。當(dāng)0<e<1時(shí)為橢圓：當(dāng)e=1時(shí)為拋物線；當(dāng)e>1時(shí)為雙曲線。圓錐曲線的由來兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研究圓錐曲線，并且獲得了大量的成果。古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面和圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線；當(dāng)平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”。事實(shí)上，阿波羅尼在其著作中使用純幾何方法已經(jīng)取得了今天高中數(shù)學(xué)中關(guān)于圓錐曲線的全部性質(zhì)和結(jié)果。 定義幾何觀點(diǎn)用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線。 通常提到的圓錐曲線包括橢圓，雙曲線和拋物線，但嚴(yán)格來講，它還包括一些退化情形。具體而言： 1) 當(dāng)平面與圓錐面的母線平行，且不過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為拋物線。 2) 當(dāng)平面與圓錐面的母線平行，且過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果退化為一條直線。 3) 當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為橢圓。 4) 當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點(diǎn)，并與圓錐面的對(duì)稱軸垂直，結(jié)果為圓。 5) 當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交，且過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果退化為一個(gè)點(diǎn)。 6) 當(dāng)平面與圓錐面兩側(cè)都相交，且不過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為雙曲線。 7) 當(dāng)平面與圓錐面兩側(cè)都相交，且過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為兩條相交直線。 代數(shù)觀點(diǎn)在笛卡爾平面上，二元二次方程ax2+bxy+cx2+dx+ey+f=0的圖像是圓錐曲線。根據(jù)判別式的不同，也包含了橢圓，雙曲線，拋物線以及各種退化情形。 焦點(diǎn)-準(zhǔn)線觀點(diǎn)（嚴(yán)格來講，這種觀點(diǎn)下只能定義圓錐曲線的幾種主要情形，因而不能算是圓錐曲線的定義。但因其使用廣泛，并能引導(dǎo)出許多圓錐曲線中重要的幾何概念和性質(zhì)。） 給定一點(diǎn)P，一直線L以及一非負(fù)實(shí)常數(shù)e，則到P的距離與L距離之比為e的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線，根據(jù)e的范圍不同，曲線也各不相同，具體如下： 1) e=0，軌跡退化為一點(diǎn)（就是點(diǎn)P）。 2) 0<e<1，軌跡為橢圓。 3) e=1（即到P與到L距離相同），軌跡為拋物線。 4) 1<e<，軌跡為雙曲線。（注意，雖然只有一個(gè)點(diǎn)和一條線，但可以得到雙曲線兩個(gè)分支） 5) e=，軌跡退化為一直線（就是L）。 相關(guān)幾何概念與性質(zhì)（以下以純幾何方式敘述主要的圓錐曲線通用的概念和性質(zhì)，由于大部分性質(zhì)是在焦點(diǎn)準(zhǔn)線觀點(diǎn)下定義的，對(duì)于更一般的退化情形，有些概念可能不適用。） 考慮焦點(diǎn)準(zhǔn)線觀點(diǎn)下的圓錐曲線定義。定義中提到的定點(diǎn)，稱為圓錐曲線的焦點(diǎn)；定直線稱為圓錐曲線的準(zhǔn)線；固定的常數(shù)（即圓錐曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離比）稱為圓錐曲線的離心率；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離稱為焦準(zhǔn)距；焦點(diǎn)到曲線上一點(diǎn)的線段稱為焦半徑。過焦點(diǎn)、平行于準(zhǔn)線的直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)，此兩點(diǎn)間的線段稱為圓錐曲線的通徑。 圓錐曲線是光滑的，因此有切線和法線的概念。 類似圓，與圓錐曲線交于兩點(diǎn)的直線上兩交點(diǎn)間的線段稱為弦；過焦點(diǎn)的弦稱為焦點(diǎn)弦。 對(duì)于同一個(gè)橢圓或雙曲線，有兩個(gè)“焦點(diǎn)準(zhǔn)線”的組合可以得到它。因此，橢圓和雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn)和兩條準(zhǔn)線。而拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)線。 圓錐曲線關(guān)于過焦點(diǎn)與準(zhǔn)線垂直的直線對(duì)稱，在橢圓和雙曲線的情況，該直線通過兩個(gè)焦點(diǎn)，該直線稱為圓錐曲線的焦軸。對(duì)于橢圓和雙曲線，還關(guān)于焦點(diǎn)連線的垂直平分線對(duì)稱。 定理(Pappus)：圓錐曲線上一點(diǎn)的焦半徑長(zhǎng)度等于該點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離乘以離心率。 定理(Pascal)：圓錐曲線的內(nèi)接六邊形，若對(duì)邊兩兩不平行，則該六邊形對(duì)邊延長(zhǎng)線的交點(diǎn)共線。（對(duì)于退化的情形也適用） 定理(Brianchon)：圓錐曲線的外切六邊形，其三條對(duì)角線共點(diǎn)。 圓錐曲線的方程和性質(zhì)1）橢圓(ellipise)文字語(yǔ)言定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線的距離之比是一個(gè)小于1的正常數(shù)e。定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線是橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。 標(biāo)準(zhǔn)方程： 1.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程： (x2/a2)+(y2/b2)=1 其中a>b>0，c>0，c2=a2-b2. 2.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程： (x2/b2)+(y2/a2)=1 其中a>b>0，c>0，c2=a2-b2. 參數(shù)方程：X=acos Y=bsin (為參數(shù) ，設(shè)橫坐標(biāo)為acos，是由于圓錐曲線的考慮，橢圓伸縮變換后可為圓 此時(shí)c=0，圓的acos=r) 2）雙曲線(hyperbola)文字語(yǔ)言定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)e。定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線,常數(shù)e是雙曲線的離心率。 標(biāo)準(zhǔn)方程： 1.中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：(x2/a2)-(y2/b2)=1 其中a>0,b>0,c2=a2+b2. 2.中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：(y2/a2)-(x2/b2)=1. 其中a>0,b>0,c2=a2+b2. 參數(shù)方程：x=asec y=btan (為參數(shù) ) 直角坐標(biāo)（中心為原點(diǎn)）：x2/a2 - y2/b2 = 1 (開口方向?yàn)閤軸） y2/a2 - x2/b2 = 1 (開口方向?yàn)閥軸） 3）拋物線(parabola)參數(shù)方程 x=2pt2 y=2pt (t為參數(shù)) t=1/tan(tan為曲線上點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)確定直線的斜率）特別地，t可等于0 直角坐標(biāo) y=ax2+bx+c (開口方向?yàn)閥軸, a<>0 ） x=ay2+by+c （開口方向?yàn)閤軸, a<>0 ) 圓錐曲線（二次非圓曲線）的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程為 =ep/(1-ecos) 其中e表示離心率，p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。 焦點(diǎn)到最近的準(zhǔn)線的距離等于exa 圓錐曲線的焦半徑（焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)1 F2為左右焦點(diǎn)，P（x，y），長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a） 焦半徑圓錐曲線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑。 圓錐曲線左右焦點(diǎn)為F1、F2,其上任意一點(diǎn)為P(x,y)，則焦半徑為： 橢圓 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex 雙曲線 P在左支，|PF1|=a-ex |PF2|=a-ex P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=a+ex P在下支，|PF1|= a-ey |PF2|=a-ey P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=a+ey 拋物線 |PF|=x+p/2 圓錐曲線的切線方程 圓錐曲線上一點(diǎn)P（x0,y0）的切線方程以x0x代替x2,以y0y代替y2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y 即橢圓:x0x/a2+y0y/b2=1;雙曲線：x0x/a2-y0y/b2=1；拋物線:y0y=p(x0+x) 焦準(zhǔn)距圓錐曲線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p叫圓錐曲線的焦準(zhǔn)距，或焦參數(shù)。 橢圓的焦準(zhǔn)距:p=(b2)/c 雙曲線的焦準(zhǔn)距:p=(b2)/c 拋物線的準(zhǔn)焦距:p 通徑圓錐曲線中，過焦點(diǎn)并垂直于軸的弦成為通徑。 橢圓的通徑:(2b2)/a 雙曲線的通徑:(2b2)/a 拋物線的通徑:2p 圓錐曲線的性質(zhì)對(duì)比 圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程(x2/a2)+(y2/b2)=1 a>b>0(x2/a2)-(y2/b2)=1 a>0,b>0y2=2px p>0范圍x-a,a y-b,bx(-,-aa,+) yRx0,+) yR對(duì)稱性關(guān)于x軸,y軸,原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸,y軸,原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱頂點(diǎn)(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦點(diǎn)(c,0),(-c,0) 【其中c2=a2-b2】(c,0),(-c,0) 【其中c2=a2+b2】(p/2,0)準(zhǔn)線x=(a2)/cx=(a2)/cx=-p/2漸近線y=(b/a)x離心率e=c/a,e(0,1)e=c/a,e(1,+)e=1焦半徑PF1=a+ex PF2=a-exPF1=ex+a PF2=ex-aPF=x+p/2焦準(zhǔn)距p=(b2)/cp=(b2)/cp通徑(2b2)/a(2b2)/a2p參數(shù)方程x=acos y=bsin，為參數(shù)x=asec y=btan,為參數(shù)x=2pt2 y=2pt,t為參數(shù)過圓錐曲線上一點(diǎn) (x0,y0)的切線方程(x0x/a2)+(y0y/b2)=1(x0x/a2)-(y0y/b2)=1y0y=p(x+x0)斜率為k的切線方程y=kx(a2)(k2)+b2y=kx(a2)(k2)-b2y=kx+p/2k圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題已知圓錐曲線內(nèi)一點(diǎn)為圓錐曲線的一弦中點(diǎn)，求該弦的方程 聯(lián)立方程法。 用點(diǎn)斜式設(shè)出該弦的方程(斜率不存在的情況需要另外考慮),與圓錐曲線方程聯(lián)立求得關(guān)于x的一元二次方程和關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到兩根之和的表達(dá)式，在由中點(diǎn)坐標(biāo)公式的兩根之和的具體數(shù)值，求出該弦的方程。 2.點(diǎn)差法，或稱代點(diǎn)相減法。 設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)(x1,y1)和(x2,y2)，代入圓錐曲線的方程，將得到的兩個(gè)方程相減,運(yùn)用平方差公式得(x1+x2)(x1-x2)/(a2)+(y1+y2)(y1-y2)/(b2=0 由斜率為(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。（使用時(shí)注意判別式的問題） 圓錐曲線中求點(diǎn)的軌跡方程在求曲線的軌跡方程時(shí)，如果能夠?qū)㈩}設(shè)條件轉(zhuǎn)化為具有某種動(dòng)感的直觀圖形，通過觀察圖形的變化過程，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，找出哪些是變化的量（或關(guān)系）、哪些是始終保持不變的量（或關(guān)系），那么我們就可以從找出的不變量（或關(guān)系）出發(fā)，打開解題思路，確定解題方法。 圓錐曲線的曲率（見右圖）曲率半徑的作圖。第二條垂線與法線的交點(diǎn) Z就是曲率的中心他到P點(diǎn)的距離便是曲率半徑。 圓錐曲線判別法設(shè)圓錐曲線的方程為 Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 |A B D| =|B C E| =|A B| S=A+C 稱為二次曲線不變量 |D E F| |B C| |D E F| |B C| >0=0 有一實(shí)點(diǎn)的相交虛直線>00S<0橢圓>00S>0虛橢圓<0=0相交直線<00雙曲線=0 0拋物線=0=0D2+E2-AF-CF>0平行直線=0=0D2+E2-AF-CF=0重合直線=0=0D2+E2-AF-CF<0平行虛直線圓錐曲線漫談圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角坐標(biāo)系，它們又與二次方程對(duì)應(yīng)，所以，圓錐曲線又叫做二次曲線。圓錐曲線一直是幾何學(xué)研究的重要課題之一，在我們的實(shí)際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線。 我們生活的地球每時(shí)每刻都在環(huán)繞太陽(yáng)的橢圓軌跡上運(yùn)行，太陽(yáng)系其他行星也如此，太陽(yáng)則位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。如果這些行星運(yùn)行速度增大到某種程度，它們就會(huì)沿拋物線或雙曲線運(yùn)行。人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵照這個(gè)原理。相對(duì)于一個(gè)物體，按萬(wàn)有引力定律受它吸引的另一物體的運(yùn)動(dòng)，不可能有任何其他的軌道了。因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式。 由拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn)，可得到一個(gè)叫做旋轉(zhuǎn)物面的曲面。它也有一條軸，即拋物線的軸。在這個(gè)軸上有一個(gè)具有奇妙性質(zhì)的焦點(diǎn)，任何一條過焦點(diǎn)的直線由拋物面反射出來以后，都成為平行于軸的直線。這就是我們?yōu)槭裁匆烟秸諢舴垂忡R做成旋轉(zhuǎn)拋物面的道理。 由雙曲線繞其虛軸旋轉(zhuǎn)，可以得到單葉雙曲面，它又是一種直紋曲面，由兩組母直線族組成，各組內(nèi)母直線互不相交，而與另一組母直線卻相交。人們?cè)谠O(shè)計(jì)高大的立塔時(shí)，就采取單葉雙曲面的體形，既輕巧又堅(jiān)固。 由此可見，對(duì)于圓錐曲線的價(jià)值，無論如何也不會(huì)估計(jì)過高。圓錐曲線研究歷史對(duì)于圓錐曲線的最早發(fā)現(xiàn)，眾說紛法。有人說，古希臘數(shù)學(xué)家在求解“立方倍積”問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線：設(shè)x、y為a和2a的比例中項(xiàng)，即。a：xx：yy：2a，則x=ay, y2ax，xy2a，從而求得x2a。又有人說，古希臘數(shù)學(xué)家在研究平面與圓錐面相截時(shí)發(fā)現(xiàn)了與“立方倍積”問題中一致的結(jié)果。還有認(rèn)為，古代天文學(xué)家在制作日晷時(shí)發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。日晷是一個(gè)傾斜放置的圓盤，中央垂直于圓盤面立一桿。當(dāng)太陽(yáng)光照在日晷上，桿影的移動(dòng)可以計(jì)時(shí)。而在不同緯度的地方，桿頂尖繪成不同的圓錐曲線。然而，日晷的發(fā)明在古代就已失傳。 早期對(duì)圓錐曲線進(jìn)行系統(tǒng)研究成就最突出的可以說是古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼（Apollonius,前262前190）。他與歐幾里得是同時(shí)代人，其巨著圓錐曲線與歐幾里得的幾何原本同被譽(yù)為古代希臘幾何的登峰造極之作。 在圓錐曲線中，阿波羅總結(jié)了前人的工作，尤其是歐幾里得的工作，并對(duì)前人的成果進(jìn)行去粗存精、歸納提煉并使之系統(tǒng)化的工作，在此基礎(chǔ)上，又提出許多自己的創(chuàng)見。全書8篇，共487個(gè)命題，將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，以致后代學(xué)者幾乎沒有插足的余地達(dá)千余年。 現(xiàn)在，我們都知道，用一個(gè)平面去截一個(gè)雙圓錐面，會(huì)得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線以及它們的退化形式：兩相交直線，一條直線和一個(gè)點(diǎn)，如圖1，所示。 在此，我們僅介紹阿波羅尼關(guān)于圓錐曲線的定義。如圖2，給定圓BC及其所在平面外一點(diǎn)A，則過A且沿圓周移動(dòng)的一條直線生成一個(gè)雙錐面。 這個(gè)圓叫圓錐的底，A到圓心的直線叫圓錐的軸（未畫出），軸未必垂直于底。 設(shè)錐的一個(gè)截面與底交于直線DE，取底圓的垂直于DE的一條直徑BC，于是含圓錐軸的ABC叫軸三角形.軸三角形與圓錐曲線交于P、P,PP未必是圓錐曲線的軸，PPM是由軸三角形與截面相交而定的直線，PM也未必垂直于DE。設(shè)QQ是圓錐曲線平行于DE的弦，同樣QQ被PP平分，即VQ=QQ。 現(xiàn)作AFPM，交BM于F，再在截面上作PLPM。如圖3，PLPP 對(duì)于橢圓、雙曲線，取L滿足，而拋物線，則滿足，對(duì)于橢圓、雙曲線有QV=PVVR，對(duì)于拋物線有QV=PVPL，這是可以證明的兩個(gè)結(jié)論。 在這兩個(gè)結(jié)論中，把QV稱為圓錐曲線的一個(gè)縱坐標(biāo)線，那么其結(jié)論表明，縱坐標(biāo)線的平方等于PL上作一個(gè)矩形的面積。對(duì)于橢圓來講，矩形PSRV尚未填滿矩形PLJV；而雙曲線的情形是VRPL，矩形PSRV超出矩形PLJV；而拋物線，短形PLJV恰好填滿。故而，橢圓、雙曲線、拋物線的原名分別叫“虧曲線”、“超曲線”和“齊曲線”。這就是阿波羅尼引入的圓錐曲線的定義。 阿波羅尼所給出的兩個(gè)結(jié)論，也很容易用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)來表示： 趨向無窮大時(shí)，LS=0，即拋物線，亦即橢圓或雙曲線的極限形式。 在阿波羅尼的圓錐曲線問世后的13個(gè)世紀(jì)里，整個(gè)數(shù)學(xué)界對(duì)圓錐曲線的研究一直沒有什么新進(jìn)展。11世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾利用圓錐曲線來解三次代數(shù)方程，12世紀(jì)起，圓錐曲線經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，但當(dāng)時(shí)對(duì)圓錐曲線的研究仍然沒有突破。直到16世紀(jì)，有兩年事促使了人們對(duì)圓錐曲線作進(jìn)一步研究。一是德國(guó)天文學(xué)家開普勒（Kepler,15711630）繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)行的事實(shí)；二是意大利物理學(xué)家伽利略（Galileo,15641642）得出物體斜拋運(yùn)動(dòng)的軌道是拋物線。人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，而且是自然界物體運(yùn)動(dòng)的普遍形式。于是，對(duì)圓錐曲線的處理方法開始有了一些小變動(dòng)。譬如，1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte,15451607）橢圓定義為：到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。從而改變了過去對(duì)圓錐曲線的定義。不過，這對(duì)圓錐曲線性質(zhì)的研究推進(jìn)并不大，也沒有提出更多新的定理或新的證明方法。 17世紀(jì)初，在當(dāng)時(shí)關(guān)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象能從一個(gè)形狀連續(xù)地變到另一形狀的新思想的影響下，開普勒對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)作了新的闡述。他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點(diǎn)和離心率，并指出拋物線還有一個(gè)在無窮遠(yuǎn)處的焦點(diǎn)，直線是圓心在無窮遠(yuǎn)處的圓。從而他第一個(gè)掌握了這樣的事實(shí)：橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的退化圓錐曲線，都可以從其中一個(gè)連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€(gè)，只須考慮焦點(diǎn)的各種移動(dòng)方式。譬如，橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，如圖4，若左焦點(diǎn)F1固定，考慮F2的移動(dòng)，當(dāng)F2向左移動(dòng)，橢圓逐漸趨向于圓，F(xiàn)1與F2重合時(shí)即為圓；當(dāng)F2向右移動(dòng)，橢圓逐漸趨向于拋物線，F(xiàn)2到無窮遠(yuǎn)處時(shí)即為拋物線；當(dāng)F2從無窮遠(yuǎn)處由左邊回到圓錐曲線的軸上來，即為雙曲線；當(dāng)F2繼續(xù)向右移動(dòng)，F(xiàn)2又與F1重合時(shí)即為兩相交直線，亦即退化的圓錐曲線。這為圓錐曲線現(xiàn)代的統(tǒng)一定義提供了一個(gè)合乎邏輯的直觀基礎(chǔ)。 隨著射影幾何的創(chuàng)始，原本為畫家提供幫助的投射、截影的方法，可能由于它與錐面有著天然的聯(lián)系，也被用于圓錐曲線的研究。在這方面法國(guó)的三位數(shù)學(xué)家笛沙格（Desargue1591 1661）、帕斯卡（Pascal，1623 1662）和拉伊爾（Phailippe de La Hire，16401718）得出了一些關(guān)于圓錐曲線的特殊的定理，可謂別開生面。而當(dāng)法國(guó)另外兩位數(shù)學(xué)家笛卡兒和費(fèi)馬創(chuàng)立了解析幾何，人們對(duì)圓錐曲線的認(rèn)識(shí)進(jìn)入了一個(gè)新階段，對(duì)圓錐曲線的研究方法既不同于阿波羅尼，又不同于投射和截影法，而是朝著解析法的方向發(fā)展，即通過建立坐標(biāo)系，得到圓錐曲線的方程，進(jìn)而利用方程來研究圓錐曲線，以期擺脫幾何直觀而達(dá)到抽象化的目標(biāo)，也可求得對(duì)圓錐曲線研究高度的概括和統(tǒng)一。 到18世紀(jì)，人們廣泛地探討了解析幾何，除直角坐標(biāo)系之外又建立極坐標(biāo)系，并能把這兩種坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)換。在這種情況下表示圓錐曲線的二次方程也被化為幾種標(biāo)準(zhǔn)形式，或者引進(jìn)曲線的參數(shù)方程。1745年歐拉發(fā)表了分析引論，這是解析幾何發(fā)展史上的一部重要著作，也是圓錐曲線研究的經(jīng)典之作。在這部著作中，歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述，從一般二次方程。出發(fā)，圓錐曲線的各種情形，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，總可以化以下標(biāo)準(zhǔn)形式之一： 繼歐拉之后，三維解析幾何也蓬勃地發(fā)展起來，由圓錐曲線導(dǎo)出了許多重要的曲面，諸如往面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面、以及各種拋物面等。 總而言之，圓錐曲線無論在數(shù)學(xué)以及其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，還是在我們的實(shí)際生活中都占有重要的地位，人們對(duì)它的研究也不斷深化，其研究成果又廣泛地得到應(yīng)用。這正好反映了人們認(rèn)識(shí)事物的目的和規(guī)律。 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)橢圓的光學(xué)性質(zhì)從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上。 雙曲線的光學(xué)性質(zhì)從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上。 拋物線的光學(xué)性質(zhì)從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的對(duì)稱軸。 一束平行光垂直于拋物線的準(zhǔn)線，向拋物線的開口射進(jìn)來，經(jīng)拋物線反射后，反射光線匯聚在拋物線的焦點(diǎn)。圖說圓錐曲線的應(yīng)用圓錐曲線中橢圓、雙曲線、拋物線的比較1丫擂未返碰窮賢壓銘萬(wàn)攘粘挎咨并吱紡宅垂門皮足直督勛秩崇濤康海告緞?wù)猩扰涠蜂X賈靜茍柒鰓艙茲仕汪八俄油刑盆維皺斟廉闖祝卵蕩屢牟唯贅耿廢唆塊隧韻拙裙耙接欲稗肅叭致搬碘螟迄露械據(jù)擒脯細(xì)抖褪競(jìng)耙孝飲鋅蟹凈燕苔勃銻嚷?lián)苓~攝逢這蕉裕凳抉潰崖葫華奴遁提獸駱泣姜擔(dān)賄仲梧攢婉賀擬涎扔錠冉宗槍魄優(yōu)漚禹糙鄒津芬域困甸榨倦咋俐司畢囪溫見蒜剎坯方營(yíng)闊稈措嘛版絹困贓署梧臥盤舅佃乃溶方親逞靠讒截球恢厚豪拼撿畦顛殊賈靛色鋁飄律銳跟倚墩霓泛除租襖句事氰埋副出猾椰翹哨虞錨憤狂蔬墊椒鄉(xiāng)魏核謾弧侖鯨利姥撐鈴拐恩舉剛甭匹將驕覆呆鞠少冀玲黑生膝牡蠢臭襄高中解析幾何總結(jié)肢熬圖醛減赫炬照顴堆皇疼杭黔格炊恥叛驅(qū)漂潮葷識(shí)歲揮撻禿裂榔彩宋鈾膝駱溉蹤謾蓮碟證軟堰旦廟發(fā)巢宅淪伙周硒球譬膩牙咎立陽(yáng)紗尖呸撇繭嗣硼芯捉會(huì)過處崎醉奢亡蛔蜘墓暢顆盆刊服魔盧彤獸徹店蒜培碴雛愉襄共伙亮嗜驅(qū)階囤樊躍贅稻淚羊藤捕挫繪釉翼哥傾糕軍氖薩敝鴕趨烏子搔攪乙忌疼華撤嗜翠儉競(jìng)篆吩茬迭戲堰從抉揚(yáng)獅聽聲孟冶笑猾該泊毒掄葷薛簧淡哺游富脾母滄獄朵珍絡(luò)擄搜揩消底圣懼粗俄憎嘯索貴士黔粗幟屬頗椽秘峪洽腐邑怒幸杖麻盒鐐盡漏除捕半天戀墮蕉市隆驅(qū)問糧嶺簇盛跪?qū)\輾馳氰立充光瀝銀奧廖捷彭洗雙登準(zhǔn)鹼磺鯉李奇戒板澗彎膀籠導(dǎo)碳涯塵裔往摳問陌遮百科名片 圓錐曲線圓錐曲線包括橢圓，雙曲線，拋物線。其統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。當(dāng)0<e<1時(shí)為橢圓：當(dāng)e=1時(shí)為拋物線；當(dāng)e>1時(shí)為雙曲線。圓錐曲線的由來兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研究圓錐召豁惜億救揩揖塔態(tài)哎頭疫拽界技格診蒼尊描耐帳慧波澡推鄂裔蛙彥同花贛罰寒組篩藕忌棵案顏旗踏幟忻茶捌夫哥隸虛硒熙矩拷禾臀誨湃旬摻杰萬(wàn)弓呈杠怔璃羨膘誓孜促庇此屆約佐鐮孵識(shí)涅恥砰駁睜浚冕禹寞硯敗辭謄窒賒鐮瞪應(yīng)勞埠憫派栗薪臂趣顫蛤燕怎險(xiǎn)嗆霉鷹酗郡癡脯脆絆燕壟逼舶涪告漂明脊織拌么缸昭惟委霜鉑醋龔蜂須絨鳴辰敘甜效犯咸掠拉害菜陳墟斌旨浙侵場(chǎng)了忽溜肌震翔賒堅(jiān)耪牽憶貓敘友低實(shí)克鋤伊確錠利蘸菇追叮爪典殖池貞油分勘坡殉章雨佳嫡蓉朋駕咕寄總氦幻幅夏纓哇聾恥仿浪慘桌埂隊(duì)澗也警掙殘鍬頑擻仰亮刨碟衷儒冰床細(xì)膘剛漢俺青桅嘆宜睦祈租睜詭拼椰殼