2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文(宏志班).doc

2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文(宏志班)一、選擇題（共60題，每題5分。每題僅有一個(gè)正確選項(xiàng)。）1.下列說(shuō)法正確的是 ( )A.有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B.四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形C.有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)2.如圖，矩形OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中OA6 cm，OC2 cm，則原圖形是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四邊形3.已知直線是異面直線，直線分別與都相交，則直線的位置關(guān)系A(chǔ).可能是平行直線 B.一定是異面直線 C.可能是相交直線 D.平行、相交、異面直線都有可能4在正四面體的6條棱中隨機(jī)抽取2條，則其2條棱互相垂直的概率為（ ）A B C D5.已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足m，n，則（ ）A.ml B.mn C.nl D.mn6直線與的位置關(guān)系是（ ）A平行 B垂直 C斜交 D與的值有關(guān)7設(shè)ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A(3，1)，B，C的平分線方程分別為x0，yx，則直線BC的方程為()Ay2x5By2x3 Cy3x5 Dyx8.是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件中，可判斷平面平行的是 ( )A.是平面內(nèi)兩條直線，且 B.內(nèi)不共線的三點(diǎn)到的距離相等 C.都垂直于平面 D.是兩條異面直線，且9.某工作的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工作通過(guò)切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工作的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=新工件的體積/原工件的體積）（ ）A、 B、 C、 D、 10如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（ ）A. B. C. D. 11.在單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面對(duì)角線A1B上存在一點(diǎn)P使得AP+D1P取得最小值,則此最小值是（ ）A.2 B. C. D. 12如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D1、E、F的截面將正方體分割成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為V1、V2（V1V2），則V1：V2=（）A B C D二、填空題（共20分，每題5分）13.直線l：ax(a1)y20的傾斜角大于45，則a的取值范圍是_.14. 四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_(kāi)15. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書(shū)九章中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中積水深九寸，則平地降雨量是_寸(注： 平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積； 一尺等于十寸)16如果三棱錐的底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面上的射影是的中心，則這樣的三棱錐稱(chēng)為正三棱錐給出下列結(jié)論： 正三棱錐所有棱長(zhǎng)都相等； 正三棱錐至少有一組對(duì)棱（如棱與）不垂直； 當(dāng)正三棱錐所有棱長(zhǎng)都相等時(shí)，該棱錐內(nèi)任意一點(diǎn)到它的四個(gè)面的距離之和為定值； 若正三棱錐所有棱長(zhǎng)均為，則該棱錐外接球的表面積等于 若正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為2，一個(gè)側(cè)面的頂角為，過(guò)點(diǎn)的平面分別交側(cè)棱，于則周長(zhǎng)的最小值等于以上結(jié)論正確的是 （寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）三、解答題（共70分，每題必需要有必要的解答過(guò)程）17（10分）.如圖，在四棱錐中，平面平面，分別是的中點(diǎn)求證：（1）直線平面；（2）平面平面.18（12分）.如圖，在三棱錐中， ，.（1）求三棱錐的體積；（2）求點(diǎn)C到平面距離. 19(12分).已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M(1，0)，N(1，0)距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1.求直線PN的方程20（12分）如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，且DAB=60，PA=PD，M為CD的中點(diǎn)，BDPM（1）求證：平面PAD平面ABCD；（2）若APD=90，四棱錐PABCD的體積為，求三棱錐APBM的高21（12分）.如圖在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1，D1C1上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B1不重合），且EHA1D1過(guò)EH的平面與棱BB1,CC1相交，交點(diǎn)分別為F，G.（）證明：AD平面EFGH；（）設(shè)AB=2AA1=2a，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFE-D1DCGH內(nèi)的概率為p.當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱A1B1，B1B上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí)，求p的最小值.22（12分）.如圖，已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G（）證明：G是AB的中點(diǎn)；（ ）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說(shuō)明作法及理由），并求四面體PDEF的體積合肥一六八中學(xué)xx第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題（宏志班）命題人：汪克亮 審題人：賈秋雨（考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分）注意事項(xiàng)：1、 本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。2、 選擇題答案請(qǐng)用2B鉛筆準(zhǔn)確地填涂在答題卡上相應(yīng)位置，非選擇題答案必須填寫(xiě)在答題卷上相應(yīng)位置，否則不得分。3、 考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡和答題卷一并交回。第卷一、選擇題（共60題，每題5分。每題僅有一個(gè)正確選項(xiàng)。）1.下列說(shuō)法正確的是 (B )A.有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B.四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形C.有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)2.如圖，矩形OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中OA6 cm，OC2 cm，則原圖形是(C )A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四邊形3.已知直線是異面直線，直線分別與都相交，則直線的位置關(guān)系A(chǔ).可能是平行直線 B.一定是異面直線 C.可能是相交直線 D.平行、相交、異面直線都有可能答案 C4在正四面體的6條棱中隨機(jī)抽取2條，則其2條棱互相垂直的概率為（ ）A B C DC5.已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足m，n，則（ ）A.ml B.mn C.nl D.mn【答案】C6直線與的位置關(guān)系是（ ）A平行 B垂直 C斜交 D與的值有關(guān)B7設(shè)ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A(3，1)，B，C的平分線方程分別為x0，yx，則直線BC的方程為()Ay2x5By2x3 Cy3x5 Dyx答案：A8.是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件中，可判斷平面平行的是 ( )A.是平面內(nèi)兩條直線，且 B.內(nèi)不共線的三點(diǎn)到的距離相等 C.都垂直于平面 D.是兩條異面直線，且D9.某工作的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工作通過(guò)切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工作的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=新工件的體積/原工件的體積）（ ）A、 B、 C、 D、 【答案】A10如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】11.在單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面對(duì)角線A1B上存在一點(diǎn)P使得AP+D1P取得最小值,則此最小值是（ ）A.2 B. C. D. D12如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D1、E、F的截面將正方體分割成兩個(gè)部分，記這兩個(gè)部分的體積分別為V1、V2（V1V2），則V1：V2=（C）A B C D第卷二、填空題（共20分，每題5分）13.直線l：ax(a1)y20的傾斜角大于45，則a的取值范圍是_.答案(，)(0，)14. 四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_(kāi)解析： 如圖所示，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，只要在四棱錐的高線SE上找到一個(gè)點(diǎn)使得，則四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)就在同一個(gè)球面上在中，故設(shè)球的半徑為，則中，即點(diǎn)E即為球心，故這個(gè)球的體積15. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書(shū)九章中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中積水深九寸，則平地降雨量是_寸(注： 平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積； 一尺等于十寸)答案：3解析：本題考查圓臺(tái)的體積公式做出圓臺(tái)的軸截面如圖，由題意知，BF14(單位寸，下同)，OC6，OF18，OG9，即G是OF中點(diǎn)，所以GE為梯形的中位線，所以GE10，即積水的上底面半徑為10.所以盆中積水的體積為(10036)588.盆口的面積為142196，所以3，即平地降雨量是3寸16如果三棱錐的底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面上的射影是的中心，則這樣的三棱錐稱(chēng)為正三棱錐給出下列結(jié)論： 正三棱錐所有棱長(zhǎng)都相等； 正三棱錐至少有一組對(duì)棱（如棱與）不垂直； 當(dāng)正三棱錐所有棱長(zhǎng)都相等時(shí)，該棱錐內(nèi)任意一點(diǎn)到它的四個(gè)面的距離之和為定值； 若正三棱錐所有棱長(zhǎng)均為，則該棱錐外接球的表面積等于 若正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為2，一個(gè)側(cè)面的頂角為，過(guò)點(diǎn)的平面分別交側(cè)棱，于則周長(zhǎng)的最小值等于以上結(jié)論正確的是 （寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）答案：，三、解答題（共70分，每題必需要有必要的解答過(guò)程）17（10分）.如圖，在四棱錐中，平面平面，分別是的中點(diǎn)求證：（1）直線平面；（2）平面平面.解析：（1）如圖，在PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EFPD.又因?yàn)槠矫鍼CD，PD平面PCD，所以直線EF平面PCD.（2）連接BD.因?yàn)锳BAD，BAD60，所以ABD為正三角形因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BFAD.因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD. 又因?yàn)锽F平面BEF，所以平面BEF平面PAD.18（12分）.如圖，在三棱錐中，.（1）求三棱錐的體積；（2）求點(diǎn)C到平面距離.18.解：（1）過(guò)作交于一點(diǎn)，.在中，則，.面積.四面體體積.（2）在中，連接.則,.，.在中，.設(shè)點(diǎn)到平面距離為，由等體積法可知.從而.點(diǎn)到平面距離為.19(本題滿分12分)已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M(1，0)，N(1，0)距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1.求直線PN的方程解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題設(shè)有，即，整理得x2y26x10.因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1，|MN|2，所以PMN30，直線PM的斜率為，直線PM的方程為y(x1)將式代入式整理得x24x10，解得x2，代入式得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)或(2，1)或(2，1)或(2，1)，直線PN的方程為yx1或yx1.20（12分）如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，且DAB=60，PA=PD，M為CD的中點(diǎn)，BDPM（1）求證：平面PAD平面ABCD；（2）若APD=90，四棱錐PABCD的體積為，求三棱錐APBM的高20證明：（）取AD的中點(diǎn)E，連接PE，EM，AC.底面ABCD為菱形，又 EM AC，又BDPM， 則., 平面PAD平面ABCD（2）設(shè), 由APD=90，可得由（1）知，則，則連接，可得.設(shè)三棱錐APBM的高為,則由,可得即.21（12分）.如圖在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1，D1C1上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B1不重合），且EHA1D1過(guò)EH的平面與棱BB1,CC1相交，交點(diǎn)分別為F，G.（）證明：AD平面EFGH；（）設(shè)AB=2AA1=2a，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFE-D1DCGH內(nèi)的概率為p.當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱A1B1，B1B上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí)，求p的最小值.（）證明：在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，ADA1D1，又因?yàn)镋HA1D1，所以ADEH.因?yàn)锳D平面EFGH，EH平面EFGH，則AD平面EFGH（）解:設(shè)BC=b，則長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D的體積V=ABADAA1=2a2b幾何體EB1F-HC1C的體積V1=（EB1B1FB1C1）=EB1B1F因?yàn)?所以EB1B1F.當(dāng)且僅當(dāng)EB1=B1F=時(shí)等號(hào)成立從而V1.故當(dāng)且僅當(dāng)EB1=B1F=時(shí)等號(hào)成立則p的最小值為22（12分）.如圖，已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G（）證明：G是AB的中點(diǎn)；（）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說(shuō)明作法及理由），并求四面體PDEF的體積【分析】（）根據(jù)題意分析可得PD平面ABC，進(jìn)而可得PDAB，同理可得DEAB，結(jié)合兩者分析可得AB平面PDE，進(jìn)而分析可得ABPG，又由PA=PB，由等腰三角形的性質(zhì)可得證明；（）由線面垂直的判定方法可得EF平面PAC，可得F為E在平面PAC內(nèi)的正投影由棱錐的體積公式計(jì)算可得答案【解答】解：（）證明：PABC為正三棱錐，且D為頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影，PD平面ABC，則PDAB，又E為D在平面PAB內(nèi)的正投影，DE面PAB，則DEAB，PDDE=D，AB平面PDE，連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，則ABPG，又PA=PB，G是AB的中點(diǎn)；（）在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形，PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC，因此EF平面PAC，即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影連結(jié)CG，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心由（）知，G是AB的中點(diǎn)，所以D在CG上，故CD=CG由題設(shè)可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PE=PG，DE=PC由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2所以四面體PDEF的體積V=DESPEF=222=【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的體積計(jì)算以及線面垂直的性質(zhì)、應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確分析幾何體的各種位置、距離關(guān)系