精編高中數(shù)學(xué)北師大版必修5 第三章3.2 基本不等式與最大小值 作業(yè) Word版含解析

精編北師大版數(shù)學(xué)資料學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練1已知 a，bR，且 a2b24，那么 ab()A有最大值 2，有最小值2B有最大值 2，但無最小值C有最小值 2，但無最大值D有最大值 2，有最小值 0解析：選 A.這里沒有限制 a，b 的正負(fù)，則由 a2b24，a2b22|ab|，得|ab|2，所以2ab2，可知 ab 的最大值為 2，最小值為2.2若 x4，則函數(shù) yx1x4()A有最大值6B有最小值 6C有最大值2D有最小值 2解析：選 B.x4，x40，yx1x4(x4)1x44246.當(dāng)且僅當(dāng) x41x4，即 x5 時(shí)，取“”號(hào)3已知 x、y 為正實(shí)數(shù)，且 x4y1，則 xy 的最大值為()A.14B.18C.116D.132解析：選 C.x、y 為正實(shí)數(shù)，xy14x4y14x4y22116，當(dāng)且僅當(dāng) x4y 且 x4y1，即 x12，y18時(shí)取等號(hào)4點(diǎn) P(x，y)是直線 x3y20 上的動(dòng)點(diǎn)，則代數(shù)式 3x27y有()A最大值 8B最小值 8C最小值 6D最大值 6解析：選 C.點(diǎn) P(x，y)在直線 x3y20 上，x3y2.3x27y3x33y2 3x33y2 3x3y2 326.當(dāng)且僅當(dāng) x3y，即 x1，y13時(shí)，等號(hào)成立代數(shù)式 3x27y有最小值 6.5將一根鐵絲切割成三段，做一個(gè)面積為 2 m2、形狀為直角三角形的框架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費(fèi)最少)的是()A6.5 mB6.8 mC7 mD7.2 m解析：選 C.設(shè)兩直角邊分別為 a、b，直角三角形的框架的周長為 l，則12ab2，lab a2b22 ab 2ab42 26.828(m)故選 C.6已知 x，y 都是正數(shù)，(1)如果 xy15，則 xy 的最小值是_；(2)如果 xy15，則 xy 的最大值是_解析：(1)因?yàn)?x，y 都是正數(shù)，且 xy15，由基本不等式得 xy2 xy2 15.當(dāng)且僅當(dāng) xy 15時(shí)，取等號(hào)(2)因?yàn)?x，y 都是正數(shù)，且 xy15，由基本不等式得 xyxy2215222254.當(dāng)且僅當(dāng) xy7.5 時(shí)，取等號(hào)答案：(1)2 15(2)22547一批救災(zāi)物資隨 26 輛汽車從某市以 v 千米/時(shí)的速度勻速直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知兩地公路線長 400 千米，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于v202千米，那么這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)，最少需要_小時(shí)解析： 從第一輛車出發(fā)到最后一輛車到達(dá)目的地共需要的時(shí)間 y400v25v202v400v25v4002400v25v40010.當(dāng)且僅當(dāng) v80 時(shí)，等號(hào)成立答案：108有下面四個(gè)推導(dǎo)過程：a，b(0，)，baab2baab2；x，y(0，)，lg xlg y2 lg xlg y；aR，a0，4aa24aa4；x，yR，xy0，xyyxxy yx2xyyx 2.其中正確推導(dǎo)過程的序號(hào)為_解析：從基本不等式成立的條件考慮a，b(0，)，ba，ab(0，)，符合基本不等式的條件，故推導(dǎo)正確；雖然 x，y(0，)，但當(dāng) x(0，1)時(shí)，lg x 是負(fù)數(shù)，y(0，1)時(shí)，lg y 是負(fù)數(shù)，故的推導(dǎo)過程是錯(cuò)誤的；的推導(dǎo)過程中 aR，不符合基本不等式的條件，故4aa24aa4 是錯(cuò)誤的對于，由 xy0，求證：x22x132.證明：x0，x120，x22x1x1x12x121x12122x12 1x121232.當(dāng)且僅當(dāng) x121x12，即 x12時(shí)等號(hào)成立10用一塊鋼錠燒鑄一個(gè)厚度均勻，且表面積為 2 平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖所示)，設(shè)容器高為 h 米，蓋子邊長為 a 米(1)求 a 關(guān)于 h 的解析式；(2)設(shè)容器的容積為 V 立方米，則當(dāng) h 為何值時(shí)，V 最大？并求出 V 的最大值(求解本題時(shí)，不計(jì)容器厚度)解：(1)設(shè) h是正四棱錐的斜高，由題設(shè)，得a2412ha2，h214a2h2，消去 h，解得 a1h21(a0)(2)由 V13a2hh3（h21）(h0)，得 V13h1h.而 h1h2h1h2.所以 V16，當(dāng)且僅當(dāng) h1h，即 h1 時(shí)，等號(hào)成立故當(dāng) h1 米時(shí)，V 有最大值，V 的最大值為16立方米高考水平訓(xùn)練1在區(qū)間12，2上，函數(shù) f(x)x2bxc(b，cR)與 g(x)x2x1x在同一點(diǎn)取得相同的最小值，那么 f(x)在區(qū)間12，2上的最大值是()A.134B4C8D.54解析：選 B.g(x)x2x1xx1x13，當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng) x1 時(shí)取最小值 3，所以 f(x)的對稱軸是 x1，所以 b2.再把(1，3)代入即得 c4.所以 f(x)x22x4，易得在12，2上的最大值是 f(2)4444.2若實(shí)數(shù) a，b，c 滿足 2a2b2ab，2a2b2c2abc，則 c 的最大值是_解析：2a2b2ab，2ab2a2b2 2a2b2 2ab，即 2ab2 2ab.2ab4.又2a2b2c2abc，2ab2c2ab2c，即 2c2ab(2c1).2c2c12ab4，即2c2c14，432c2c10，2c43，clog2432log23，c 的最大值為 2log23.答案：2log233(1)若 x、yR，且 2x8yxy0，求 xy 的最小值；(2)若 x1，求 yx23x3x1的最小值解：(1)由 2x8yxy0，得 2x8yxy，x、yR，2y8x1，xy(xy)8x2y 108yx2xy1024yxxy 10224yxxy18.當(dāng)且僅當(dāng)4yxxy，即 x2y 時(shí)取等號(hào)，又 2x8yxy0，當(dāng) x12，y6 時(shí)，xy 取最小值 18.(2)法一：yx23x3x1（x1）2x2x1（x1）2（x1）1x1(x1)1x11.x1，x10.y(x1)1x11213.當(dāng)且僅當(dāng) x11x1，即 x0 時(shí)，函數(shù)有最小值 3.法二：令 x1t，則 xt1.yx23x3x1（t1）23（t1）3tt2t1tt1t1.x1，tx10.yt1t12t1t13.當(dāng)且僅當(dāng) t1t，即 t1，即 x0 時(shí)，函數(shù)有最小值 3.4 某工廠擬建一座平面圖為矩形， 面積為 200 m2， 高度一定的三段污水處理池(如圖) 由于受地形限制，其長、寬都不能超過 16 m，如果池的外壁的建造費(fèi)單價(jià)為 400 元/m，池中兩道隔墻的建造費(fèi)單價(jià)為 248 元/m，池底的建造費(fèi)單價(jià)為 80 元/m2，試設(shè)計(jì)水池的長 x 和寬y(xy)，使總造價(jià)最低，并求出這個(gè)最低造價(jià)解：設(shè)污水池長為 x m，則寬 y200 xm，且 0 x16，0200 x，設(shè)總造價(jià)為Q(x)，則 Q(x)400(2x2200 x)2482200 x80200800(x324x)16 0001 600 x324x16 00044 800.當(dāng)且僅當(dāng) x324x(x0)，即 x18 時(shí)取等號(hào)，44 800 不是最小值又0 x16，0200 x，10 2x16，而 Q(x)在(10 2，16上單調(diào)遞減，Q(x)Q(16)800(1632416)16 00045 000(元)故水池長為 16 m，寬為 12.5 m 時(shí)，其總造價(jià)最低，最低造價(jià)為 45 000 元