高考數(shù)學(xué) 人教版文一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)55第8章 解析幾何10 Word版含答案

課時作業(yè)(五十五)定點、定值、探索性問題1(20xx保定模擬)設(shè)橢圓E：1(a>b>0)的離心率為e，且過點。(1)求橢圓E的方程。(2)設(shè)橢圓E的左頂點是A，若直線l：xmyt0與橢圓E相交于不同的兩點M，N(M，N與A均不重合)，若以MN為直徑的圓過點A，試判定直線l是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標(biāo)。解析：(1)由e2，可得a22b2，橢圓方程為1，代入點可得b22，a24，故橢圓E的方程為1。(2)由xmyt0得xmyt，把它代入E的方程得：(m22)y22mtyt240，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)得：y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)2t，x1x2(my1t)(my2t)m2y1y2tm(y1y2)t2。因為以MN為直徑的圓過點A，所以AMAN，所以(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)4y1y2240。因為M，N與A均不重合，所以t2，所以t，直線l的方程是xmy，直線l過定點T，由于點T在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于0，所以直線l過定點T。2已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，且過點(2，)。(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC，BD過原點O，若kACkBD，求證：四邊形ABCD的面積為定值。解析：(1)由題意e，1，又a2b2c2，解得a28，b24，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1。(2)證明：設(shè)直線AB的方程為ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得(12k2)x24kmx2m280，(4km)24(12k2)(2m28)8(8k2m24)>0，由根與系數(shù)的關(guān)系得kACkBD，y1y2x1x2。又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2，(m24)m28k2，4k22m2。設(shè)原點到直線AB的距離為d，則SAOB|AB|d|x2x1|2，S四邊形ABCD4SAOB8，即四邊形ABCD的面積為定值。3(20xx廣東卷)已知過原點的動直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點A，B。(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程；(3)是否存在實數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由。解析：(1)由x2y26x50得(x3)2y24，圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0)。(2)設(shè)M(x，y)，則點M為弦AB中點即C1MAB，kC1MkAB1即1，線段AB的中點M的軌跡的方程為2y2。(3)由(2)知點M的軌跡是以C為圓心r為半徑的部分圓弧EF(如圖所示，不包括兩端點)，且E，F(xiàn)，又直線L：yk(x4)過定點D(4,0)，當(dāng)直線L與圓C相切時，由得k，又kDEkDF，結(jié)合上圖可知當(dāng)k時，直線L：yk(x4)與曲線C只有一個交點。4(20xx湖北卷)一種畫橢圓的工具如圖1所示。O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的拴子D可沿滑槽AB滑動，且DNON1，MN3，當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動時，帶動N繞O轉(zhuǎn)動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C，以O(shè)為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系。圖1 圖2 (1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)動直線l與兩定直線l1：x2y0和l2：x2y0分別交于P，Q兩點，若直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，試探究：OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由。解析：(1)因為|OM|MN|NO|314。當(dāng)M，N在x軸上時，等號成立；同理|OM|MN|NO|312，當(dāng)D，O重合，即MNx軸時，等號成立。所以橢圓C的中心為原點O，長半軸長為4，短半軸長為2，其方程為1。(2)()當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l為x4或x4，都有SOPQ448。()當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l：ykxm(k)。由消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160。因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點。所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24。又由可得P；同理可得Q。由原點O到直線PQ的距離為d和|PQ|xPxQ|，可得SOPQ|PQ|d|m|xPxQ|m|。將代入得，SOPQ8。當(dāng)k2時，SOPQ888；當(dāng)0k2時，SOPQ88。因0k2，則014k21，2，所以SOPQ8(1)8，當(dāng)且僅當(dāng)k0時取等號。所以當(dāng)k0時，SOPQ的最小值為8。綜上(1)(2)可知，當(dāng)直線l與橢圓C在四個頂點處相切時，OPQ的面積取得最小值8。