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第11篇 第4節(jié) 證明方法

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第11篇 第4節(jié) 證明方法

第十一篇第4節(jié) 一、選擇題1(2014濰坊模擬)用反證法證明某命題時,對結(jié)論“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)是()A自然數(shù)a,b,c中至少有兩個偶數(shù)B自然數(shù)a,b,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)C自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)D自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)解析:“恰有一個”反面應(yīng)是至少有兩個或都是奇數(shù)故選B.答案:B2設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時,f(x)單調(diào)遞減,若x1x2>0,則f(x1)f(x2)的值()A恒為負(fù)值B恒等于零C恒為正值 D無法確定正負(fù)解析:由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時,f(x)單調(diào)遞減,可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),由x1x2>0,可知x1>x2,f(x1)<f(x2)f(x2),則f(x1)f(x2)<0,故選A.答案:A3分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設(shè)a>b>c,且abc0,求證:<a”索的因應(yīng)是()Aab>0 Bac>0C(ab)(ac)>0 D(ab)(ac)<0解析:<ab2ac<3a2(ac)2ac<3a2a22acc2ac3a2<02a2acc2<02a2acc2>0(ac)(2ac)>0(ac)(ab)>0.故選C.答案:C4(2014汕頭一中月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式:123n2(nN*),則從nk到nk1時左邊應(yīng)添加的項(xiàng)為()Ak21B(k1)2CD(k21)(k22)(k23)(k1)2解析:當(dāng)nk時,等式左邊123k2,當(dāng)nk1時,等式左邊123k2(k21)(k22)(k1)2,比較上述兩個式子,當(dāng)nk1時,等式左邊是在假設(shè)nk時等式成立的基礎(chǔ)上,等式的左邊加上了(k21)(k22)(k1)2.故選D.答案:D5(2014遼寧大連模擬)設(shè)S是至少含有兩個元素的集合,在S上定義了一個二元運(yùn)算“*”(即對任意的a,bS,對于有序元素對(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng)),若對任意的a,bS,有a*(b*a)b,則對任意的a,bS,下列等式中不恒成立的是()A(a*b)*aaBa*(b*a)*(a*b)aCb*(b*b)bD(a*b)*b*(a*b)b解析:由已知條件可得對任意a,bS,a*(b*a)b,則b*(b*b)b,a*(b*a)*(a*b)b*(a*b)a,(a*b)*b*(a*b)(a*b)*ab,即選項(xiàng)B,C,D中的等式均恒成立,僅選項(xiàng)A中的等式不恒成立故選A.答案:A6對于不等式<n1(nN*),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下:(1)當(dāng)n1時,<11,不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*且k1)時,不等式成立,即<k1,則當(dāng)nk1時,<(k1)1,所以當(dāng)nk1時,不等式成立,則上述證法()A過程全部正確Bn1驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確解析:在nk1時,沒有應(yīng)用nk時的假設(shè),故推理錯誤故選D.答案:D二、填空題7設(shè)a>b>0,m,n,則m,n的大小關(guān)系是_解析:法一取a2,b1,得m<n.法二分析法:<>a<b2ab2>0,顯然成立答案:m<n8已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)yx圖象上的點(diǎn),其中nN*,設(shè)cnanbn,則cn與cn1的大小關(guān)系為_解析:由條件得cnanbnn,cn隨n的增大而減小cn1<cn.答案:cn1<cn9用反證法證明:若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理數(shù)根,那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)用反證法證明時,假設(shè)的內(nèi)容是_解析:“至少有一個”的否定為“都不是”答案:假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)10用數(shù)學(xué)歸納法證明:1222n22212,第二步證明由“k到k1”時,左邊應(yīng)加_解析:當(dāng)nk時,左邊1222k22212;當(dāng)nk1時,左邊1222k2(k1)2k22212.答案:(k1)2k2三、解答題11已知a>0,求證:a2.證明:要證a2.只要證2a.a>0,故只要證22,即a244a2222,從而只要證2,只要證42,即a22,而上述不等式顯然成立,故原不等式成立12(2014湖南常德模擬)設(shè)a>0,f(x),令a11,an1f(an),nN*.(1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論(1)解:a11,a2f(a1)f(1);a3f(a2);a4f(a3).猜想an(nN*)(2)證明:易知,n1時,猜想正確假設(shè)nk時猜想正確,即ak,則ak1f(ak).這說明,nk1時猜想正確由知,對于任何nN*,都有an.

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