【導與練】新課標高三數學一輪復習 第3篇 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理及其應用課時訓練 理

【導與練】（新課標）2016屆高三數學一輪復習 第3篇 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理及其應用課時訓練 理【選題明細表】知識點、方法題號用正、余弦定理解三角形1、2、7、8、11與面積有關的問題6、10、15判斷三角形形狀3、13實際應用問題5、9綜合應用4、12、14、16基礎過關一、選擇題1.(2014北京西城模擬)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=3,b=2,cos(A+B)=13,則c等于(D)(A)4(B)15 (C)3(D)17解析:cos(A+B)=13=-cos C,cos C=-13,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,所以c=17.故選D.2.(2014高考江西卷)在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若3a=2b,則2sin2B-sin2Asin2A的值為(D)(A)-19 (B)13(C)1(D)72解析:由正弦定理可得2sin2B-sin2Asin2A=2(sinBsinA)2-1=2(ba)2-1,因為3a=2b,所以ba=32,所以2sin2B-sin2Asin2A=2(32)2-1=72.故選D.3.(2014江西省七校第一次聯考)在ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),則ABC的形狀一定是(D)(A)等邊三角形(B)不含60的等腰三角形(C)鈍角三角形(D)直角三角形解析:sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cos Asin B,sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B,所以sin Acos B+cos Asin B=1,即sin(A+B)=1,所以A+B=2,故三角形為直角三角形.故選D.4.(2014煙臺模擬)在ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg 1b+c,則A等于(C)(A)2(B)3(C)23(D)56解析:由lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg 1b+c,整理得,lg(a+c)(a-c)=lg b(b+c),(a+c)(a-c)=b(b+c),得b2+c2-a2=-bc.cos A=b2+c2-a22bc=-12,又A(0,),A=23.故選C.5. (2014廣州調研)如圖所示,長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為,則坡度值tan 等于(A) (A)2315(B)516(C)23116(D)115解析:由題意,可得在ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且+ACB=.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos =516,所以sin =23116,所以tan =sincos=2315.故選A.6.在ABC中,三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若內角A、B、C依次成等差數列,且不等式-x2+6x-8>0的解集為x|a<x<c,則SABC等于(B)(A)3(B)23(C)33(D)43解析:由于不等式-x2+6x-8>0的解集為x|2<x<4,a=2,c=4,又角A、B、C依次成等差數列,B=3,于是SABC=1224sin 3=23.故選B.二、填空題7.(2014惠州模擬)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,則角B的值為.解析:由余弦定理,得a2+c2-b22ac=cos B,結合已知等式得cos Btan B=32,sin B=32,B=3或23.答案:3或238.(2014菏澤一模)在ABC中,內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知a2-c2=2b,且sin Acos C=3cos Asin C,則b=.解析:根據正弦定理和余弦定理由sin Acos C=3cos Asin C得:a2Ra2+b2-c22ab=3b2+c2-a22bcc2Ra2+b2-c2=3(b2+c2-a2),a2-c2=b22.解方程組a2-c2=2b,a2-c2=b22,b=4.答案:49. (2014大連聯考)如圖,為測得河對岸塔AB的高,先在河岸上選一點C,使C在塔底B的正東方向上,測得點A的仰角為60,再由點C沿北偏東15方向走10米到位置D,測得BDC=45,則塔AB的高是.解析:在BCD中,CD=10,BDC=45,BCD=15+90=105,DBC=30,BCsin45=CDsin30,BC=CDsin45sin30=102.在RtABC中tan 60=ABBC,AB=BCtan 60=106.答案:10610.(2014高考新課標全國卷)已知a,b,c分別為ABC三個內角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,則ABC面積的最大值為.解析:把正弦定理a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C代入已知得(2+b)(a-b)=(c-b)c,(2+b)(2-b)=(c-b)c.4-b2=c2-bc,b2+c2-bc=4.cos A=b2+c2-a22bc=4+bc-42bc=12.A=60.又b2+c2=4+bc2bc,bc4.SABC=12bcsin A=1232bc=34bc344=3.當且僅當b=c=2時取等號,故ABC面積的最大值為3.答案:3三、解答題11.(2014高考北京卷)如圖,在ABC中,B=3,AB=8,點D在BC邊上,且CD=2,cosADC=17.(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的長.解:(1)在ADC中,因為cosADC=17,所以sinADC=437.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB=43712-1732=3314.(2)在ABD中,由正弦定理得BD=ABsinBADsinADB=83314437=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=82+52-28512=49.所以AC=7.12. (2014高考湖南卷)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cos CAD的值;(2)若cos BAD=-714,sin CBA=216,求BC的長.解:(1)在ADC中,由余弦定理,得cos CAD=AC2+AD2-CD22ACAD.故由題設知,cos CAD=7+1-427=277.(2)設BAC=,則=BAD-CAD.因為cos CAD=277,cos BAD=-714,所以sin CAD=1-cos2CAD=1-(277)2=217,sin BAD=1-cos2BAD=1-(-714)2=32114.于是sin =sin(BAD-CAD)=sin BADcos CAD-cos BADsin CAD=32114277-(-714)217=32.在ABC中,由正弦定理,BCsin=ACsinCBA.故BC=ACsinsinCBA=732216=3.能力提升13.(2014咸陽三模)設ABC的三個內角A,B,C成等差數列,且(BA+BC)AC=0,則ABC的形狀是(C)(A)直角三角形(B)鈍角三角形(C)等邊三角形(D)等腰非等邊三角形解析:由題得2B=A+C,3B=得B=3,設AC中點D,則(BA+BC)AC=2BDAC=0即BDAC得a=c.所以ABC為等腰三角形,又因為B=6,所以ABC為等邊三角形.故選C.14.(2014高考江蘇卷)若ABC的內角滿足sin A+2sin B=2sin C,則cos C的最小值是.解析:由正弦定理可得a+2b=2c,又cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-14(a+2b)22ab=3a2+2b2-22ab8ab26ab-22ab8ab=6-24,當且僅當3a=2b時取等號,所以cos C的最小值是6-24.答案:6-2415.(2014德州模擬)已知a,b,c分別為ABC的三個內角A,B,C的對邊,m=(sin A,1),n=(cos A,3),且mn.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=22,求ABC的面積.解:(1)因為mn,所以3sin A-cos A=0,tan A=33.因為A(0,),所以A=6.(2)由正弦定理可得sin B=bsinAa=22,因為a<b,所以A<B,B=4或34.當B=4時,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=2(1+3)4.所以SABC=12absin C=1+3;當B=34時,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=2(3-1)4,所以SABC=12absin C=3-1.故ABC的面積為1+3或3-1.探究創(chuàng)新16.(2014咸陽二模)已知ABC的三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且ABC的面積為S=32accos B.(1)若c=2a,求角A,B,C的大小;(2)若a=2,且4A3,求邊c的取值范圍.解:由三角形面積公式及已知得S=12acsin B=32accos B,化簡得sin B=3cos B,即tan B=3,又0<B<,故B=3.(1)由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-2a2=3a2,b=3a.abc=132,知A=6,C=2.(2)由正弦定理得asinA=csinC,即c=asinCsinA=2sinCsinA,由C=23-A,得c=2sin(23-A)sinA=2(sin 23cosA-cos 23sinA)sinA=3tanA+1,又由4A3,知1tan A3,故c2,3+1.