高考數(shù)學 人教版文一輪復習課時作業(yè)54第8章 解析幾何9 Word版含答案

課時作業(yè)(五十四)最值、范圍、證明問題1已知橢圓E的中心在坐標原點、對稱軸為坐標軸，且拋物線x24y的焦點是它的一個焦點，又點A(1，)在該橢圓上。(1)求橢圓E的方程。(2)若斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點B，C，當ABC的面積最大時，求直線l的方程。解析：(1)由已知得拋物線的焦點為(0，)，故設橢圓方程為1(a>)。將點A(1，)代入方程得1，整理得a45a240，解得a24或a21(舍去)，故所求橢圓方程為1。(2)設直線l的方程為yxm，B，C的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由得4x22mxm240，則8m216(m24)8(8m2)>0，所以0m2<8。由x1x2m，x1x2，得|BC|x1x2|。又點A到BC的距離為d，故SABC|BC|·d·，當且僅當2m2162m2，即m±2時取等號。當m±2時，滿足0m2<8。故直線l的方程為yx±2。2在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為圓心的圓與直線xy4相切。(1)求圓O的方程。(2)若圓O上有兩點M，N關于直線x2y0對稱，且|MN|2，求直線MN的方程。(3)圓O與x軸相交于A，B兩點，圓內的動點P使|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，求·的取值范圍。解析：(1)半徑r2，故圓O的方程為x2y24。(2)因為圓O上有兩點M，N關于直線x2y0對稱，故MN的斜率等于直線x2y0斜率的負倒數(shù)，等于2，設MN的方程為y2xb，即2xyb0。由弦長公式可得，圓心O到直線MN的距離等于1。由點到直線的距離公式可得1，b±，故MN的方程為2xy±0。(3)圓O與x軸相交于A(2,0)，B(2,0)兩點，圓內的動點P使|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，所以|PA|·|PB|PO|2，設點P(x，y)，則有·x2y2，兩邊平方，化簡可得x2y22。由點P在圓內可得x2y2<4，故有0y2<1。因為·(2x，y)·(2x，y)x2y242(y21)2,0)，即·的取值范圍是2,0)。3(20xx·河北五校二聯(lián))已知拋物線y24x，直線l：yxb與拋物線交于A，B兩點。(1)若x軸與以AB為直徑的圓相切，求該圓的方程；(2)若直線l與y軸負半軸相交，求AOB(O為坐標原點)面積的最大值。解析：(1)聯(lián)立，消去x并化簡整理得y28y8b0。依題意有6432b>0，解得b>2。設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y28，y1y28b，設圓心Q(x0，y0)，則應有x0，y04。因為以AB為直徑的圓與x軸相切，得到圓半徑為r|y0|4，又|AB|。所以|AB|2r8，解得b。所以x1x22b2y12b2y24b16，所以圓心為。故所求圓的方程為2(y4)216。(2)因為直線l與y軸負半軸相交，所以b<0，又l與拋物線交于兩點，由(1)知b>2，所以2<b<0，直線l：yxb可化為x2y2b0，點O到直線l的距離d，所以SAOB|AB|d4b4 。令g(b)b32b2，2<b<0，g(b)3b24b3b，bg(b)0g(b)極大值由上表可得g(b)的最大值為g。所以當b時，AOB的面積取得最大值。4(20xx·浙江二模)已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，且經過點P。過它的兩個焦點F1，F(xiàn)2分別作直線l1與l2，l1交橢圓于A，B兩點，l2交橢圓于C，D兩點，且l1l2。(1)求橢圓的標準方程；(2)求四邊形ACBD的面積S的取值范圍。解析：(1)由得a2c，所以a24c2，b23c2，將點P的坐標代入橢圓方程得c21，故所求橢圓方程為1。(2)當l1與l2中有一條直線的斜率不存在時，則另一條直線的斜率為0，此時四邊形的面積為S6。若l1與l2的斜率都存在，設l1的斜率為k，則l2的斜率為。直線l1的方程為yk(x1)。設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y整理得(4k23)x28k2x4k2120。x1x2，x1x2，|x1x2|，|AB|x1x2|。注意到方程的結構特征，或圖形的對稱性，可以用代替中的k，得|CD|，S|AB|·|CD|，令k2t(0，)，S66，S。綜上可知，四邊形ACBD的面積S的取值范圍為。