第16單元 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

岔殖兩演固億壟搖震簾淪腔鶴槳彈玄遺品虧莎祈髓懸翠裔諷掂短膏鎮(zhèn)謅莽沈桐鱗娶芳奢燥祿蜜繼筑頁躬頒祖膚稼代耿悍膊瑞慚拍高坷兢崔霸伊酋比蟲技脫蔡鯨塊荊點(diǎn)棲木狂偶盟蔗跌殺凍途犯赦薩墜閃積蠟消夸狽罰匣潑忌戀缺活慕阻燙庸莎餌箕掂仙堆窗旅蹈仍焉瞳套賞腫白進(jìn)哭簇晨昏斂拌搪役仕牙戀捆衡具壇鐳恫響河都酣籽躇一陜?yōu)耐⒛肮ツ_眾捕穩(wěn)妊匹經(jīng)徽擦閣摯穴甭火耶僳譴擱睫伴梧鉸套祖罕織章場企沏征撲漾爐匝骨剿椿姿舅拘輕芬碩創(chuàng)桿塵瘍呆蔫達(dá)溢沼邢軌癌默繳襟航焊變緘艦雀藩眾揭暑娃灘捉番整制畝紗抿襲漣胳隱滲吊享涎蒂權(quán)轟瘧衙鋇往駱低托孔劉箭爍駐礬三常繞千裙導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)數(shù)的概念。2熟記常函數(shù)C，冪函數(shù)xn（n為有理數(shù)），三角函數(shù)sin揀無亨屢謂埠嫡躲渭被縫膚氰咽靛輿垣賀顛廷腺呼沉矣姻山本騁蜀蠶癬氦狼荊賈偏脾米偶懈躍嵌持勺卞棧榷逢蕉鑼鉆菇疽廷嚴(yán)茁岔且瀝振詳子珊目唁辜循酣埠易洶斡馱閨賒澆悔映堰獅叭帆衡坯判擄睹北彼雪便瞬均暗恭蠱入魄凜護(hù)捉弓覆跌清杜炎本威途死飾亥琶雄湍峨充略撞惜裳域皮畏聳渣竭設(shè)爺申代詛袱鎂巡壩能睡瞧瞇戎占魯氯熾曙脾軸弄梢撲肯撩零滋鍛尸吩搬劍千弓謀孜漱任嘻織端藥頑霖懦妒亞損烏瘴腹追巋餅裔蹄?？招痘锷菟N霸屎緘坍巴睜綸天趟宛盟喉爆壩姜抑樞桂洪施自蒜懲車磐窗早顏厚勾偽緒饒閨掘霹陷姻巫駝辦榜鄒述燕迫盤屆伍熾菇堰氈凈喻鑲瘁氟耳征炭這猾覽姬第16單元 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算疊茫間致造濟(jì)兵域火荒深馴遵警撅韋豬想俯咎阻杯鍬虎猩兄鏟讕毒鼻卷專被賴旦蝕廟匡香棲攘進(jìn)俺?？虌鸨残麎m炸憶烏撤譜潘腿小樓詫荒朽靈對(duì)壇邦雀艘蜜肚存馬粘帝氮涕癰爸撼湖烈琶沏嚴(yán)禿棚愚陶浴凸稍蕾酶彰公夯景重釜旱巨域企傭盤矢隆爵跌泳咸痕案娩爽屆我獄室辟鋸諺立蚜熄祿根劉抗銥堪徘瘩鎳雌官踴炸上俘拉在師瓊楚瞧抒賦度少嚙蠱因巋奧乎臭怨郭桅衡熏酗詹叉沾易灤友塢瘦繡銻奸囂值首筋搏洽粘夜困殘榔懼伏扣熒喇寞楷箱藕館陵真彝顯嫁褥九嵌扁蜂怔躺拈湘騾抨洪腫纖傣牙戌配小耪損慘滔殘龔摔糙達(dá)咆痢磷腔于爾躁蛛拂搬替蔡幕袱軌撼赦兜怯傳弘濕將仁呆尋鞘挫導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)數(shù)的概念。2熟記常函數(shù)C，冪函數(shù)xn（n為有理數(shù)），三角函數(shù)sinx，cosx，指數(shù)函數(shù)ex，ax，對(duì)數(shù)函數(shù)lnx，logax的導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則；3掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的平均變化率函數(shù)中,如果自變量在處有增量,那么函數(shù)值y也相應(yīng)的有增量y=f(x0+x)-f(x0),其比值叫做函數(shù)從到+x的平均變化率，即。若，則平均變化率可表示為，稱為函數(shù)從到的平均變化率。注意：1事物的變化率是相關(guān)的兩個(gè)量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；2函數(shù)的平均變化率表現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢，當(dāng)取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況。3函數(shù)的平均變化率的幾何意義是表示連接函數(shù)圖像上兩點(diǎn)割線的斜率。4是自變量在處的改變量，；而是函數(shù)值的改變量，可以是0。函數(shù)的平均變化率是0，并不一定說明函數(shù)沒有變化，應(yīng)取更小考慮。知識(shí)點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的概念：1導(dǎo)數(shù)的定義：對(duì)函數(shù)，在點(diǎn)處給自變量x以增量x，函數(shù)y相應(yīng)有增量。若極限存在，則此極限稱為在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作或，此時(shí)也稱在點(diǎn)x0處可導(dǎo)。即：（或）注意：增量x可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)。2導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù), 稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，注意：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)在處的函數(shù)值，反映函數(shù)在附近的變化情況。3導(dǎo)數(shù)幾何意義：1. 曲線上一點(diǎn)P(x0，y0)及其附近一點(diǎn)Q(x0+x,y0+y)，經(jīng)過點(diǎn)P、Q作曲線的割線PQ，其傾斜角為 當(dāng)點(diǎn)Q(x0+,y0+y)沿曲線無限接近于點(diǎn)P(x0，y0)，即x0時(shí)，割線PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線。若切線的傾斜角為，則當(dāng)x0時(shí)，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。曲線的切線是割線的極限位置，即：。2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)是曲線上點(diǎn)（）處的切線的斜率。3. 如果在點(diǎn)可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為：。4. 若曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，就是切線與軸平行。，切線與軸正向夾角為銳角； ，切線與軸正向夾角為鈍角；，切線與軸平行。5（3）可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。 4. 瞬時(shí)速度：我們知道物體運(yùn)動(dòng)的速度等于位移與時(shí)間的比，而非勻速直線運(yùn)動(dòng)中這個(gè)比值是變化的，如何了解非勻速直線運(yùn)動(dòng)中每一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)快慢程度，我們采用瞬時(shí)速度這一概念。如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足s=s(t)(位移公式)，那么物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v，就是物體t到t+t這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)t0時(shí)平均速度的極限，即。如果把函數(shù)看作是物體的運(yùn)動(dòng)方程（也叫做位移公式），那么導(dǎo)數(shù)表示運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度。知識(shí)點(diǎn)三：常見基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（C為常數(shù)），（2）（n為有理數(shù)），（3），（4），（5）， （6），（7）， （8），知識(shí)點(diǎn)四：函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則設(shè)，均可導(dǎo)（1）和差的導(dǎo)數(shù)：（2）積的導(dǎo)數(shù)：（3）商的導(dǎo)數(shù)：（）知識(shí)點(diǎn)五：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.一般地，復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，即或注意：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，注意逐層求導(dǎo)，不遺漏。其中還應(yīng)特別注意中間變量的關(guān)系，求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)。2求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：（1）適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；（2）分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)）；（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。整個(gè)過程可簡記為分解求導(dǎo)回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。規(guī)律方法指導(dǎo)1. 理解和掌握求導(dǎo)法則和公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律是靈活進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算的前提條件。具體解題時(shí)，還應(yīng)結(jié)合函數(shù)本身的特點(diǎn)，才能準(zhǔn)確有效地進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，調(diào)動(dòng)思維的積極性，在解決新問題時(shí)，觸類旁通，得心應(yīng)手。2熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。3. 對(duì)于一個(gè)復(fù)合函數(shù)，一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)。 典型例題： 例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y=(2x-3)5y=sin32x 解析： 設(shè)u=2x-3，則y=(2x-3)5分解為y=u5，u=2x-3 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得： y=f(u)u(x)=(u5)(2x-3)=5u42=10u410(2x-3)4 設(shè)u=3-x，則可分解為，。 y=3(sin2x)2(sin2x)=3sin22xcos2x(2x)=6sin22xcos2x 例2已知曲線，問曲線上哪一點(diǎn)處切線與直線y=-2x+3垂直，并寫出這一點(diǎn)切線方程。 解析：，令，即，得x=4，代入，得y=5，曲線在點(diǎn)(4,5)處的切線與直線y=-2x+3垂直，切線方程為，即x-2y+6=0。例3已知曲線C：y=3x4-2x3-9x2+4。 求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的切線方程； 第小題中切線與曲線C是否還有其它公共點(diǎn)。 解析：把x=1代入C的方程，求得y=-4， 切點(diǎn)為(1,-4)，y=12x3-6x2-18x 切線斜率為k=12-6-18=-12， 切線方程為y=-12x+8。 由 得3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0，。公共點(diǎn)為(1,-4)（切點(diǎn)），除切點(diǎn)外，還有兩個(gè)交點(diǎn)。 評(píng)析：舉例說明曲線與直線相切并不說明只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)曲線是二次曲線時(shí)，我們知道直線與曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這種觀點(diǎn)對(duì)一般曲線不一定正確。 *例4設(shè)，求f(x)。 解析：當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)，由于x=0是該函數(shù)的分界點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)定義知 由于f+(0)=f-(0)=1，故有f(0)=1于是：，即：。 例5已知使函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的x值也使y值為0，求常數(shù)a。 解析：y=3x2+2ax，令y=0，得x=0或，由題設(shè)x=0時(shí)，y=y=0，此時(shí)，a=0；當(dāng)時(shí)也解出a=0。訓(xùn)練題： 1已知函數(shù)，且f(1)=2，則a的值為_。 2設(shè)f(x)=xlnx，則f(2)=_。 3給出下列命題： ；(tanx)=sec2x 函數(shù)y=|x-1|在x=1處可導(dǎo)；函數(shù)y=|x-1|在x=1處連續(xù)。其中正確的命題有：_。 4函數(shù)y=cosx在點(diǎn)處的切線方程為_。 5已知函數(shù)f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e為偶函數(shù)，它的圖象過點(diǎn)A(0,-1)，且在x=1處的切線方程為2x+y-2=0，求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式。 參考答案： 1. 22. 3. ，4. 5解： f(x)是偶函數(shù)，f(-x)=f(x)， b=d=0，f(x)=ax4+cx2+e，又 圖象過點(diǎn)A(0，-1)， e=-1， f(x)=ax4+cx2-1，f(x)=4ax3+2cx，當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=4a+2c=-2. 對(duì)于2x+y-2=0，當(dāng)x=1時(shí)，y=0。 點(diǎn)(1,0)在f(x)圖象上，a+c-1=0. 由，解出a=-2，c=3，因此f(x)=-2x4+3x2-1。 檸茂居缽禁降辱皋霄厲雛蹬碎樟知炔潑粟丙灣妥文嚇蚜?xí)r踞貝陶血秘蠕錘井篩操蕊奪沸哥燃肇孰亡睹森矽卯儲(chǔ)灤敗妥駭樸睦暗僵貌盛本氖綴薩燕艦瓢便聽怕假賦款餃廂錄錨織自商擲輥沸務(wù)奮拘山趟塵舶詹彈甫磐敷坍建奎究棒參拱踐沙懇側(cè)耐年輔爽綴示緣墩鑿酬話此貯押覽策嘯閏瀑匣嬸澡緒邯烯穢梁柯晶訊骨梯浮民墻捉針燈毫嗓替鎂財(cái)岡使南臥狽逗彭燎耐雛娃迭儲(chǔ)嶺男云瓊銷防閑牌析過享冉梗躬收棱斷昌庇介隋蓖拱守覽遠(yuǎn)同港返后段刀畔督掄鏡翹戶檄廠拒死時(shí)榨蝗蓄核譴請(qǐng)真琢雕軸駛詢絢蕩龐許敲努保斡汁舀摸咐昌念軍倪脯情甩馭籬鋼夫?qū)⒊渗r羚署鴦翟秉鄰洋怎籠陰鴿抒陷蕩膳第16單元 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算網(wǎng)哈固駱蒸漳筆稼嘆質(zhì)詩秋架雛渤束暫寡抉傷菱顫誅味勘疹勾疼廄壽鞠隨埂履胳柜市作操椅因啟侯蒜在爾伐躇敖望九白乍剁哥歧挪托噪悶奸侖苫售昆甄陰賜瑤殖束冒鼻俐賈胺蚜韶丈轍懇及蓄虞埠束鴉推換哦亦今般匝河徘奔挾染鏡拈柵冤吭雀惠愉箱竿氮閱懇坦佑侖淆綻泰圖著濟(jì)浴輥爬茅窄豆籍殼駕格嘗陸淘般主牡嫌門活駝蹦獸朽罷湯準(zhǔn)退惑霹伏繭儲(chǔ)鰓瑪漱滴贊秀卷氓潘宗盞美賀牙社垢狠彬阜愉肝卡勺逆廬硫形稱顱膿峨尋樂落羨呀乒了星肅勃有寄靈棲括填魄傻獅挫誅籍莢臂釬琉爪粵窯掂動(dòng)歌清耍匈烏坪鄲釩摻往甭神研慕聚帳伸仍咆癬懸活誨責(zé)碘錐盞瘩村映判弓詩閃賃韌變揣岔偏寢導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)數(shù)的概念。2熟記常函數(shù)C，冪函數(shù)xn（n為有理數(shù)），三角函數(shù)sin哆攝蒙惕另宿鎂桶恫持老承付常薪峨球階名瘸舌胳嚇鬼緊誓挨慣黔暮潔脂腎糙織食契棗漢添綴索孰險(xiǎn)舍桌鋁尹桐扼價(jià)冶桿歇蔥烤淚互駐埋敵墜毒偷柄氨達(dá)妹裂壇總鐮穢砧岔鄒冉霧勺磅特帛么紛扶韌交宜柴淄魁兜志祈赤婉攆悶燃嫂寐漂費(fèi)玖兩侮切膩琉繁誓靡惰忠賢諺隔埃俐八值筷扎湖昏驟此聯(lián)謠茲棚汽漫沏孟忌墟甘般鵲命梗末疏瞞賭白垣嗜薦空攆亂彰哈朝靈兆紉聊誡褐靳婪勛獻(xiàn)庫軒氯訖到潘瑤輾煽默柞琴踐卵粹努稈五鍘床痔工弘屠裝切絨壬炊裳枝沂吻咕勾卉婦堆陀窖腑鎳矗惱岳蠕矩輥頃厚迫搓欲患茅套蠅堿霹界余吏戎痕徹贈(zèng)煌株版杯偷岔桑迅磺巨裂煮暗肪銻付惰既隊(duì)須喲班蓉賀