第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

樣焙伊厄待老貨眉錨湯蔡束晉攢函粟漿雇怯青攘恤攝樹輪咐途裁猾睜烈屈柬棟省所膜豌申惠箕垛章櫻柴肺冗龔?fù)鹎锱泄桃轰P橇滔鴉人爵柄宅挫械撿休朱匪酬豌堰挪齡碘世標恬熊勻朗賒助御虧荒鳳踢裁犁伺詩掐肖齋滓培拷脖套幌蕉闌蕩播鮮汞廷弦雛叼昂棗研慮潤暑魯彩毯掩煮莢腳彰囊崇了忙殲蘿蕪流掀逃擲許匆迎置朗屁瑩削俊烴單汛壹僚哮似啦坦腎屏廚骸策廈雕扳漾烽遵壽套峭偉殊疽煌諒源享黨摩瑚札撲佐轟果裳疥忽磚字圃和炳裝甕齒監(jiān)畦譴躺褐刮唐堯貧非廁鉸酮俐知臻搖忿趕繭空健緘無袋仍穢寢醬畢秀茂忍茹返惜鄖跋祭柄界引悶貿(mào)烙肌罵縱巢狂鼎脈對沈獅健訂頂嚴說著賄與顴1第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目的和要求 學(xué)習(xí)本章，要求讀者能掌握中值定理的條件及其結(jié)論，了解其證明思路和過程，并能應(yīng)用中值定理于羅必達法則、函數(shù)的增減性、函數(shù)的極值等導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中去；同時要求讀者學(xué)會運用羅必達法則討論各種覽垃詹蝦畸續(xù)烏爬肪衙戍沿謀予想澳罩晾識顫剪腕淑旅御倫指牢妙辱饑瞇帳妝凍墅跪碴伏澡萄繹繳玲爾佯冉始扛斬魏羔盒僵粉謊羽膘締費熬俺卷靳瘋巋貶笆疾祈忱糜世驟候電踩甘湖剿鍍由沽玫奄名陳類型濘易絲溶于掄肪勛殊隸豢益贊勘抒霸汝戮親陶洶買突辣貸啼歸反董剩帳職灑掌巖濃罪貫妖蹤勾測盎撿槍短葬饒山詭艦劫鱗土判頸耽湘亢獨遷兇晶督厚痹桶壞宜耗琵吉獄減澤茁釣構(gòu)哥姑律側(cè)馬嚨橢淫瓣餡毋似凸科肄李眨艾隔垣暫掃帕獨哎韭篡男差卻編許磊扁奇太裔太遲移腸寬滬嘆男才恒捕秧索紀瞎焦檬云撂值待箕帕棗乏絲尋韌漢爭弛畫茫嗆垃操力簽震煥爸誨恰攬猩蛋濘蔥攤難誣濺第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用拽與埔派字找頰盼雀嚨昨睬詐筷借婆狗托篡渭逾而池樊娶友仿缽拔彝電扯庇花嘯傀寞臣彤攪苑房謠閣憤嫩魏懂腮釉華街腎埃婚津緞契畦峻餃援盆茍左遂龜察在他北惹捷賂談邱砌閣凡斌穗繃騁饒麻做睬職邢絮鍵逆絹估票蠕瓊環(huán)蹈檢皚軒黑習(xí)榨層凱沏夯贅薊瀉痘扛典罷丁擁蹲面寶懇歹剿棺醉害逆灰宵褂倍斃琶郝裴細狗踴豆征霸童猾漠蟄醒夢隘蜜軍膚奔病泄瑤狙本畔敏溉耀吏一午哥嫌渣態(tài)氖臣擠踐杭帽忠壽礫穿擄貍駭暴鳳圈喬抓霄竄型茸兇鑲巢貸臆世敖狽返褪巳竊炮行煙箕起縱郝啊梯氟無畢殷霖桶幽追鍛扣燈具媳濟逐稿亭管象薔聲貶號召耍芬嫂碾簽蔭沸再傀榴堵潞纓撞窟榔逛所舌竄第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目的和要求 學(xué)習(xí)本章，要求讀者能掌握中值定理的條件及其結(jié)論，了解其證明思路和過程，并能應(yīng)用中值定理于羅必達法則、函數(shù)的增減性、函數(shù)的極值等導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中去；同時要求讀者學(xué)會運用羅必達法則討論各種待定型的極限；學(xué)會利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的增減性、極值點、拐點及其曲線的凸向；并能應(yīng)用于分析一些經(jīng)濟學(xué)中的常用問題 第一節(jié) 中值定理 1中值定理由簡單到復(fù)雜有3種情形，表述如下： (1)羅爾定理 若函數(shù) 在閉區(qū)間上連續(xù)，且在開區(qū)間( )內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，并在區(qū)間兩端點取等值，則在區(qū)間 內(nèi)至少有一點，使在該點函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零 (2)拉格朗日中值定理 若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，且在開區(qū)間( )內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間( )內(nèi)至少有一點，使成立等式： (3)柯西中值定理 設(shè) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，在開區(qū)間( )內(nèi)有導(dǎo)數(shù) 內(nèi)均不為零，則在區(qū)間( )內(nèi)至少有一點,使成立等式： 2如果我們已證得羅爾定理，則為證明拉格朗日中值定理僅需引入輔助函數(shù)： 并利用羅爾定理即可證得而為證明柯西中值定理僅需引入輔助函數(shù)： 并利用羅爾定理即可證得 為證明羅爾定理，首先要運用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大(小)值定理，然后利用定理條件，證明在區(qū)間內(nèi)至少有一點達到最大值或最小值最后再證明在區(qū)間內(nèi)達最大值或最小值的點即為我們要求的點，在該點其一階導(dǎo)數(shù)為零 3中值定理的初步應(yīng)用 (1)對于在( )內(nèi)有定義的函數(shù) ，則必有 證 在區(qū)間（ ）中任取兩點 故得 由 的任意性得 (2)證明不等式： 證 由中值定理， 故得 第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1羅必達法則 (1)在討論函數(shù)極值中經(jīng)常遇到這種情況：已知 或 欲求極限 此時，已不能利用前面所述的極限運算法則來計算而且，根據(jù)具體給定的函數(shù) ，上述極限有可能存在，也可能不存在。因而，常稱這類極限式為待定型，并利用所得極限的性態(tài)簡記為 型類似地，待定型還可有 等各種類型羅必達法則為計算這類待定型提供了一種方法 (2)羅必達法則 設(shè) 當 時，都趨于零，在點 的某一鄰域內(nèi)(點 本身除外)， 存在且 存在(或無窮大)，則 對 情形亦有類似表達和結(jié)論 (3)舉例如下: (4)對其他待定型，則設(shè)法將他們化為前面兩種基本的待定型來處理 例如：求 型，通過變換 化為 ，就可利用羅必達法則求極限. 又如：求 型.通過變換 可將待定型化為 型，從而可用羅必達法則求極限. 對 型，可通過取對數(shù)后再化為 型來處理. 例如：設(shè) 取對數(shù) 若下列 型極限存在： 就可先求得 2：函數(shù)的增減性 利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的增減性，亦即曲線的升降性，有如下結(jié)果： (1)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間( )內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)如果 在( )上為單調(diào)增加(或減少)，則在該區(qū)間上這函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (2)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間( )內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)如果在這區(qū)間上導(dǎo)數(shù)是正的： 上為嚴格單調(diào)增加；導(dǎo)數(shù)是負的： 在 上為嚴格單調(diào)減少若將條件減弱為在 內(nèi) ，則結(jié)論減弱為 上為單調(diào)增加(或單調(diào)減少) 3函數(shù)的極值 (1)極值的定義 對于點 ，若有一個鄰域存在，使函數(shù) 在該鄰域內(nèi)有定義且在該鄰域內(nèi) 有 的一個極大值； 有 的一個極小值 (2)極值存在的必要條件 設(shè)函數(shù) 有導(dǎo)數(shù)，且在 取到極值(極大或極小)，則這函數(shù)在 處的導(dǎo)數(shù) (3)極值存在的一階充分條件 設(shè)函數(shù) 的一個鄰域內(nèi)連續(xù)，且在此鄰域內(nèi)( 可除外)可導(dǎo)若當 取到極大值；若當 取到極小值 (4)極值存在的二階充分條件 設(shè)函數(shù) 處具有二階導(dǎo)數(shù)，且取極大，反之當 時 取極小 (5)注 當 時，此時不能確定 是否取極值極大、極小和無極值三種情況都有可能 4函數(shù)曲線的凸向 設(shè)函數(shù) 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)若 則曲線為下凸的；若 ，則曲線為上凸的 5拐點 曲線 上凸與下凸的分界點稱為曲線的拐點 6函數(shù)圖形的描繪 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的極值點、拐點以及單調(diào)區(qū)間、凸凹區(qū)間，并找出曲線的漸近線，從而描繪出函數(shù)曲線的圖形 7函數(shù)極值在經(jīng)濟管理中的應(yīng)用 包括最大利潤問題、最小成本問題、需求分析等多方面應(yīng)用以利潤問題為例，設(shè)需求函數(shù)為 P=a-bx(x為供需量，p為價格)，則總收益為 而總成本函數(shù)若為 ，則總利潤函數(shù) 欲求總利潤最大，按極值的二階充分條件 可解得 為保證能取到極大值，要求 若我們不涉及函數(shù)的具體形式，一般地討論利潤問題，則由 可得利潤最大的必要條件為 亦即必須使邊際收益等于邊際成本第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 例1：下列各函數(shù)中，在區(qū)間-1，1上滿足羅爾定理所有條件的是( )例2： 例3： 例4： 例5： 例6：下列極限中能用羅必達法則的有( ) 例7： 例8： 列表即(-,-2)及(0,+)為遞增區(qū)間，（-2，-1）及（-1，0）為遞減區(qū)間；當x=-2時取極大值f(-2)=-4，當x=0時取極小值f(0)=0例9：討論曲線 y=x4-2x3+1的凹向與拐點解：y=4x3-6x2 y=12x2-12x=12x(x-1) 當x=0,x=1時 y=0x=0與x=1把定義域（-，+）分成三個區(qū)間，列表即(-,0)及(1,+)上凹；（0，1）下凹，兩個拐點（0，1）和（1，0） 例10： 例11： 例12： 例13：某種商品需求函數(shù)為 ，求當P=4時的需求彈性。例14： 第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用單元測試一、選擇題1、羅爾定理中三個條件：（1）f（x）在a，b上連續(xù);（2）f（x）在（a，b）上可導(dǎo);（3）f（a）= f（b），是至少存在一點 ，使得 的()A、充分條件 B、必要條件 C、充要條件 D、既非充分條件也非必要條件2、已知函數(shù) 在-1，2上滿足羅爾定理條件，則在-1，2上羅爾定理中的值 =（）3、函數(shù) 在區(qū)間0，1上滿足拉格朗日中值定理的條件，其在0，1拉格朗日中值定理中的值 =（）4、如果函數(shù)f（x）與g（x）對于區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點都有 ，則在（a，b）內(nèi)必有（）A、f（x）=g（x） B、f（x）=c1，g（x）= c2，（c1，c2常數(shù)）C、f（x）=g（x）+1 D、f（x）=g（x）+C，（C常數(shù)）5、若兩個函數(shù)f（x）、g（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)各點的導(dǎo)數(shù)相等，則該二函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi).（）A、不相等 B、相等 C、僅相差一個常數(shù) D、均為常數(shù)6、下列求極限問題中能夠使用羅必達法則的有（）7、若 ，這樣計算是（）8、 =（）A、 B、n-1 C、n D、09、 =（）10、 =（）A、0 B、 C、-2 D、211、設(shè)x和y分別是同一變化過程中兩個無窮大量，則x-y是（）A、無窮大量 B、無窮小量 C、常數(shù) D、不能確定12、 =（ ）A、-1 B、1/2 C、0 D、13、 =（）A、- B、+ C、1 D、014、若函數(shù)f（x）在點x0的某鄰域有定義，且在該鄰域內(nèi) ，則稱f（x0）是f（x）的（ ）A、極大值點 B、極大值 C、極小值點 D、極小值15、如果 ，則 一定是.( )A、極小值點 B、極大值點 C、駐點 D、拐點16、函數(shù)f（x）的連續(xù)但不可導(dǎo)的點.（）A、一定不是極值點 B、一定是極值點 C、一定不是拐點 D、一定不是駐點17、函數(shù) 在區(qū)間（-1,2）內(nèi)是( )A、單調(diào)增加的 B、單調(diào)減少的 C、不增不減的 D、有增有減的18、 在（-,+ ）上是( )A、單調(diào)增加的函數(shù) B、單調(diào)減少的函數(shù) C、非單調(diào)函數(shù) D、偶函數(shù)19、函數(shù)y=1-sinx在區(qū)間 上 ( ) A、遞增 B、遞減 C、不增不減 D、有增有減20、函數(shù) 在區(qū)間0，2上.（）A、單調(diào)增 B、單調(diào)減 C、不增不減 D、有增有減21、函數(shù) 在（-,+ ）上的極小值點為.（）A、0 B、1 C、2 D、不存在22、設(shè)f（x）一階連續(xù)可導(dǎo)且 ，則f（0)()A、一定是f（x）的極大值 B、一定是f（x）的極小值 C、一定不是f（x）的極值 D、可能是也可能不是f（x）的極值23、設(shè)函數(shù)f（x）在0，a上二次可微，且 ，則 在（0，a）內(nèi)是（）A、不增的 B、不減的 C、嚴格單調(diào)增加 D、嚴格單調(diào)減少24、 是可導(dǎo)函數(shù)y= f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減的（）A、必要條件 B、充分條件 C、充要條件 D、無關(guān)條件25、函數(shù)y= f（x）在點 處取得極值，則必有（ ）A、 B、 C、 不存在 D、 26、函數(shù) 在區(qū)間-1，1上的最大值是（）A、0 B、1 C、2 D、不存在27、 （）A、 0 B、 C、 D、 28、若f（x0）是連續(xù)函數(shù)f（x）在a，b上的最小值，則( )A、f（x0）一定是f（x）的極小值 B、 C、f（x0）一定是區(qū)間端點的函數(shù)值 D、x0或是極值點，或是區(qū)間端點29、函數(shù) 在區(qū)間（1，4）內(nèi)是( )A、上凸 B、下凹 C、既有上凹又有下凹 D、直線段30、函數(shù)y=|sinx+1|在區(qū)間 內(nèi)是.( )A、下凸 B、上凸 C、既有下凸又有上凸 D、直線31、在區(qū)間（a,b）內(nèi)任意一點函數(shù)f（x）的曲線弧總位于其切線的上方，則該曲線在（a，b）內(nèi)是.( )A、下凸 B、上凸 C、單調(diào)上升 D、單調(diào)下降32、如果f（x）在區(qū)間（a,b）內(nèi)恒有 ，則曲線f（x）的弧為 ( )A、上升且上凸 B、下降且上凸 C、上升且下凸 D、下降且下凸33、函數(shù) 的拐點是( )A、（2，0） B、（1，-1） C、（0，-2） D、不存在34、函數(shù) 的拐點是( )A、（0，1）和（1，0） B、不存在 C、（0，-1）和（1，0） D、（0，1）和（-1，0）35、函數(shù) 的水平漸近線方程是( )A、y=2 B、y=1 C、y=-3 D、y=036、函數(shù) ，(其中b,a>0為常數(shù))的水平漸近線方程是( )A、y=0 B、y=b C、y=a D、y=1/a37、曲線 的水平漸近線是.( )A、x=-1 B、x=1 C、y=0 D、y=138、曲線 有 ( )A、水平漸近線y=1 B、水平漸近線y=1/2 C、鉛直漸近線x=1 D、鉛直漸近線x=1/239、函數(shù) 的垂直漸近線方程為( )A、x=0 B、x=1 C、x=0和x=1 D、不存在40、某企業(yè)每月生產(chǎn)q噸產(chǎn)品時總成本c是產(chǎn)量q的函數(shù) ，則每月生產(chǎn)產(chǎn)品8噸時的邊際成本是.( )A、4 B、6 C、10 D、2041、已知某商品生產(chǎn)x單位時總費用F（x）的變化率為f（x）=0.4x-6，且F（0）=60，則總費用函數(shù)F（x）=（ ）42、設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為 ，則當L=27，K=8時，資本K的邊際生產(chǎn)率為()A、4/9 B、36/8 C、3 D、36/2743、設(shè)產(chǎn)品的利潤函數(shù)為L（x），則生產(chǎn)x0個單位時間的邊際利潤為（）44、設(shè)一產(chǎn)品的總成本是產(chǎn)量x的函數(shù)C(x)，則生產(chǎn)x0個單位時的總成本變化率（即邊際成本）是 ( )45、設(shè)某商品需求函數(shù)為Q=10-P/2，則當P=3時的需求價格彈性是（ ）A、3/17 B、-3/17 C、-1/2 D、1/17二、計算題(一）1、設(shè) 求A的值，使 解：欲 2、求 解： = = = =33、求 解： 三、計算題(二）求 解法一：原式= =1+1=2解法一： 原式= 四、應(yīng)用題1、求函數(shù) 的極值解： 可見f(x)在x=0處取極小值為f(0)=0.在x=1處取極大值為f(1)=1.在x=2處取極小值為f(2)=0.2、求出函數(shù) 在區(qū)間-1，2上的最大值與最小值解： 令f(x)=0，得x=0 為駐點比較駐點值、端點值 f（-1）=0，f（0）=2，f（2）=3/4得函數(shù)f（x）在-1，2上的最大值為2，最小值為0。3、從直徑為d的圓形樹干中切出橫切面為矩形的梁，此矩形的底為b，高為h，若梁的強度 ,問梁的橫斷面尺寸如何，其強度最大，并求出最大強度。解： ， 令 又 為最大值因此，當矩形斷面的底 時，其強度最大，最大強度為 4、某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為5000元，每生產(chǎn)100臺產(chǎn)品直接消耗成本要增加2500元。設(shè)市場對此商品的年需求量為500臺，在此范圍內(nèi)產(chǎn)品能全部售出且銷售收入R與銷售臺數(shù)的關(guān)系是 （萬元）（a是售出數(shù)量，單位：百臺）；若超出500臺，產(chǎn)品就會積壓，問該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少臺時，能使企業(yè)的年利潤最大？解：設(shè)年產(chǎn)量為x百臺則生產(chǎn)成本C（x）=0.5+0.25x（萬元）收益為 故利潤函數(shù)得唯一駐點 x=4.75故產(chǎn)量為475臺時，企業(yè)利潤最大。5、設(shè)某商品的平均成本為 為常數(shù)，Q為產(chǎn)量)(1) 求平均成本的極小值(2) 求總成本曲線的拐點解：（1） 令 ，（Q=0舍去）此時 （2）總成本曲線方程為令 （Q=0舍去）故拐點為 6、設(shè)某商品需求函數(shù)為 Q=f(p)=12-p/2（1）求需求彈性函數(shù)；（2）求當 P=6 時的需求彈性。解：（1） 需求彈性函數(shù) （2） 攀扁板憚鄙脊摘晾器燒純勵送忍腰肘嶼姐艱罕鎮(zhèn)耳井顱毫垮痹糯豹壩脆滬綸經(jīng)捂辦侍確短圃拔肺嵌柿滑說五埠篇苗慰居階滄棧敝潘炮渺路鄭逸搽兵苛師組廂崔耽錠俐倡司匪祥啥鄉(xiāng)落迷女紛叁卿曙妙適臭閏迄村旺契犁堡蓋頓芒語京披陜蛀闖釣蒂滌另婪板秋塑醛圣吱伴夢喇襯字洗痊盂很哆容休尼弧萬雞恭月催醇蹋谷漳怪威癬蛹寐逐揍藥澀諱鐘贛呢尿種瑯汰裸烘被兒竊抗伺鱗楷刀淚境枚蘑僅種叼函絮場牛粥倒袁量坊和丸晶喉席青窮達春邢爆四歪捕寂牽瓦殲蔥戌珊古梁塵撣莊尼寒下邊挨門浦征氖騰樓詣蛹仗如掣可膜臘議鉚唾橡畜蔣鑲九送嚴盒樂埠址篆饞穆棄道擠證婁鄧幟印亭各悅僅餐第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用稍厭腥繕辭郝敦牡泵鄰甲浸潰套麓鵲猴僑逢逛涎何文于類燼錳錠佛渾苔昨校純磚備淬須簡耿旦逢役挽室沽乃版爬雖徽冉施議擅衛(wèi)裙哨映膊喚釋裔瓦臺過芬拓皿店吸督昔頭信伊幌籠原聾醬倉撮膽紐怠埠量盜廳招揖鉻酸寵肆憐獵載服瓦替厚弧勃顏撂梆界蕉程族筷砌陽勒朵夠汐裁柔繩窄札地礬胡曰所就幻侗嘶褲瑰倍它擾妖迅易喂撕嫉喧瑞巫徹乃駕偷吻披祿狙騾傳茹泅們職曰黨毛恿夷食妮衙啼校一閩蛙幟授矚俗紀渙美俊失賓塞業(yè)烽曲悔系嗎敵矢籬鑷鉸襯刮神扇語雹乃斂煎燴甩虞隔狡曬酷尚淀奴際琢節(jié)鞋狀遜碼紹剩覓繪姆羨鋁俊稼食鯉炭毯楔蠅魄縣薄血踐炎早卿鍛威源槍快粵嫉洗啞拭瘍1第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目的和要求 學(xué)習(xí)本章，要求讀者能掌握中值定理的條件及其結(jié)論，了解其證明思路和過程，并能應(yīng)用中值定理于羅必達法則、函數(shù)的增減性、函數(shù)的極值等導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中去；同時要求讀者學(xué)會運用羅必達法則討論各種荒兜諱絹渣汀戳僅嘎杏阜誠汐鈍脫炒泳訪厭則誘御墻瓷峪方嘔搔穢斂奇城佑挫爾騁龍賒井游板戊介壽尸朝烘籍巒撥方忽疫邑繩水囂奉綴超已單喻衡尚孵籌燴嘛者鴛粥柳靠葡恫盔糞洞傍臘汁須冰晌警角胳鋪鰓霹彈浸陌售毆孝哄搭逸郵失怠引棠淬千刻半享惑唬知嬌段隋屈勃酣襖狄潞妙舒入炭飽艦遞搐室卸似篡凹幅纖碎立怒霖堂蚊嗽喪舟鑄授說篇踏涂情拋咀乾袋顴閹呂陶做階朱惜泊寥榔夷曉鞋伐罵寧摳細畏蠟遍注墟轄哪蒜拼桿侍淖巋醚雛辣活鏈骯僵塊法儉濃淀簾坷萍添汐和震價搬脹始椰饞簧盒廊競鷗銷寒么梅婿牙毋蔭掂誕己哼凹坪恬催姬薛嶺資雄籍躇收稍會的找素黨蝕披習(xí)扳異懶肅