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金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義:第一編 數(shù)學(xué) 思想方法 第三講 分類討論思想 Word版含解析

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金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義:第一編 數(shù)學(xué) 思想方法 第三講 分類討論思想 Word版含解析

第三講分類討論思想思想方法解讀 考點(diǎn)由概念、法則、公式引起的分類討論典例1(1)20xx福建高考若函數(shù)f(x)(a>0,且a1)的值域是4,),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析因?yàn)閒(x)所以當(dāng)x2時(shí),f(x)4;又函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,),所以解得1<a2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,2答案(1,2(2)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an,其前n項(xiàng)和為Sn,且Sn()2(n2),若bn,且數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn_.解析由題意可得,Sn>0,因?yàn)镾n()2(n2),所以,即數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列,所以n,所以Snn2a1,所以當(dāng)n2時(shí),anSnSn1n2a1(n1)2a1(2n1)a1,當(dāng)n1時(shí),適合上式,所以bn1122,所以Tn2n22n22n.答案四步解決由概念、法則、公式引起的分類討論問(wèn)題第一步:確定需分類的目標(biāo)與對(duì)象即確定需要分類的目標(biāo),一般把需要用到公式、定理解決問(wèn)題的對(duì)象作為分類目標(biāo)第二步:根據(jù)公式、定理確定分類標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)用公式、定理對(duì)分類對(duì)象進(jìn)行區(qū)分第三步:分類解決“分目標(biāo)”問(wèn)題對(duì)分類出來(lái)的“分目標(biāo)”分別進(jìn)行處理第四步:匯總“分目標(biāo)”將“分目標(biāo)”問(wèn)題進(jìn)行匯總,并作進(jìn)一步處理【針對(duì)訓(xùn)練1】在公差為d的等差數(shù)列an中,已知a110,且a1,2a22,5a3成等比數(shù)列(1)求d,an;(2)若d<0,求|a1|a2|a3|an|.解(1)由題意得5a3a1(2a22)2,即5(a12d)a1(2a12d2)2d23d40,解得d1或d4,所以ann11或an4n6.(2)設(shè)數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn,因?yàn)閐<0,所以d1,ann11,則由an0,即n110得n11.所以當(dāng)n11時(shí),an0,n12時(shí),an<0.所以n11時(shí),|a1|a2|a3|an|Snn2n;n12時(shí),|a1|a2|a11|a12|an|a1a2a11a12anS11(SnS11)Sn2S11n2n110.綜上所述,|a1|a2|an|考點(diǎn)由參數(shù)變化引起的分類討論典例220xx江蘇高考已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a,bR)(1)試討論f(x)的單調(diào)性;(2)若bca(實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù)),當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是(,3),求c的值解(1)f(x)3x22ax,令f(x)0,解得x10,x2.當(dāng)a0時(shí),因?yàn)閒(x)3x2>0(x0),所以函數(shù)f(x)在(,)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),x(0,)時(shí),f(x)>0,x時(shí),f(x)<0,所以函數(shù)f(x)在,(0,)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)a<0時(shí),x(,0)時(shí),f(x)>0,x時(shí),f(x)<0,所以函數(shù)f(x)在(,0),上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)由(1)知,函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值為f(0)b,fa3b,則函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(0)fb<0,從而或又bca,所以或設(shè)g(a)a3ac,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是(,3),則在(,3)上g(a)<0,且在上g(a)>0均恒成立,從而g(3)c10,且gc10,因此c1.此時(shí),f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a,因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則x2(a1)x1a0有兩個(gè)異于1的不等實(shí)根,所以(a1)24(1a)a22a3>0,且(1)2(a1)1a0,解得a(,3).綜上c1.1變量或參數(shù)變化時(shí)常見的分類討論(1)解含參數(shù)的不等式時(shí),常按參數(shù)的取值不同分類討論(2)平面解析幾何中,直線點(diǎn)斜式中按斜率k存在和不存在,直線截距式中按截距b0和b0分類討論2利用分類討論思想的注意點(diǎn)(1)分類討論要標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一,層次分明,分類要做到“不重不漏”(2)分類討論時(shí)要根據(jù)題設(shè)條件確定討論的級(jí)別,再確定每級(jí)討論的對(duì)象與標(biāo)準(zhǔn),每級(jí)討論中所分類別應(yīng)做到與前面所述不重不漏,最后將討論結(jié)果歸類合并,其中級(jí)別與級(jí)別之間有嚴(yán)格的先后順序、類別和類別之間沒(méi)有先后;最后整合時(shí)要注意是取交集、并集,還是既不取交集也不取并集只是分條列出【針對(duì)訓(xùn)練2】20xx四川高考設(shè)函數(shù)f(x)ax2aln x,其中aR.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)確定a的所有可能取值,使得f(x)>e1x在區(qū)間(1,)內(nèi)恒成立(e2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))解(1)f(x)2ax(x>0)當(dāng)a0時(shí),f(x)<0,f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞減當(dāng)a>0時(shí),由f(x)0,有x.此時(shí),當(dāng)x時(shí),f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增(2)令g(x),s(x)ex1x.則s(x)ex11.而當(dāng)x>1時(shí),s(x)>0,所以s(x)在區(qū)間(1,)內(nèi)單調(diào)遞增又由s(1)0,有s(x)>0,從而當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0.當(dāng)a0,x>1時(shí),f(x)a(x21)ln x<0.故當(dāng)f(x)>g(x)在區(qū)間(1,)內(nèi)恒成立時(shí),必有a>0.當(dāng)0<a<時(shí),>1.由(1)有f<f(1)0,而g>0,所以此時(shí)f(x)>g(x)在區(qū)間(1,)內(nèi)不恒成立當(dāng)a時(shí),令h(x)f(x)g(x)(x1)當(dāng)x>1時(shí),h(x)2axe1x>x>>0.因此,h(x)在區(qū)間(1,)內(nèi)單調(diào)遞增又h(1)0,所以當(dāng)x>1時(shí),h(x)f(x)g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立綜上,a.考點(diǎn)根據(jù)圖形位置或形狀分類討論典例320xx廣東高考已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1:x2y26x50相交于不同的兩點(diǎn)A,B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo);(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程;(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線L:yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由解(1)圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y24,圓心坐標(biāo)為C1(3,0)(2)由垂徑定理知,C1MAB,故點(diǎn)M在以O(shè)C1為直徑的圓上,即2y2.故線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程是2y2在圓C1:(x3)2y24內(nèi)部的部分,設(shè)AB方程為yk1x,當(dāng)AB與圓C1相切時(shí)(k1)x26x50,由3645(k1)0得k1,代入方程組得x,因此x.即2y2.(3)聯(lián)立解得不妨設(shè)其交點(diǎn)為P1,P2,設(shè)直線L:yk(x4)所過(guò)定點(diǎn)為P(4,0),則kPP1,kPP2.當(dāng)直線L與圓C相切時(shí),解得k.故當(dāng)k時(shí),直線L與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)六類常見的由圖形的位置或形狀變化引起的分類討論(1)二次函數(shù)對(duì)稱軸的變化;(2)函數(shù)問(wèn)題中區(qū)間的變化;(3)函數(shù)圖象形狀的變化;(4)直線由斜率引起的位置變化;(5)圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化;(6)立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變化等【針對(duì)訓(xùn)練3】(1)設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若曲線C上存在點(diǎn)P滿足|PF1|F1F2|PF2|432,則曲線C的離心率等于()A.或 B.或2C.或2 D.或答案A解析不妨設(shè)|PF1|4t,|F1F2|3t,|PF2|2t,其中t0,若該曲線為橢圓,則有|PF1|PF2|6t2a,|F1F2|3t2c,e.若該曲線為雙曲線,則有|PF1|PF2|2t2a,|F1F2|3t2c,e.(2)已知變量x,y滿足的不等式組表示的是一個(gè)直角三角形圍成的平面區(qū)域,則實(shí)數(shù)k()A B.C0 D或0答案D解析不等式組表示的可行域如圖(陰影部分)所示,由圖可知,若要使不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形,只有當(dāng)直線ykx1與直線x0或y2x垂直時(shí)才滿足結(jié)合圖形可知斜率k的值為0或.

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