高中數(shù)學(xué)人教版A版必修一學(xué)案:第一單元 章末復(fù)習(xí)課 Word版含答案
(人教版)精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料章末復(fù)習(xí)課網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建核心歸納1集合的“三性”正確理解集合元素的三性,即確定性、互異性和無序性在集合運(yùn)算中,常利用元素的互異性檢驗(yàn)所得的結(jié)論是否正確,因互異性易被忽略,在解決含參集合問題時(shí)應(yīng)格外注意2集合與集合之間的關(guān)系集合與集合之間的關(guān)系有包含、真包含和相等判斷集合與集合之間的關(guān)系的本質(zhì)是判斷元素與集合的關(guān)系,包含關(guān)系的傳遞性是推理的重要依據(jù)空集比較特殊,它不包含任何元素,是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集解題時(shí),已知條件中出現(xiàn)AB時(shí),不要遺漏A.3集合與集合之間的運(yùn)算并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算,Venn圖與數(shù)軸是集合運(yùn)算的重要工具注意集合之間的運(yùn)算與集合間的關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化,如ABABAABB.4函數(shù)與映射的概念(1)已知A,B是兩個(gè)非空集合,在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下,對(duì)于A中的任意一個(gè)元素x,在B中都有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng),這個(gè)對(duì)應(yīng)叫做從A到B的映射,記作f:AB.若f:AB是從A到B的映射,且B中任一元素在A中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng),則這樣的映射叫做從A到B的一一映射(2)函數(shù)是一個(gè)特殊的映射,其特殊點(diǎn)在于A,B都為非空數(shù)集,函數(shù)有三要素:定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩個(gè)函數(shù)只有當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)5函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)的單調(diào)性主要涉及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式等相關(guān)問題深刻理解函數(shù)單調(diào)性的定義是解答此類問題的關(guān)鍵(2)函數(shù)單調(diào)性的證明根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義分為四個(gè)步驟證明,步驟如下:取值:任取x1,x2D,且x1<x2,得x2x1>0;作差變形:yy2y1f(x2)f(x1),向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形;判斷符號(hào):確定y的符號(hào),當(dāng)符號(hào)不確定時(shí),可以進(jìn)行分類討論;下結(jié)論:根據(jù)定義得出結(jié)論(3)證明函數(shù)單調(diào)性的等價(jià)變形:f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)任意x1<x2,都有f(x1)<f(x2)>0f(x1)f(x2)(x1x2)>0;f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)任意x1<x2,都有f(x1)>f(x2)<0f(x1)f(x2)(x1x2)<0.6函數(shù)的奇偶性判定函數(shù)奇偶性,一是用其定義判斷,即先看函數(shù)f(x)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再檢驗(yàn)f(x)與f(x)的關(guān)系;二是用其圖象判斷,考察函數(shù)的圖象是否關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱去判斷,但必須注意它是函數(shù)這一大前提要點(diǎn)一集合的基本概念解決集合的概念問題的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)研究一個(gè)集合,首先要看集合中的代表元素然后再看元素的限制條件,當(dāng)集合用描述法表示時(shí),注意弄清元素表示的意義是什么(2)對(duì)于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性【例1】集合Mx|ax23x20,aR中只有一個(gè)元素,求a的取值范圍解由題意可知若集合M中只有一個(gè)元素,則方程ax23x20只有一個(gè)根,當(dāng)a0時(shí),方程為3x20,只有一個(gè)根x;當(dāng)a0時(shí),(3)24a(2)0,得a.綜上所述,a的取值范圍是.【訓(xùn)練1】已知集合Am2,2m2m,若3A,則m的值為_解析因?yàn)?A,則m23或2m2m3,當(dāng)m23,即m1時(shí),m22m2m,不符合題意,故舍去;當(dāng)2m2m3,即m1或m,m1不合題意,若m,m22m2m,滿足題意,故m.答案要點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系兩集合間關(guān)系的判斷(1)定義法判斷一個(gè)集合A中的任意元素是否屬于另一集合B,若是,則AB,否則A不是B的子集;判斷另一個(gè)集合B中的任意元素是否屬于第一個(gè)集合A,若是,則BA,否則B不是A的子集;若既有AB,又有BA,則AB.(2)數(shù)形結(jié)合法對(duì)于不等式表示的數(shù)集,可在數(shù)軸上標(biāo)出集合的元素,直觀地進(jìn)行判斷,但要注意端點(diǎn)值的取值【例2】已知集合Ax|2x33x5,Bx|x2m1,若AB,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析解不等式2x33x5得x8,即Ax|x8,因?yàn)锳B,所以2m18,解得m.答案m【訓(xùn)練2】已知集合Ax|,xR,B1,m,若AB,則m的值為()A2B1C1或2D2或解析由,可得解得x2,A2,又B1,m,AB,m2.答案A考查方向要點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算集合基本運(yùn)算的方法及注意點(diǎn)(1)一般來講,集合中的元素若是離散的,則用Venn圖表示;集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù),則用數(shù)軸表示,此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況(2)進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要看集合的組成,并且要對(duì)有的集合進(jìn)行化簡(jiǎn)(3)涉及含字母的集合時(shí),要注意該集合是否可能為空集方向1集合的運(yùn)算【例31】設(shè)全集UxN*|x<6,集合A1,3,B3,5,則U(AB)等于()A1,4B1,5C2,5D2,4解析U1,2,3,4,5,AB1,3,5,所以U(AB)2,4答案D方向2利用集合運(yùn)算求參數(shù)【例32】(1)已知集合A1,3,B1,m,ABA,則m等于()A0或B0或3C1或D1或3(2)設(shè)集合A0,1,集合Bx|x>a,若AB,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa1Ba1Ca0Da0解析(1)由ABA知BA,所以m3或m,若m3,A1,3,B1,3,滿足ABA;若m,即m1或0,當(dāng)m1時(shí),1,不合題意,舍去,當(dāng)m0時(shí),A1,3,0,B1,0,滿足ABA,故選B(2)因?yàn)锳B,所以0B,且1B,所以a1.答案(1)B(2)B【訓(xùn)練3】(1)已知集合AxR|x|2,BxR|x1,則AB等于()AxR|x2BxR|1x2CxR|2x2DxR|2x1(2)設(shè)集合Mx|3x7,Nx|2xk0,若MN,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_解析(1)AxR|x|2xR|2x2,ABxR|2x2xR|x1xR|2x1(2)因?yàn)镹x|2xk0x|x,且MN,所以3k6.答案(1)D(2)k6要點(diǎn)四求函數(shù)的定義域求函數(shù)定義域的類型與方法(1)已給出函數(shù)解析式:函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合(2)實(shí)際問題:求函數(shù)的定義域既要考慮解析式有意義,還應(yīng)考慮使實(shí)際問題有意義(3)復(fù)合函數(shù)問題:若f(x)的定義域?yàn)閍,b,f(g(x)的定義域應(yīng)由ag(x)b解出;若f(g(x)的定義域?yàn)閍,b,則f(x)的定義域?yàn)間(x)在a,b上的值域注意:f(x)中的x與f(g(x)中的g(x)地位相同;定義域所指永遠(yuǎn)是x的范圍【例4】(1)函數(shù)f(x)(2x1)0的定義域?yàn)?)ABCD(2)已知函數(shù)yf(x1)的定義域是1,2,則yf(13x)的定義域?yàn)?)ABC0,1D解析(1)由題意知解得x<1且x,即f(x)的定義域是.(2)由yf(x1)的定義域是1,2,則x12,1,即f(x)的定義域是2,1,令213x1解得0x1,即yf(13x)的定義域?yàn)?,1答案(1)D(2)C【訓(xùn)練4】已知函數(shù)f(x)2x3的值域?yàn)?,5,則它的定義域?yàn)?)A5,5B7,13C1,4D4,1解析可以畫出函數(shù)y2x3的圖象,再根據(jù)圖象來求;還可以運(yùn)用觀察法來求,當(dāng)f(x)5時(shí),x4;當(dāng)f(x)5時(shí),x1,所以定義域?yàn)?,4答案C要點(diǎn)五求函數(shù)的解析式求函數(shù)解析式的題型與相應(yīng)的解法(1)已知形如f(g(x)的解析式求f(x)的解析式,使用換元法或配湊法(2)已知函數(shù)的類型(往往是一次函數(shù)或二次函數(shù),使用待定系數(shù)法)(3)含f(x)與f(x)或f(x)與f,使用解方程組法(4)已知一個(gè)區(qū)間的解析式,求另一個(gè)區(qū)間的解析式,可用奇偶性轉(zhuǎn)移法【例5】(1)已知f(2x3)2x23x,則f(x)_.(2)已知f(x)3f(x)2x1,則f(x)_.解析(1)令2x3t,得x(t3),則f(t)2(t3)2(t3)t2t,所以f(x)x2x.(2)因?yàn)閒(x)3f(x)2x1,以x代替x得f(x)3f(x)2x1,兩式聯(lián)立得f(x)x.答案(1)x2x(2)x【訓(xùn)練5】已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x1)2f(x1)2x17,求f(x)的解析式解設(shè)f(x)axb(a0),則3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab,即ax5ab2x17,不論x為何值都成立,所以解得所以f(x)2x7.要點(diǎn)六函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性應(yīng)用的常見題型(1)用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性(2)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求單調(diào)區(qū)間(3)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性比較大小,解不等式(4)利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求參數(shù)的取值范圍【例6】 已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且f(2).(1)求實(shí)數(shù)m和n的值;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間2,1上的最值解(1)f(x)是奇函數(shù),f(x)f(x),.比較得nn,n0.又f(2),解得m2.因此,實(shí)數(shù)m和n的值分別是2和0.(2)由(1)知f(x).任取x1,x22,1,且x1x2,則f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).2x1x21,x1x20,x1x21,x1x210,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2)函數(shù)f(x)在2,1上為增函數(shù),f(x)maxf(1),f(x)minf(2).【訓(xùn)練6】設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),且滿足f(x)f(x),f(x)在(,0)上單調(diào)遞增,且f(2a2a1)<f(2a24a3),求a的取值范圍解f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(x)f(x),f(x)為偶函數(shù)又f(x)在(,0)上單調(diào)遞增,f(x)在(0,)上單調(diào)遞減又2a2a122>0,2a24a32(a1)21>0,由f(2a2a1)<f(2a24a3)知,2a2a1>2a24a3,得5a>2,a>.a的取值范圍是a>.要點(diǎn)七函數(shù)的圖象及應(yīng)用作函數(shù)圖象的方法(1)描點(diǎn)法求定義域;化簡(jiǎn);列表、描點(diǎn)、連線(2)變換法熟知函數(shù)的圖象的平移、伸縮、對(duì)稱、翻轉(zhuǎn)平移:yf(x) yf(xh);yf(x) yf(x)k.(其中h>0,k>0)對(duì)稱:yf(x)yf(x);yf(x)yf(x);yf(x) yf(x)特別提醒:要利用單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性簡(jiǎn)化作圖【例7】已知函數(shù)f(x)x22|x|a,其中x3,3(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性(2)若a1,試說明函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求出函數(shù)f(x)的值域解(1)因?yàn)槎x域3,3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(x)(x)22|x|ax22|x|af(x),即f(x)f(x),所以f(x)是偶函數(shù)(2)當(dāng)0x3時(shí),f(x)x22x1(x1)22;當(dāng)3x<0時(shí),f(x)x22x1(x1)22.即f(x)根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法,可得函數(shù)的圖象,如圖所示函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為3,1,(1,0),0,1,(1,3f(x)在區(qū)間3,1,0,1上為減函數(shù),在(1,0),(1,3上為增函數(shù)當(dāng)0x3時(shí),函數(shù)f(x)(x1)22的最小值為f(1)2,最大值為f(3)2;當(dāng)3x<0時(shí),函數(shù)f(x)(x1)22的最小值為f(1)2,最大值為f(3)2.故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,2【訓(xùn)練7】對(duì)于任意xR,函數(shù)f(x)表示x3,x,x24x3中的較大者,則f(x)的最小值是_解析首先應(yīng)理解題意,“函數(shù)f(x)表示x3,x,x24x3中的較大者”是指對(duì)某個(gè)區(qū)間而言,函數(shù)f(x)表示x3,x,x24x3中最大的一個(gè)如圖,分別畫出三個(gè)函數(shù)的圖象,得到三個(gè)交點(diǎn)A(0,3),B(1,2),C(5,8)從圖象觀察可得函數(shù)f(x)的表達(dá)式:f(x)f(x)的圖象是圖中的實(shí)線部分,圖象的最低點(diǎn)是點(diǎn)B(1,2),所以f(x)的最小值是2.答案2