人教版 高中數(shù)學(xué) 第二章2.4正態(tài)分布

人教版高中數(shù)學(xué)精品資料 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.4 正態(tài)分布正態(tài)分布 A 級(jí)級(jí) 基礎(chǔ)鞏固基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題一、選擇題 1設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 XN(1，22)，則則 D 12X ( ) A4 B2 C.12 D1 解析：解析：因?yàn)橐驗(yàn)?XN(1，22)，所以所以 D(X)4. 所以所以 D 12X 14D(X)1. 答案：答案：D 2設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布 N(1，21)(10)和和 N(2，22)(20)的密度的密度函數(shù)圖象如圖所示函數(shù)圖象如圖所示，則有則有( ) A12，12 B12，12 C12，12 D12，12 解析：解析： 反映的是正態(tài)分布的平均水平反映的是正態(tài)分布的平均水平，x 是正態(tài)密度曲線是正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸的對(duì)稱軸，由圖可知由圖可知 12； 反映的正態(tài)分布的離散程度反映的正態(tài)分布的離散程度， 越大越大，越分散越分散，曲線越曲線越“矮胖矮胖”， 越小越小，越集中越集中，曲線越曲線越“瘦高瘦高”，由由題圖可知題圖可知 12. 答案：答案：A 3(2015 山東卷山東卷)已知某批零件的長(zhǎng)度誤差已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米單位：毫米)服從正服從正態(tài)分布態(tài)分布 N(0，32)，從中隨機(jī)取一件從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3，6)內(nèi)的內(nèi)的概率為概率為( ) 附：若隨機(jī)變量附：若隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(，2)，則則 P()68.26%，P(22)95.44% A4.56% B13.59% C27.18% D31.74% 解析：解析：由正態(tài)分布的概率公式知由正態(tài)分布的概率公式知 P(33)0.682 6，P(66)0.954 4，故故 P(36)P（66）P（33）20.954 40.682 620.135 913.59%. 答案：答案：B 4在某項(xiàng)測(cè)量中在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果測(cè)量結(jié)果 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(1，2)(0)若若 在在(0，1)內(nèi)取值的概率為內(nèi)取值的概率為 0.4，則則 在在(0，2)內(nèi)取值的概率為內(nèi)取值的概率為( ) A0.9 B0.5 C0.6 D0.8 解析：解析：因?yàn)橐驗(yàn)?服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(1，2)， 所以正態(tài)密度曲線所以正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸是直線的對(duì)稱軸是直線 x1， 因?yàn)橐驗(yàn)?在在(0，1)內(nèi)取值的概率為內(nèi)取值的概率為 0.4， 所以根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)知在所以根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)知在(0，2)內(nèi)取值的概率為內(nèi)取值的概率為 0.8，故選故選D. 答案答案：D 5已知某批材料的個(gè)體強(qiáng)度已知某批材料的個(gè)體強(qiáng)度 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(200，182)，現(xiàn)現(xiàn)從中任取一件從中任取一件， 則取得的這件材料的強(qiáng)度高于則取得的這件材料的強(qiáng)度高于 182 但不高于但不高于 218 的概的概率為率為( ) A0.997 3 B0.682 6 C0.841 3 D0.815 9 解析：解析：由題意知由題意知 200，18，182，218， 由由 P(X)0.682 6，答案應(yīng)選答案應(yīng)選 B. 答案：答案：B 二、填空題二、填空題 6已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布，且落在區(qū)間且落在區(qū)間(0.2，)上的上的概率為概率為 0.5， 那么相應(yīng)的正態(tài)曲線那么相應(yīng)的正態(tài)曲線 f(x)在在 x_時(shí)時(shí)， 達(dá)到最高點(diǎn)達(dá)到最高點(diǎn) 解析：解析：由正態(tài)曲線關(guān)于直線由正態(tài)曲線關(guān)于直線 x 對(duì)稱且其落在區(qū)間對(duì)稱且其落在區(qū)間(0.2，)上的概率為上的概率為 0.5，得，得0.2. 答案：答案：0.2 7已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間(3，1)里的概率和落在區(qū)里的概率和落在區(qū)間間(3，5)里的概率相等里的概率相等，那么這個(gè)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望為那么這個(gè)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望為_ 解析：解析：由題意知區(qū)間由題意知區(qū)間(3，1)與與(3，5)關(guān)于直線關(guān)于直線 x 對(duì)稱對(duì)稱，因因?yàn)閰^(qū)間為區(qū)間(3，1)和區(qū)間和區(qū)間(3，5)關(guān)于關(guān)于 x1 對(duì)稱對(duì)稱，所以正態(tài)分布的數(shù)學(xué)所以正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望為期望為 1. 答案：答案：1 8若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 N(10，2)，P(911)0.4，則則 P(11)_ 解析：解析：由由 P(911)0.4 且正態(tài)曲線以且正態(tài)曲線以 x10 為對(duì)稱軸知為對(duì)稱軸知， P(911)2P(1011)0.4， 即即 P(1011)0.2， 又又 P(10)0.5， 所以所以 P(11)0.50.20.3. 答案：答案：0.3 三、解答題三、解答題 9設(shè)設(shè) XN(1，22)，試求：試求： (1)P(1X3)； (2)P(3X5) 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?XN(1，22)，所以所以 1，2. (1)P(1X3)P(12X12)0.682 6. (2)因?yàn)橐驗(yàn)?P(3X5)P(3X1)， 所以所以 P(3X5)12P(3X5)P(1X3)12P(14X14)P(12X12)12P(14X14)P(12X12)12P(2X2)P(X)12(0.954 40.682 6)0.135 9. 10.已知某地農(nóng)民工年均收入已知某地農(nóng)民工年均收入 (單位：元單位：元)服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布，其密度其密度函數(shù)圖象如圖所示函數(shù)圖象如圖所示 (1)寫出此地農(nóng)民工年均收入的概率密度曲線函數(shù)式；寫出此地農(nóng)民工年均收入的概率密度曲線函數(shù)式； (2)求此地農(nóng)民工年均收入在求此地農(nóng)民工年均收入在 8 0008 500 元的人數(shù)百分比元的人數(shù)百分比 解：解：設(shè)農(nóng)民工年均收入設(shè)農(nóng)民工年均收入 N(，2)， 結(jié)合圖象可知結(jié)合圖象可知 8 000，500. (1)此地農(nóng)民工年均收入的概率密度曲線函數(shù)式此地農(nóng)民工年均收入的概率密度曲線函數(shù)式 P(x)12e（x）2221500 2e（x8 000）225002， x(，) (2)因?yàn)橐驗(yàn)?P(7 5008 000) P(8 0005008 000500) 0.682 6. 所以所以 P(8 0008 500)12P(7 5008 500)0.341 3， 即農(nóng)民工年均收入在即農(nóng)民工年均收入在 8 0008 500 元的人數(shù)占總體的元的人數(shù)占總體的 34.13%. B 級(jí)級(jí) 能力提升能力提升 1以以 (x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間(，x)內(nèi)取值的概率內(nèi)取值的概率，若若隨機(jī)變量隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(，2)，則概率則概率 P(|)等于等于( ) A()() B(1)(1) C 1 D2() 解析：解析：設(shè)設(shè) |，則則 P(|)P(|1)P(11)(1)(1) 答案：答案：B 2據(jù)抽樣統(tǒng)計(jì)據(jù)抽樣統(tǒng)計(jì)，在某市的公務(wù)員考試中在某市的公務(wù)員考試中，考生的綜合評(píng)分考生的綜合評(píng)分 X 服服從正態(tài)分布從正態(tài)分布 N(60，102)，考生共考生共 10 000 人人，若一考生的綜合評(píng)分為若一考生的綜合評(píng)分為80 分分，則該考生的綜合成績(jī)?cè)谒锌忌械拿问堑趧t該考生的綜合成績(jī)?cè)谒锌忌械拿问堑赺名名 解析：解析： 依題意依題意，P(6020X6020)0.954 4，P(X80)12(10.954 4)0.022 8， 故成績(jī)高于故成績(jī)高于 80 分的考生人數(shù)為分的考生人數(shù)為 10 0000.022 8228(人人) 所以該生的綜合成績(jī)?cè)谒锌忌械拿问堑谒栽撋木C合成績(jī)?cè)谒锌忌械拿问堑?229 名名 答案：答案：229 3 有一種精密零件有一種精密零件， 其尺寸其尺寸 X(單位：?jiǎn)挝唬?mm)服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布， 即即 XN(20，4)若這批零件共有若這批零件共有 5 000 個(gè)個(gè) (1)試求這批零件中尺寸為試求這批零件中尺寸為 1822 mm 的零件所占的百分比；的零件所占的百分比； (2)若規(guī)定尺寸為若規(guī)定尺寸為 2426 mm 的零件不合適的零件不合適，則這批零件中不合則這批零件中不合適的零件大約有多少個(gè)？適的零件大約有多少個(gè)？ 解：解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)?XN(20，4)， 所以所以 20，2. 所以所以 18，22. 于是零件尺寸于是零件尺寸 X 為為 1822 mm 的零件所占百分比大約是的零件所占百分比大約是68.26%， (2)3203214，3203226，216，224， 所以零件尺寸所以零件尺寸 X 為為 1426 mm 的百分比大約是的百分比大約是 99.74%，而零而零件尺寸件尺寸 X 為為 1624 mm 的百分比大約是的百分比大約是 95.44%. 所以零件尺寸為所以零件尺寸為 2426 mm 的百分比大約是的百分比大約是99.74%95.44%22.15%. 5 0002.15%107.5， 因此尺寸為因此尺寸為 2426 mm 的零件大約有的零件大約有 107 個(gè)個(gè)