高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線學案 文 北師大版

第六節(jié)拋物線考綱傳真1.了解拋物線的實際背影，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、準線方程).3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.4.了解拋物線的簡單應用(對應學生用書第123頁) 基礎知識填充1拋物線的概念平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的集合叫做拋物線點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線2拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y0x0焦點FFFF離心率e1準線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半徑|PF|x0x0y0y0知識拓展1拋物線y22px(p0)上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|x0，也稱為拋物線的焦半徑2y2ax的焦點坐標為，準線方程為x.3設AB是過拋物線y22px(p0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦長|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)(3)以弦AB為直徑的圓與準線相切(4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點最短的弦基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的集合一定是拋物線()(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線方程是x.()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形()(4)AB為拋物線y22px(p>0)的過焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)若拋物線y4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()ABCD0BM到準線的距離等于M到焦點的距離，又準線方程為y，設M(x，y)，則y1，y.3拋物線yx2的準線方程是()Ay1By2Cx1Dx2Ayx2，x24y，準線方程為y1.4(20xx大同模擬)已知拋物線y22px(p>0)的準線經(jīng)過點(1，1)，則該拋物線焦點坐標為()A(1,0)B(1,0)C(0，1)D(0,1)B拋物線y22px(p>0)的準線為x且過點(1,1)，故1，解得p2，所以拋物線的焦點坐標為(1,0)5(20xx浙江高考)若拋物線y24x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_9設點M的橫坐標為x0，則點M到準線x1的距離為x01，由拋物線的定義知x0110，x09，點M到y(tǒng)軸的距離為9.(對應學生用書第124頁)拋物線的定義及應用(1)(20xx全國卷)已知拋物線C：y2x的焦點為F，點A(x0，y0)是C上一點，|AF|x0，則x0()A1B2C4D8(2)已知拋物線y24x，過焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D，則|AC|BD|的最小值為_ 【導學號：00090304】(1)A(2)2(1)由y2x，知2p1，即p，因此焦點F，準線l的方程為x.設點A(x0，y0)到準線l的距離為d，則由拋物線的定義可知d|AF|.從而x0x0，解得x01.(2)由y24x，知p2，焦點F(1,0)，準線x1. 根據(jù)拋物線的定義，|AF|AC|1，|BF|BD|1.因此|AC|BD|AF|BF|2|AB|2.所以|AC|BD|取到最小值，當且僅當|AB|取得最小值，又|AB|2p4為最小值故|AC|BD|的最小值為422.規(guī)律方法1.凡涉及拋物線上的點到焦點距離，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準線的距離處理如本例充分運用拋物線定義實施轉(zhuǎn)化，使解答簡捷、明快2若P(x0，y0)為拋物線y22px(p>0)上一點，由定義易得|PF|x0；若過焦點的弦AB的端點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為|AB|x1x2p，x1x2可由根與系數(shù)的關系整體求出變式訓練1(1)設P是拋物線y24x上的一個動點，則點P到點A(1,1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值為_(2)若拋物線y22x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，則|PA|PF|取最小值時點P的坐標為_(1)(2)(2,2)(1)如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線是x1，由拋物線的定義知：點P到直線x1的距離等于點P到F的距離于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點P，使點P到點A(1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小連接AF交拋物線于點P，此時最小值為|AF|.(2)將x3代入拋物線方程y22x，得y.2，A在拋物線內(nèi)部，如圖設拋物線上點P到準線l：x的距離為d，由定義知|PA|PF|PA|d，當PAl時，|PA|d最小，最小值為，此時P點縱坐標為2，代入y22x，得x2，點P的坐標為(2,2)拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)(1)點M(5,3)到拋物線yax2的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236y(2)設F為拋物線C：y24x的焦點，曲線y(k>0)與C交于點P，PFx軸，則k()AB1CD2(1)D(2)D(1)將yax2化為x2y.當a>0時，準線y，則36，a.當a<0時，準線y，則6，a.拋物線方程為x212y或x236y.(2)由拋物線C：y24x知p2.焦點F(1,0)又曲線y(k>0)與曲線C交于點P，且PFx軸P(1,2)，將點P(1,2)代入y，得k2規(guī)律方法1.求拋物線的標準方程的方法：(1)求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可(2)拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量2由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點位置、焦點到準線的距離，從而進一步確定拋物線的焦點坐標及準線方程變式訓練2(1)(20xx鄭州模擬)拋物線y22px(p>0)的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且|MF|4|OF|，MFO的面積為4，則拋物線的方程為 () 【導學號：00090305】Ay26xBy28xCy216xDy2(20xx西安模擬)過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點若|AF|3，則AOB的面積為_(1)B(2)(1)設M(x，y)，因為|OF|，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由拋物線定義知x2p，所以xp，所以yp.又MFO的面積為4，所以p4，解得p4(p4舍去)所以拋物線的方程為y28x.(2)如圖，由題意知，拋物線的焦點F的坐標為(1,0)，又|AF|3，由拋物線定義知，點A到準線x1的距離為3，所以點A的橫坐標為2，將x2代入y24x得y28，由圖知點A的縱坐標為y2，所以A(2,2)，所以直線AF的方程為y2(x1)，聯(lián)立直線與拋物線的方程解得或由圖知B，所以SAOB1|yAyB|.直線與拋物線的位置關系角度1直線與拋物線的交點問題(20xx全國卷)在直角坐標系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點M，交拋物線C：y22px(p>0)于點P，M關于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由 解(1)如圖，由已知得M(0，t)，P.又N為M關于點P的對稱點，故N，2分故直線ON的方程為yx，將其代入y22px，整理得px22t2x0, 解得x10，x2.因此H.所以N為OH的中點，即2.5分(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點理由如下：直線MH的方程為ytx，即x(yt).8分代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個公共點，所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點.12分規(guī)律方法1.(1)本題求解的關鍵是求出點N，H的坐標(2)第(2)問將直線MH的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，根據(jù)方程組的解的個數(shù)進行判斷2(1)判斷直線與圓錐曲線的交點個數(shù)時，可直接求解相應方程組得到交點坐標，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定，需注意利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為0.(2)解題時注意應用根與系數(shù)的關系及設而不求、整體代換的技巧角度2與拋物線弦長或中點有關的問題(20xx泰安模擬)已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：yx的一個交點的橫坐標為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點的直線l2與l1的垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|PB|，求FAB的面積解(1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，8)，2分(8)22p8，2p8，拋物線方程為y28x.5分(2)直線l2與l1垂直，故可設直線l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M.6分由得y28y8m0，6432m>0，m>2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.8分由題意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直線l2：xy8，M(8,0).10分故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.12分規(guī)律方法1.拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式2涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體代入”等方法3涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解