高一數(shù)學(xué)人教A版必修四練習(xí)：第二章 平面向量2 階段質(zhì)量評(píng)估 含解析

（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 (本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書(shū)中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂) 一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1下列命題中的真命題是( ) A單位向量都相等 B若 ab，則|a|b| C若|a|b|，則 ab D若|a|b|，則 ab 解析： 只有大小相等和方向相同的向量才是相等向量， 大小不相等的向量一定不是相等向量 答案： C 2設(shè) a(1，2)，b(3，4)，c(3，2)，則(a2b)c( ) A(15，12) B0 C3 D11 解析： a2b(5，6)，(a2b)c3. 答案： C 3已知向量 m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，則 ( ) A4 B3 C2 D1 解析： 因?yàn)?mn(23，3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(mn)(mn)(23，3)(1，1)260，解得 3. 答案： B 4已知點(diǎn) A(1，3)，B(4，1)，則與向量AB同方向的單位向量為( ) A.35，45 B.45，35 C.35，45 D.45，35 解析： AB(3，4)，與其同方向的單位向量 eAB|AB|15(3，4)35，45. 答案： A 5已知 abc0，|a|2，|b|3，|c| 19，則向量 a 與 b 的夾角為( ) A30 B45 C60 D以上都不對(duì) 解析： abc0，c(ab)， c2(ab)2，即|c|2|a|2|b|22|a|b|cosa，b ， 194912cosa，b ， cosa，b12. 又0a，b180，a，b60. 答案： C 6向量BA(4，3)，向量BC(2，4)，則ABC 的形狀為( ) A等腰非直角三角形 B等邊三角形 C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形 解析： ACBCBA(2，1)， ACBC22(1)(4)0，ACBC. 又|AC|BC|， ABC 是直角非等腰三角形 答案： C 7 如圖， M， N 分別是 AB， AC 的一個(gè)三等分點(diǎn)， 且MN(ACAB)成立， 則 ( ) A.12 B.13 C.23 D13 解析： 由MN13BC，且BCACAB，得 13. 答案： B 8已知點(diǎn) A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，則向量AB在CD方向上的投影為( ) A.3 22 B.3 152 C3 22 D3 152 解析： 由已知得AB(2，1)，CD(5，5)，因此AB在CD方向上的投影為ABCD|CD|155 23 22. 答案： A 9兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力 F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們的夾角為 90時(shí)，合力的大小為 20 N，則當(dāng)它們的夾角為 120時(shí)，合力的大小為( ) A40 N B10 2N C20 2 N D. 10 N 解析： 對(duì)于兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力 F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們的夾角為 90，合力的大小為 20 N 時(shí)，由三角形法則可知，這兩個(gè)力的大小都是 10 2 N；當(dāng)它們的夾角為 120時(shí)，由三角形法則可知力的合成構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，因此合力的大小為 10 2 N. 答案： B 10設(shè)|AB|2，|AC|3，BAC60，CD2BC，AExAD(1x)AB，x0，1，則AE在AC上的投影的取值范圍是( ) A0，1 B1，7 C7，9 D9，21 解析： 由AExAD(1x)AB，x0，1，可知 B，D，E 共線，且 E 點(diǎn)在線段 BD上，如圖所示 因?yàn)?E 點(diǎn)在線段 BD 上，所以AE在AC上的投影 d 的取值范圍是|AF|d|AG|.而|AF|AB|cos 602121，|CG|2|CF|2(31)4，|AG|CG|AC|437，所以 d1，7，故選 B. 答案： B 二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上) 11平面向量 a，b 滿足|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，則向量 a，b 的夾角為_(kāi) 解析： (ab)(a2b)|a|2ab2|b|21ab87， ab0， ab.故 a，b 的夾角為2. 答案： 2 12已知向量 a，b 的夾角為 120，|a|1，|b|3，則|5ab|_ 解析： |5ab| |5ab|2 （5ab）2 25a2b210ab 259101312 7. 答案： 7 13已知向量AB與AC的夾角為 120，且|AB|3，|AC|2.若APABAC，且APBC，則實(shí)數(shù) 的值為_(kāi) 解析： BCACAB，由于APBC，所以APBC0，即(ABAC)(ACAB)AB2AC2(1)ABAC94(1)32120，解得 712. 答案： 712 14如圖，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，AB2，ADDC1，P 是線段 BC 上一動(dòng)點(diǎn)， Q 是線段 DC 上一動(dòng)點(diǎn)， DQDC， CP(1)CB， 則AP AQ的取值范圍是_ 解析： 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則 D(0，1)，C(1，1)設(shè) Q(m，n)，由DQDC得，(m，n1)(1，0)，即 m，n1.又 B(2，0)，設(shè) P(s，t)，由CP(1)CB得，(s1，t1)(1)(1，1)，即 s2，t，所以APAQ(2)23，0，1故APAQ0，2 答案： 0，2 三、解答題(本大題共 4 小題，共 50 分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15(本小題滿分 12 分)設(shè)|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值 解析： 方法一 |3a2b|3， 9a212ab4b29. 又|a|b|1，ab13. |3ab|2(3ab)29a26abb2 9613112. |3ab|2 3. 方法二 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2) |a|b|1，x21y21x22y221. 3a2b(3x12x2，3y12y2)， |3a2b| （3x12x2）2（3y12y2）23， x1x2y1y213， |3ab| （3x1x2）2（3y1y2）2 916132 3. 16 (本小題滿分 12 分)如右圖， 在平面直角坐標(biāo)系中， |OA|2|AB|2， OAB23，BC(1， 3) (1)求點(diǎn) B，C 的坐標(biāo)； (2)求證：四邊形 OABC 為等腰梯形 解析： (1)設(shè) B(xB， yB)， 則 xB|OA|AB| cos(OAB)52， yB|AB| sin(OAB)32， OCOBBC52，32(1， 3)32，3 32， B52，32，C32，3 32. (2)證明：連接 OC.OC32，3 32，AB12，32， OC3AB，OCAB. 又|OC|AB|，|OA|BC|2， 四邊形 OABC 為等腰梯形 17(本小題滿分 12 分)已知向量 a，b 不共線，ckab，dab. (1)若 cd，求 k 的值，并判斷 c，d 是否同向； (2)若|a|b|，a 與 b 的夾角為 60，求當(dāng) k 為何值時(shí)，cd. 解析： (1)cd，故 cd， 即 kab(ab) 又 a，b 不共線，則k，1，解得1，k1. 即 cd， 故 c 與 d 反向 (2)cd(kab)(ab)ka2kababb2(k1)a2(1k)|a|2cos 60(k1)a21k2a2. 又 cd，故(k1)a21k2a20. 即(k1)1k20，解得 k1. 18(本小題滿分 14 分)已知 a( 3，1)，b12，32，且存在實(shí)數(shù) k 和 t，使得 xa(t23)b，ykatb，且 xy，試求kt2t的最小值 解析： a( 3，1)，b12，32， ab 3121320. |a|（ 3）2（1）22， |b| 1223221，ab0， ab. xy，a(t23)b(katb)0， 即ka2(t33t)b2(tt2k3k)ab0. kt33t4. kt2t14(t24t3)14(t2)274. 故當(dāng) t2 時(shí)，kt2t有最小值74.