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高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第7章 立體幾何 第7節(jié) 第2課時(shí) 利用空間向量求空間角學(xué)案 理 北師大版

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高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第7章 立體幾何 第7節(jié) 第2課時(shí) 利用空間向量求空間角學(xué)案 理 北師大版

第2課時(shí)利用空間向量求空間角(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第125頁(yè))求異面直線的夾角如圖7­7­15,四面體ABCD中,O是BD的中點(diǎn),CACBCDBD2,ABAD.圖7­7­15(1)求證:AO平面BCD;(2)求異面直線AB與CD夾角的余弦值解(1)證明:連接OC,由CACBCDBD2,ABAD,O是BD的中點(diǎn),知CO,AO1,AOBD.在AOC中,AC2AO2OC2,則AOOC又BDOCO,因此AO平面BCD.(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz,則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,0),D(1,0,0),(1,0,1),(1,0),所以|cos,|.即異面直線AB與CD夾角的余弦值為.規(guī)律方法利用向量法求異面直線夾角的步驟(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系.(2)求出兩直線的方向向量v1,v2.(3)代入公式|cosv1,v2|求解.易錯(cuò)警示:兩異面直線夾角的范圍是,兩向量的夾角的范圍是0,當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí),就是該異面直線的夾角;當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí),其補(bǔ)角才是異面直線的夾角.跟蹤訓(xùn)練(20xx·湖南五市十校3月聯(lián)考)有公共邊的等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直,則異面直線AB和CD夾角的余弦值為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140254】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2.取BC的中點(diǎn)O,連接OA、OD,等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直,OA,OC,OD兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A(0,0,),B(0,1,0),C(0,1,0),D(,0,0),(0,1,),(,1,0),cos,異面直線AB和CD夾角的余弦值為.求直線與平面的夾角(20xx·浙江高考)如圖7­7­16,已知四棱錐P­ABCD,PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PCAD2DC2CB,E為PD的中點(diǎn)圖7­7­16(1)證明:CE平面PAB;(2)求直線CE與平面PBC夾角的正弦值解(1)證明:如圖,設(shè)PA的中點(diǎn)為F,連接EF,F(xiàn)B.因?yàn)镋,F(xiàn)分別為PD,PA的中點(diǎn),所以EFAD且EFAD.又因?yàn)锽CAD,BCAD,所以EFBC且EFBC,所以四邊形BCEF為平行四邊形,所以CEBF.因?yàn)锽F平面PAB,CE平面PAB,所以CE平面PAB.(2)分別取BC,AD的中點(diǎn)M,N.連接PN交EF于點(diǎn)Q,連接MQ.因?yàn)镋,F(xiàn),N分別是PD,PA,AD的中點(diǎn),所以Q為EF的中點(diǎn)在平行四邊形BCEF中,MQCE.由PAD為等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,BCAD,BCAD,N是AD的中點(diǎn)得BNAD.所以AD平面PBN.由BCAD得BC平面PBN,那么平面PBC平面PBN.過(guò)點(diǎn)Q作PB的垂線,垂足為H,連接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以QMH是直線CE與平面PBC的夾角設(shè)CD1.在PCD中,由PC2,CD1,PD得CE,在PBN中,由PNBN1,PB得QH,在RtMQH中,QH,MQ,所以sinQMH.所以,直線CE與平面PBC夾角的正弦值是.規(guī)律方法(1)線面角范圍,向量夾角范圍為0,.(2)線面角的正弦值等于斜線對(duì)應(yīng)向量與平面法向量夾角余弦值的絕對(duì)值.即sin .即斜向量,n為平面法向量.跟蹤訓(xùn)練(20xx·廣州綜合測(cè)試(二)如圖7­7­17 ,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形,BAD60°,EB平面ABCD,F(xiàn)D平面ABCD,EB2FDa.圖7­7­17(1)求證:EFAC;(2)求直線CE與平面ABF夾角的正弦值解(1)證明:連接BD,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以ACBD.因?yàn)镕D平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACFD.因?yàn)锽DFDD,所以AC平面BDF.因?yàn)镋B平面ABCD,F(xiàn)D平面ABCD,所以EBFD.所以B,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共面因?yàn)镋F平面BDFE,所以EFAC(2)法一:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)閥軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D­xyz.可以求得A,B,F(xiàn),C(0,a,0),E.所以(0,a,0),.設(shè)平面ABF的法向量為n(x,y,z),則即令x1,則平面ABF的一個(gè)法向量為n(1,0,1)設(shè)直線CE與平面ABF的夾角為,因?yàn)?,所以sin |cosn,|.所以直線CE與平面ABF夾角的正弦值為.法二:如圖,設(shè)ACBDO,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz.可以求得A,B,C,E,F(xiàn).所以.設(shè)平面ABF的法向量為n(x,y,z),則即令x1,則平面ABF的一個(gè)法向量為n(1,2)設(shè)直線CE與平面ABF夾角為,因?yàn)?,所以sin |cosn,|.所以直線CE與平面ABF夾角的正弦值為.求二面角(20xx·全國(guó)卷)如圖7­7­18,在四棱錐P­ABCD中,ABCD,且BAPCDP90°.圖7­7­18(1)證明:平面PAB平面PAD;(2)若PAPDABDC,APD90°,求二面角A­PB­C的余弦值解(1)證明:由已知BAPCDP90°,得ABAP,CDPD.因?yàn)锳BCD,所以ABPD.又APDPP,所以AB平面PAD.因?yàn)锳B平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD內(nèi)作PFAD,垂足為點(diǎn)F.由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD.以F為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,|為單位長(zhǎng)度建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F­xyz.由(1)及已知可得A,P,B,C,所以,(,0,0),(0,1,0)設(shè)n(x1,y1,z1)是平面PCB的一個(gè)法向量,則即所以可取n(0,1,)設(shè)m(x2,y2,z2)是平面PAB的一個(gè)法向量,則即所以可取m(1,0,1),則cosn,m.所以二面角A­PB­C的余弦值為.規(guī)律方法利用向量計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法:分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量,然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳(鈍)二面角.(2)找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.跟蹤訓(xùn)練(20xx·福州質(zhì)檢)如圖7­7­19(1),在等腰梯形PDCB中,PBDC,PB3,DC1,DPB45°,DAPB于點(diǎn)A,將PAD沿AD折起,構(gòu)成如圖7­7­19(2)所示的四棱錐P­ABCD,點(diǎn)M在棱PB上,且PMMB.(1)(2)圖7­7­19(1)求證:PD平面MAC;(2)若平面PAD平面ABCD,求二面角M­AC­B的余弦值解(1)證明:連接BD交AC于點(diǎn)N,連接MN,依題意知ABCD,ABNCDN,2.PMMB,2,在BPD中,MNDP.又PD平面MAC,MN平面MAC,PD平面MAC(2)平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,PAAD,PA平面PAD,PA平面ABCD.又ADAB,PA,AD,AB兩兩垂直以A為原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz.依題意APAD1,AB2,又PMMB,A(0,0,0),B(0,2,0),P(0,0,1),M,C(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0)PA平面ABCD.取n1(0,0,1)為平面BAC的一個(gè)法向量設(shè)n2(x,y,z)為平面MAC的法向量,則即令x1,則y1,z1,n2(1,1,1)為平面MAC的一個(gè)法向量,cosn1,n2,二面角M­AC­B的余弦值為.

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