大學(xué)物理（上）：第3章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動

1第三章第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動2剛體：剛體：有質(zhì)量、有大小和形狀但不會發(fā)生形變的理有質(zhì)量、有大小和形狀但不會發(fā)生形變的理想物體。想物體。 剛體可以看作是由許許多多剛體可以看作是由許許多多的質(zhì)點所組成的，每一個質(zhì)點的質(zhì)點所組成的，每一個質(zhì)點叫作剛體的一個質(zhì)元。剛體上叫作剛體的一個質(zhì)元。剛體上任意兩個質(zhì)元間的距離在運動任意兩個質(zhì)元間的距離在運動過程中都保持不變。過程中都保持不變。剛體是一個內(nèi)部各質(zhì)點相對位置保持不變的質(zhì)點系。剛體是一個內(nèi)部各質(zhì)點相對位置保持不變的質(zhì)點系。強調(diào)：強調(diào)：剛體也是理想化的模型，是實際物體在一定條剛體也是理想化的模型，是實際物體在一定條件下的抽象。件下的抽象。33.1 3.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述3.1.1 3.1.1 剛體的運動剛體的運動 剛體的平動：剛體的平動：剛體在運動過程中，其剛體在運動過程中，其上任意兩點的連線始終保持平行。上任意兩點的連線始終保持平行。 可以用質(zhì)點動力學(xué)的方法可以用質(zhì)點動力學(xué)的方法來處理剛體的平動問題。來處理剛體的平動問題。剛體的定軸轉(zhuǎn)動：剛體的定軸轉(zhuǎn)動：剛體上各點都繞同剛體上各點都繞同一直線作圓周運動，而直線本身在空一直線作圓周運動，而直線本身在空間的位置保持不動的一種轉(zhuǎn)動。間的位置保持不動的一種轉(zhuǎn)動。這條這條直線稱為直線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。43.1.2 3.1.2 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角量描述定軸轉(zhuǎn)動剛體的角量描述 oPx 根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動剛體的特點，我們用角量根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動剛體的特點，我們用角量來描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動較為方便。來描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動較為方便。 在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，過在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，過O點作一極軸，設(shè)極點作一極軸，設(shè)極軸的正方向是水平向右。軸的正方向是水平向右。 過過P作垂直于轉(zhuǎn)軸的橫截面（轉(zhuǎn)動作垂直于轉(zhuǎn)軸的橫截面（轉(zhuǎn)動平面），轉(zhuǎn)動平面與轉(zhuǎn)軸的交點為平面），轉(zhuǎn)動平面與轉(zhuǎn)軸的交點為O。連接連接OP，OP與極軸之間的夾角為與極軸之間的夾角為 。 質(zhì)點所在的矢徑與質(zhì)點所在的矢徑與x 軸的夾角。軸的夾角。 角位置角位置 ：轉(zhuǎn)動方程：轉(zhuǎn)動方程： = (t)5oPxdtd角速度：角速度：質(zhì)點的角位移質(zhì)點的角位移 ： t時間內(nèi)時間內(nèi)質(zhì)質(zhì)點矢徑轉(zhuǎn)點矢徑轉(zhuǎn)過的角度過的角度 。角加速度角加速度22dtddtd 定軸轉(zhuǎn)動剛體角速度的方向只有兩個，可用正負定軸轉(zhuǎn)動剛體角速度的方向只有兩個，可用正負數(shù)值表示角速度的方向。數(shù)值表示角速度的方向。 角速度是矢量。其方向滿足右手定則：沿質(zhì)點轉(zhuǎn)角速度是矢量。其方向滿足右手定則：沿質(zhì)點轉(zhuǎn)動方向右旋大拇指指向。動方向右旋大拇指指向。 角加速度是矢量，對于定軸轉(zhuǎn)動剛體角加速度是矢量，對于定軸轉(zhuǎn)動剛體可以用正負數(shù)值表示角加速度的方向。可以用正負數(shù)值表示角加速度的方向。強調(diào)：強調(diào)：剛體剛體的定軸轉(zhuǎn)動的定軸轉(zhuǎn)動只能用角量只能用角量描述。描述。6定軸轉(zhuǎn)動剛體上任一點的速度和加速度定軸轉(zhuǎn)動剛體上任一點的速度和加速度 xosRpp路程與角位移之間的關(guān)系：路程與角位移之間的關(guān)系：Rs線速度與角速度的關(guān)系：線速度與角速度的關(guān)系：Rv加速度與角量的關(guān)系：加速度與角量的關(guān)系：dtdvatRvan2,RdtdR,2R勻變速圓周運動的基本公式勻變速圓周運動的基本公式t020021tt)(2020273.2 3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.1 3.2.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 1.1.力對轉(zhuǎn)軸的矩力對轉(zhuǎn)軸的矩FrM 這種情況相當(dāng)于質(zhì)點繞固定點這種情況相當(dāng)于質(zhì)點繞固定點O轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動的情形。動的情形。（1）力垂直于轉(zhuǎn)軸）力垂直于轉(zhuǎn)軸OPdrrFM（2）力與轉(zhuǎn)軸不垂直）力與轉(zhuǎn)軸不垂直FF轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸o rFz轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面 可以把力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的分可以把力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。 平行轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)軸的力矩為零。平行轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)軸的力矩為零。FrM82.力作用線與轉(zhuǎn)軸相交或平行時力對該軸的矩為零；力作用線與轉(zhuǎn)軸相交或平行時力對該軸的矩為零；3.同一個力對不同的轉(zhuǎn)軸的矩不一樣；同一個力對不同的轉(zhuǎn)軸的矩不一樣；4.注意合力矩與合力的矩是不同的概念，不要混淆。注意合力矩與合力的矩是不同的概念，不要混淆。力矩的計算力矩的計算1.研究力對軸的矩時，可用正負號表示力矩的方向。研究力對軸的矩時，可用正負號表示力矩的方向。 計算力對某一轉(zhuǎn)軸的力矩，若力的作用點不固定計算力對某一轉(zhuǎn)軸的力矩，若力的作用點不固定在同一處，則應(yīng)當(dāng)采取分小段的辦法，先計算每一小在同一處，則應(yīng)當(dāng)采取分小段的辦法，先計算每一小段上的作用力產(chǎn)生的矩，再求和。段上的作用力產(chǎn)生的矩，再求和。說明：說明：9例：例：一勻質(zhì)細桿，長為一勻質(zhì)細桿，長為l質(zhì)量為質(zhì)量為m，在摩擦系數(shù)為，在摩擦系數(shù)為 的的水平桌面上轉(zhuǎn)動，求摩擦力的力矩水平桌面上轉(zhuǎn)動，求摩擦力的力矩M阻阻。解：解：桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩因離軸的具體不同而不同阻力矩因離軸的具體不同而不同mlodmdxxx細桿的質(zhì)量密度細桿的質(zhì)量密度lm質(zhì)元質(zhì)量質(zhì)元質(zhì)量dxdm質(zhì)元所受阻力矩：質(zhì)元所受阻力矩：dmgxdM阻細桿受的阻力矩細桿受的阻力矩阻阻dMM221glmgl21lgxdx0102.2.剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律 考慮剛體上某一質(zhì)元考慮剛體上某一質(zhì)元 ，imiiiiamfF 剛體外其他物體對它的合作剛體外其他物體對它的合作用力用力(外力外力)為為 ，剛體上其它質(zhì)，剛體上其它質(zhì)元對它的作用力為元對它的作用力為 ，iFifim對對 用牛頓第二定律：用牛頓第二定律：iniininamfF 法向力作用線通過轉(zhuǎn)軸，力矩為零。法向力作用線通過轉(zhuǎn)軸，力矩為零。itiititamfF 只考慮合外力與內(nèi)力均在轉(zhuǎn)只考慮合外力與內(nèi)力均在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的情形。動平面內(nèi)的情形。 法向：法向：切向：切向：iFifimoz),(itFinFitfinf11itiititamfF切向：切向：兩邊乘以兩邊乘以ri , ,有：有：iitiiitiitramrfrF對所有質(zhì)元的同樣的式子求和，有：對所有質(zhì)元的同樣的式子求和，有：imiFitFirFitfifoz),(iitiiitiitramrfrF)(2iirm表示內(nèi)力矩之和，其值等于零表示內(nèi)力矩之和，其值等于零iitrf表示合外力矩，記作表示合外力矩，記作MiitrF稱為剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量，記作稱為剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量，記作J)(2iirm則上式可簡寫成：則上式可簡寫成：JM 12剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體所受的對于某一固定轉(zhuǎn)動剛體所受的對于某一固定轉(zhuǎn)動軸的合外力矩等于剛體對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體軸的合外力矩等于剛體對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。JM 說明說明: :1. 上式是矢量式（在定軸轉(zhuǎn)動中力矩只有兩個方向）。上式是矢量式（在定軸轉(zhuǎn)動中力矩只有兩個方向）。2. M、J、 是對同一軸而言的。是對同一軸而言的。5. 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量J是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。4. 剛體轉(zhuǎn)動定律的地位與牛頓第二定律相當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動定律的地位與牛頓第二定律相當(dāng)。3. 上式反映了力矩的瞬時效應(yīng)。上式反映了力矩的瞬時效應(yīng)。dtdJJM133.2.2 3.2.2 剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動慣量 iiiJrmJ)(2轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量的分剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。 在（在（SI）中，）中，J J的單位：的單位：kgm2質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：質(zhì)量連續(xù)分布的剛體： dJJdmdm為質(zhì)量元，簡稱質(zhì)元。為質(zhì)量元，簡稱質(zhì)元。其計算方法如下：其計算方法如下：dmr2dldmdsdmdVdm質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布其中其中 、 、 分別為分別為質(zhì)量的線密度、面質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。密度和體密度。14例：例：半徑為半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量J。RMo解：解：dmMdmRJ02分割質(zhì)量元分割質(zhì)量元 dm圓環(huán)上各質(zhì)量元到軸的距離相等，圓環(huán)上各質(zhì)量元到軸的距離相等，MdmR022MR繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為2MRJ 討論：討論：若圓環(huán)繞其直徑軸轉(zhuǎn)動，再求此圓環(huán)的轉(zhuǎn)動若圓環(huán)繞其直徑軸轉(zhuǎn)動，再求此圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。慣量。15oR例例: : 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的均勻圓盤，求對通過盤的均勻圓盤，求對通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。rdrdm2dmrdJ2drr32RdrrdJJ03224Rrdr解：解：2Rm 221mR16例：例：如圖所示，一質(zhì)量為如圖所示，一質(zhì)量為m、長為、長為l的均質(zhì)空心圓柱體的均質(zhì)空心圓柱體（即圓筒圓筒）其內(nèi)、外半徑分別為（即圓筒圓筒）其內(nèi)、外半徑分別為R1和和R2。試求對。試求對幾何軸幾何軸oz的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量J。1R2Rrdrozll )rdr(dVdm,drrl,)RrR( r221則該質(zhì)元的質(zhì)量為厚度為半徑為其長為柱殼形狀的質(zhì)元取一薄圓處在半徑為解：lRRm)(2122圓筒的體密度)RR(l4142221322RRmdrrldmrJ)(212221RRmJ22121, 0mRJRRR若221,mRJRRR若17例：例：求長度為求長度為L，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻細棒的均勻細棒AB的轉(zhuǎn)動慣量。的轉(zhuǎn)動慣量。（1）對于通過棒的一端與棒垂直的軸。）對于通過棒的一端與棒垂直的軸。（2）對于通過棒的中心與棒垂直的軸。）對于通過棒的中心與棒垂直的軸。dmxJA2231mLLdxx02解解（1）細桿為線質(zhì)量分布，單位長度的質(zhì)量為：細桿為線質(zhì)量分布，單位長度的質(zhì)量為：lm331L（2）對于通過棒的中心的軸對于通過棒的中心的軸dmxJc22121mL3121L2)2(LmJJCAoABdmxdxLxoABdmxdx2L2LCx2/2/2LLdxx18平行軸定理平行軸定理式中：式中：JC表示相對通過表示相對通過質(zhì)心質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，的軸的轉(zhuǎn)動慣量，JA表示表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距L/2。 剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量慣量J，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量量JC 加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積。離平方的乘積。JmCJdC2mdJJC剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。2)2(LmJJCA19例：例：計算鐘擺的轉(zhuǎn)動慣量。（已知：擺錘質(zhì)量為計算鐘擺的轉(zhuǎn)動慣量。（已知：擺錘質(zhì)量為m，半徑為半徑為r，擺桿質(zhì)量也為，擺桿質(zhì)量也為m，長度為，長度為2r。）。）rO解：解：擺桿轉(zhuǎn)動慣量：擺桿轉(zhuǎn)動慣量：22134231mrrmJ擺錘轉(zhuǎn)動慣量：擺錘轉(zhuǎn)動慣量：22222219321mrrmmrmdJJC2222166521934mrmrmrJJJ203.2.3 3.2.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用 例例: :一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為m1、半徑為、半徑為R的定滑輪的定滑輪( (當(dāng)作當(dāng)作均勻圓盤均勻圓盤) )上面繞有細繩，繩的一端固定在上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為2的物體而的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體下垂。忽略軸處摩擦，求物體2由靜止下由靜止下落高度落高度h時的速度和此時滑輪的角速度。時的速度和此時滑輪的角速度。解：解：Ra22,21RmJ JTRMgmmma21222122241mmghmRRv mmghmhav1222242定軸定軸0Rhm2繩繩Tm2g對對m1：對對m2：解方程得：解方程得： amTgm22221例：例：兩個勻質(zhì)圓盤，同軸地粘結(jié)在一起，構(gòu)成一個組合輪。小圓兩個勻質(zhì)圓盤，同軸地粘結(jié)在一起，構(gòu)成一個組合輪。小圓盤的半徑為盤的半徑為r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m；大圓盤的半徑；大圓盤的半徑r=2r，質(zhì)量，質(zhì)量m = 2m。組。組合輪可以繞通過其中心且垂直于盤面的光滑水平固定軸合輪可以繞通過其中心且垂直于盤面的光滑水平固定軸o轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動，對對o軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量J=9mr2/2 。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細繩，。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細繩，細繩下端各懸掛質(zhì)量為細繩下端各懸掛質(zhì)量為m的物體的物體A和和B，這一系統(tǒng)從靜止開始運動，這一系統(tǒng)從靜止開始運動,繩與盤無相對滑動且長度不變。已知繩與盤無相對滑動且長度不變。已知r =10cm 。 求：求：（1）組合輪組合輪的角加速度；的角加速度；（2）當(dāng)物體上升當(dāng)物體上升h=0.4m時，組合輪的角速度。時，組合輪的角速度。,ra 2srad3 .10)19(2:rg解得rh:,)2(則為組合輪轉(zhuǎn)過的角度設(shè)121208922srad.)rh(解：解：(1)aTTTTamgmg29)2(2mrTrrT)2( ra amTmgmamgTrm,rm,ABO22例：例：一質(zhì)量為一質(zhì)量為m，長為，長為l 的均質(zhì)細桿，轉(zhuǎn)軸在的均質(zhì)細桿，轉(zhuǎn)軸在O點，距點，距A端端 l/3 處。今使棒從靜止開始由水平位置繞處。今使棒從靜止開始由水平位置繞O點轉(zhuǎn)動，點轉(zhuǎn)動，求：（求：（1）水平位置的角速度和角加速度）水平位置的角速度和角加速度;（2）垂直位）垂直位置時的角速度和角加速度置時的角速度和角加速度。解：解：2mdJJCO222916121mllmml棒受到的重力矩棒受到的重力矩OBACmg任意角度任意角度 ：cos6lmgM lgJMO2cos3,ddJdtdJMddmllmg291cos6有：有：23ddmllmg291cos6dlgdcos23dlgdcos2300, 0sin3lgOBACmg（1）水平位置水平位置 =0即：即：兩邊積分：兩邊積分：解得：解得：lglg232cos3lgsin3（2）垂直位置垂直位置 = /2,3sin3lglg02cos3lg243.3 3.3 定軸轉(zhuǎn)動剛體的功和能定軸轉(zhuǎn)動剛體的功和能1.1.力矩的功力矩的功oPFddsrz0MdA結(jié)論：結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，力矩對轉(zhuǎn)動物體做的剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，力矩對轉(zhuǎn)動物體做的功等于相應(yīng)力矩和角位移的乘積。功等于相應(yīng)力矩和角位移的乘積。剛體在力剛體在力 作用繞軸轉(zhuǎn)過一微小角位移作用繞軸轉(zhuǎn)過一微小角位移d ，F(xiàn)rdFdA| )2cos(rdF|sinrdFdsFsindFrsinMFrsinMddA 力力 使剛體由使剛體由 0轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 時，力矩的功為：時，力矩的功為：F力矩功力矩功25說明：說明：z第第i個質(zhì)元的動能：個質(zhì)元的動能： 2222121rmvmEiiiiki整個剛體的轉(zhuǎn)動動能：整個剛體的轉(zhuǎn)動動能：)21(22rmEEiikik22)(21iirm221J0MdA1.1.力矩功不是新概念，只是力的功的另一種表達方式。力矩功不是新概念，只是力的功的另一種表達方式。2.2.內(nèi)力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所做的功為零。內(nèi)力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所做的功為零。2.2.剛體的動能剛體的動能miiriv263.3.定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理設(shè)在外力矩設(shè)在外力矩 M 的作用下，剛體繞定軸發(fā)生角位移的作用下，剛體繞定軸發(fā)生角位移d 元功：元功：MddA由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律dtdJJMdJdtddJdA有：有：21dJA21222121JJ剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：合外力矩對剛體所做合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。 對上式積分，可得：對上式積分，可得：27mocmgNA0vhdlmgdAsin2)cos1 (2sin20mlmgdlmgAmmghAlhm21)cos1 (代入上式得將例：例： 一長為一長為l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻細長桿的均勻細長桿O A ，可繞通過其一端點，可繞通過其一端點O的水平軸在鉛垂面內(nèi)自由擺動，已知另一端點的水平軸在鉛垂面內(nèi)自由擺動，已知另一端點A過最低點時的速過最低點時的速率為率為v0，桿對通過端點，桿對通過端點O而垂直于桿長的軸的轉(zhuǎn)動慣量而垂直于桿長的軸的轉(zhuǎn)動慣量 J=ml2/3 ，若空氣阻力及軸上的摩擦力都可以忽略不計，求桿擺動時若空氣阻力及軸上的摩擦力都可以忽略不計，求桿擺動時A點升點升高的最大高度。高的最大高度。解：解：軸對桿的支承力軸對桿的支承力N過過O點，其力矩為零。點，其力矩為零。任意角度任意角度 ，重力矩為，重力矩為sin2lmgM gvh320220202121021:lvJJmgh由轉(zhuǎn)動動能定理得284. 4. 剛體的重力勢能剛體的重力勢能iipghmE hc-質(zhì)心的高度質(zhì)心的高度cmghmhmmgiimimchihc結(jié)論：結(jié)論：剛體的重力勢能可按質(zhì)心攜帶總質(zhì)量在重力場剛體的重力勢能可按質(zhì)心攜帶總質(zhì)量在重力場中的勢能來計算。中的勢能來計算。5. 5. 定軸轉(zhuǎn)動剛體的功能原理定軸轉(zhuǎn)動剛體的功能原理質(zhì)點系的功能原理：質(zhì)點系的功能原理：EEEAApk)(非保內(nèi)外 0外A若若 ，EEEApk)(外剛體：剛體：, 0非保內(nèi)A常量0EE有：有：機械能守恒定律機械能守恒定律293.4 3.4 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律 3.4.1 3.4.1 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理 1.1.定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量irPov 以角速度以角速度作定軸轉(zhuǎn)動的剛體內(nèi)取一作定軸轉(zhuǎn)動的剛體內(nèi)取一質(zhì)點質(zhì)點 mi，則其對軸的角動量為：則其對軸的角動量為：rmvmrLiiiiii2 剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)點對定軸的角動量都具剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)點對定軸的角動量都具有相同的方向。有相同的方向。)(2iiirmLL定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量：定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量：)(2iirmJ30剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：JM dtdJdtJd)(dtdLdtdLM結(jié)論：結(jié)論：定軸轉(zhuǎn)動剛體所受的合外力矩定軸轉(zhuǎn)動剛體所受的合外力矩等于剛體的角動量對時間的變化率。等于剛體的角動量對時間的變化率。定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量定理微分形式定理微分形式將將dtdLM兩邊乘以兩邊乘以dt并積分，得：并積分，得：000LLdLMdtLLtt結(jié)論：結(jié)論：作用在剛體上的沖量矩等于在作用時間內(nèi)角動作用在剛體上的沖量矩等于在作用時間內(nèi)角動量的增量。量的增量。定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量定理積分形式定理積分形式2.2.定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理說明：說明：定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定剛體的角動量定理也可以由質(zhì)點理也可以由質(zhì)點系的角動量定理系的角動量定理得到。得到。313.4.2 3.4.2 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律 恒量 JL0M當(dāng)當(dāng)時，則時，則1221LLMdttt剛體對定軸的角動量定理剛體對定軸的角動量定理,dtdLM 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律：定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律：當(dāng)剛體所受的外力當(dāng)剛體所受的外力對轉(zhuǎn)軸的力矩之代數(shù)和為零時，剛體對該轉(zhuǎn)軸的角動對轉(zhuǎn)軸的力矩之代數(shù)和為零時，剛體對該轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變。量保持不變。 注意：注意：角動量守恒定律不僅適用于剛體，同樣也適用角動量守恒定律不僅適用于剛體，同樣也適用于繞定軸轉(zhuǎn)動的任意物體系統(tǒng)。于繞定軸轉(zhuǎn)動的任意物體系統(tǒng)。 強調(diào)：強調(diào)：對定軸轉(zhuǎn)動的剛體，角動量守恒的條件是所受對定軸轉(zhuǎn)動的剛體，角動量守恒的條件是所受的合外力矩為零，而不是沖量矩為零。的合外力矩為零，而不是沖量矩為零。32（1 1）對于定軸轉(zhuǎn)動的剛體，其轉(zhuǎn)動慣量）對于定軸轉(zhuǎn)動的剛體，其轉(zhuǎn)動慣量J J為常數(shù)，為常數(shù)，剛剛體所受合外力矩為零時，角速度體所受合外力矩為零時，角速度將保持不變，剛體將保持不變，剛體保持靜止或勻角速轉(zhuǎn)動保持靜止或勻角速轉(zhuǎn)動。（2 2）對于）對于定軸轉(zhuǎn)動的定軸轉(zhuǎn)動的非剛體，轉(zhuǎn)動慣量非剛體，轉(zhuǎn)動慣量是變化的。角動量守恒，即是變化的。角動量守恒，即J J和和的乘積的乘積保持不變保持不變。J ，J 1.1.物體繞定軸轉(zhuǎn)動時角動量守恒是指轉(zhuǎn)動慣量和角速物體繞定軸轉(zhuǎn)動時角動量守恒是指轉(zhuǎn)動慣量和角速度的乘積不變。度的乘積不變。2. 2. 當(dāng)研究的是質(zhì)點與剛體的碰撞問題時，可以把質(zhì)點和當(dāng)研究的是質(zhì)點與剛體的碰撞問題時，可以把質(zhì)點和剛體看成一個系統(tǒng)，在碰撞期間，由于系統(tǒng)所受的合外剛體看成一個系統(tǒng)，在碰撞期間，由于系統(tǒng)所受的合外力矩為零，所以可對系統(tǒng)應(yīng)用角動量守恒定律。力矩為零，所以可對系統(tǒng)應(yīng)用角動量守恒定律。說明：說明：33例：例：在摩擦系數(shù)為在摩擦系數(shù)為 的的桌面上有桌面上有質(zhì)量為質(zhì)量為m、長度為、長度為l的均勻的均勻細桿，細桿，細桿細桿以初始角速度以初始角速度 0 繞垂直于桿繞垂直于桿的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，問細桿經(jīng)過多長的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，問細桿經(jīng)過多長時間停止轉(zhuǎn)動。時間停止轉(zhuǎn)動。解：解：以細桿為研究對象，受力分析，重力及桌面的支以細桿為研究對象，受力分析，重力及桌面的支持力不產(chǎn)生力矩，只有摩擦力產(chǎn)生力矩。持力不產(chǎn)生力矩，只有摩擦力產(chǎn)生力矩。分割質(zhì)量元分割質(zhì)量元細桿的質(zhì)量密度為：細桿的質(zhì)量密度為：lm/dxdm質(zhì)元受的摩擦力矩質(zhì)元受的摩擦力矩dmgxdM細桿受的摩擦力矩細桿受的摩擦力矩2/02ldMMmgl41olm,0dmxdxx2/l2/l34始末兩態(tài)的角動量為：始末兩態(tài)的角動量為：, 00JL 由角動量定理：由角動量定理：00LLMdttt00041Jmgldtt0212141mlmgltglt30本題也可用運動學(xué)方法求解，由本題也可用運動學(xué)方法求解，由 M=J 和和 = 0+ t， 求出求出 t = - 0/ 。0Lolm,0dmxdxx2/l2/l35o1o 2例：例：人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量J0=60kgm2，伸臂時伸臂時臂長為臂長為1m，收臂時臂長為，收臂時臂長為 0.2m。人站在摩擦。人站在摩擦可不計的自由轉(zhuǎn)動的圓盤中心上，每只手抓有可不計的自由轉(zhuǎn)動的圓盤中心上，每只手抓有質(zhì)量質(zhì)量m=5kg的啞鈴。伸臂時轉(zhuǎn)動角速度的啞鈴。伸臂時轉(zhuǎn)動角速度 1 =3rad/s，求收臂時的角速度，求收臂時的角速度 2 （設(shè)手臂質(zhì)量不（設(shè)手臂質(zhì)量不計）計）。解：解：整個過程合外力矩為零，角動量守恒整個過程合外力矩為零，角動量守恒2211JJ21012mlJJ22022mlJJ2mkg702mkg4 .602112JJ4 .60703)/(5 . 3srad由于轉(zhuǎn)動慣量減小，由于轉(zhuǎn)動慣量減小，角速度增加。角速度增加。36例例 有一長為有一長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1的均勻細棒，靜止平放在光的均勻細棒，靜止平放在光滑水平桌面上，它可繞通過其端點滑水平桌面上，它可繞通過其端點O，且與桌面垂直，且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動。另有一質(zhì)量為的固定光滑軸轉(zhuǎn)動。另有一質(zhì)量為m2 、水平運動的、水平運動的小滑塊，從棒的側(cè)面沿垂直于棒的方向與棒的另一端小滑塊，從棒的側(cè)面沿垂直于棒的方向與棒的另一端A相碰撞，并被棒反向彈回，碰撞時間極短。已知小相碰撞，并被棒反向彈回，碰撞時間極短。已知小滑塊與細棒碰撞前后的速率分別為滑塊與細棒碰撞前后的速率分別為v和和u，則碰撞后棒，則碰撞后棒繞軸轉(zhuǎn)動的角速度繞軸轉(zhuǎn)動的角速度 為多大？為多大？1m2mvuOA.,:碰撞前后角動量守恒矩作用則系統(tǒng)不受外力間摩擦阻力矩對于整個系統(tǒng)不考慮軸解ulmJvlm222131lmJO轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為細棒繞lmmuv12)(3代入上式求得37lmumo解：解：假設(shè)小球碰后瞬時的假設(shè)小球碰后瞬時的速度向上，桿的角速度速度向上，桿的角速度 肯肯定如圖。定如圖。例：例：質(zhì)量質(zhì)量m長長l的均勻細桿可繞過其中點處的水平光滑固的均勻細桿可繞過其中點處的水平光滑固定軸定軸O轉(zhuǎn)動，如果一質(zhì)量為轉(zhuǎn)動，如果一質(zhì)量為m的小球以速度的小球以速度 豎直落到豎直落到棒的一端，發(fā)生彈性碰撞（忽略軸處摩擦）。棒的一端，發(fā)生彈性碰撞（忽略軸處摩擦）。求：碰后求：碰后小球的速度及桿的角速度。小球的速度及桿的角速度。u 以小球以小球+ +細桿組成的系統(tǒng)為研究對象，細桿組成的系統(tǒng)為研究對象，M外外=0 ，系統(tǒng)系統(tǒng)的角動量守恒的角動量守恒 軸處的力無力矩；小球的重力矩與碰撞的內(nèi)力矩軸處的力無力矩；小球的重力矩與碰撞的內(nèi)力矩相比可以忽略，相比可以忽略，v ) 1 (2)121(22lvmmllum38因為彈性碰撞因為彈性碰撞, , 機械能能守恒機械能能守恒)2(21)121(21212222vmmlum聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：,33mmummvlmmum)3(6討論：討論：當(dāng)當(dāng) m 3m時時,v 0（向上）（向上）當(dāng)當(dāng) m =3m時時, v = 0（瞬時靜止）（瞬時靜止）當(dāng)當(dāng) m 3m 時時,v 0（向下）（向下）) 1 (2)121(22lvmmllumlmumov 39例例 如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點，桿的質(zhì)量一點，桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘相等。開始時直桿自與單擺的擺錘相等。開始時直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到高度然下垂，將單擺的擺錘拉到高度h0，令它自靜止?fàn)顟B(tài)，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下下落落, ,于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達到的高度下端達到的高度h。mlhol解解: :碰撞前單擺擺錘的速度為碰撞前單擺擺錘的速度為002ghv 令碰撞后直桿的角速度為令碰撞后直桿的角速度為 ，擺錘，擺錘的速度為的速度為v。2031)(mlJvvml由角動量守恒，有：由角動量守恒，有：40在彈性碰撞過程中機械能也是守恒的在彈性碰撞過程中機械能也是守恒的: :lvvv23,200二式聯(lián)立解得：二式聯(lián)立解得：222021)(21Jvvm按機械能守恒，碰撞后擺錘達到的高度顯然為按機械能守恒，碰撞后擺錘達到的高度顯然為40hh 而桿的質(zhì)心達到的高度滿足而桿的質(zhì)心達到的高度滿足cmghJ2212320hhhc由此可解得由此可解得2031)(mlJvvmlchchh