浙江省中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第五單元四邊形第24課時矩形菱形正方形含近9年中考真題試題

+數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料 20192019 年編年編+ 第一部分第一部分 考點研究考點研究 第五單元第五單元 四邊形四邊形 命題點 1 1 矩形 類型一 矩形的性質(zhì)及判定(臺州 2016.19，溫州 2 考，紹興 2 考) 1. (2010 臺州 9 題 4 分)如圖，矩形ABCD中，ABAD，ABa，AN平分DAB，DMAN于點M，CNAN于點N，則DMCN的值為(用含a的代數(shù)式表示)( ) A. a B. 45a C. 22a D. 32a 第 1 題圖 2. (2016 舟山 9 題 3 分)如圖，矩形ABCD中，AD2，AB3，過點A，C 作相距為 2的平行線段AE，CF，分別交CD，AB于點E，F(xiàn)，則DE的長是( ) 第 2 題圖 A. 5 B. 136 C. 1 D. 56 3. (2017 寧波 12 題 4 分)一個大矩形按如圖方式分割成九個小矩形，且只有標號為和的兩個小矩形為正方形在滿足條件的所有分割中，若知道九個小矩形中n個小矩形的周長，就一定能算出這個大矩形的面積，則n的最小值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第 3 題圖 4. (2014 金華 15 題 4 分)如圖，矩形ABCD中，AB8，點E是AD上的一點，有AE4，BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，連接EF交CD于點G，若G是CD的中點，則BC的長是_ 第 4 題圖 5. (2013 溫州 16 題 5 分)一塊矩形木板，它的右上角有一個圓洞，現(xiàn)設(shè)想將它改造成火鍋餐桌桌面，要求木板大小不變，且使圓洞的圓心在矩形桌面的對角線交點上，木工師傅想到了一個巧妙的辦法，他測量了PQ與圓洞的切點K到點B的距離及相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：cm)后，從點N沿折線NFFM(NFBC，F(xiàn)MAB)切割，如圖所示圖中的矩形EFGH是切割后的兩塊木板拼接成符合要求的矩形桌面示意圖(不重疊， 無縫隙， 不計損耗)， 則CN、AM的長分別是_ 第 5 題圖 6. (2016 臺州 19 題 8 分)如圖，點P在矩形ABCD的對角線AC上，且不與點 A，C重合，過點P分別作邊AB，AD的平行線，交兩組對邊于點E，F(xiàn)和點G，H. (1)求證：PHCCFP； (2)證明四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形，并直接寫出它們面積之間的關(guān)系 第 6 題圖 7. (2009 紹興 22 題 12 分)若從矩形一邊上的點到對邊的視角是直角，則稱該點為直角點例如，如圖的矩形ABCD中，點M在CD邊上，連接AM，BM，AMB90，則點M為直角點 (1)若矩形ABCD一邊CD上的直角點M為中點， 問該矩形的鄰邊具有何種數(shù)量關(guān)系？并說明理由； (2)若點M，N分別為矩形ABCD邊CD，AB上的直角點，且AB4，BC 3，求MN的長 第 7 題圖 8(2017 麗水 24 題 12 分)如圖，在矩形ABCD中，點E是AD上的一個動點，連接BE，作點A關(guān)于BE的對稱點F， 且點F落在矩形ABCD的內(nèi)部， 連接AF，BF，EF， 過點F作GFAF交AD于點G，設(shè)ADAEn. (1)求證：AEGE； (2)當點F落在AC上時，用含n的代數(shù)式表示ADAB的值； (3)若AD4AB，且以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形，求n的值 第 8 題圖 類型二 矩形折疊的相關(guān)計算(臺州 2015.8，紹興 3 考) 9. (2015 臺州 8 題 4 分)如果將長為 6 cm，寬為 5 cm 的長方形紙片折疊一次，那么這條折痕的長不可能是( ) A8 cm B5 2 cm C5.5 cm D1 cm 10. (2014 嘉興 9 題 4 分)如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AD4 cm，點E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點，現(xiàn)將這張紙片折疊，使點B落在EF上的點G處，折痕為AH，若HG延長線恰好經(jīng)過點D，則CD的長為( ) A. 2 cm B. 2 3 cm C. 4 cm D. 4 3 cm 第 10 題圖 11. (2016 紹興 16 題 5 分)如圖，矩形ABCD中，AB4，BC2，E是AB的中點，直線l 平行于直線EC， 且直線 l 與直線EC之間的距離為 2， 點F在矩形ABCD邊上， 將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點A恰好落在直線l上，則DF的長為_ 第 11 題圖 12. (2014 紹興 16 題 5 分)把標準紙一次又一次對開，可以得到均相似的“開紙” ，現(xiàn)在我們在長為 2 2，寬為 1 的矩形紙片中，畫兩個小矩形，使這兩個小矩形的每條邊都與原矩形紙的邊平行，或小矩形的邊在原矩形紙的邊上，且每個小矩形均與原矩形紙相似，然后將它們剪下，則所剪得的兩個小矩形紙片周長之和的最大值是_ 13. (2015 衢州 21 題 8 分)如圖，將矩形ABCD沿DE折疊，使頂點A落在DC上的點A處，然后將矩形展平，沿EF折疊，使頂點A落在折痕DE上的點G處，再將矩形ABCD沿CE折疊，此時頂點B恰好落在DE上的點H處，如圖. (1)求證：EGCH； (2)已知AF 2，求AD和AB的長 第 13 題圖 命題點 2 2 菱形 類型一 菱形的性質(zhì)及相關(guān)計算(杭州 3 考，臺州 4 考，溫州 4 考，紹興 2013.16) 14. (2014 杭州 5 題 3 分)下列命題中，正確的是( ) A. 梯形的對角線相等 B. 菱形的對角線不相等 C. 矩形的對角線不能互相垂直 D. 平行四邊形的對角線可以互相垂直 15. (2015 衢州 8 題 3 分)如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是 24 米，BAD60，則花壇對角線AC的長等于( ) A. 6 3 米 B. 6 米 C. 3 3 米 D. 3 米 第 15 題圖 16. (2015 臺州 9 題 4 分)如圖，在菱形ABCD中，AB8，點E、F分別在AB、AD上，且AEAF，過點E作EGAD交CD于點 G，過點F作FHAB交BC于點H，EG與FH交于點O，當四邊形AEOF與四邊形CGOH的周長之差為 12 時，AE的值為( ) 第 16 題圖 A. 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 5 17. (2012 臺州 10 題 4 分)如圖，菱形ABCD中，AB2，A120，點P、Q、K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PKQK的最小值為( ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 31 第 17 題圖 18. (2017 臺州 10 題 4 分)如圖，矩形EFGH的四個頂點分別在菱形ABCD的四條邊上，BEBF，將AEH，CFG分別沿邊EH，F(xiàn)G折疊，當重疊部分為菱形且面積是菱形ABCD面積的116時，則AEEB為( ) 第 18 題圖 A. 53 B. 2 C. 52 D. 4 19. (2016 杭州 14 題 4 分)在菱形ABCD中，A30，在同一平面內(nèi)，以對角線BD為底邊作頂角為 120的等腰三角形BDE，則EBC的度數(shù)為_ 第 20 題圖 20. (2016 麗水 15 題 4 分)如圖，在菱形ABCD中，過點B作BEAD，BFCD，垂足分別為點E，F(xiàn)，延長BD至G，使得DGBD，連接EG，F(xiàn)G.若AEDE，則EGAB_ 21. (2013 紹興 16 題 5 分)矩形ABCD中，AB4，AD3，P，Q是對角線BD上不重合的兩點，點P關(guān)于直線AD，AB的對稱點分別是點E，F(xiàn)，點Q關(guān)于直線BC，CD的對稱點分別是點G，H，若由點E，F(xiàn)，G，H構(gòu)成的四邊形恰好為菱形，則PQ的長為_ 22. (2015 溫州 16 題 5 分)圖甲是小明設(shè)計的帶菱形圖案的花邊作品，該作品由形如圖乙的矩形圖案拼接而成(不重疊、無縫隙)，圖乙中，ABBC67，EF4 cm，上下兩個陰影三角形的面積之和為 54 cm2，其內(nèi)部菱形由兩組距離相等的平行線交叉得到，則該菱形的周長為_cm. 第 22 題圖 23(2014 杭州 22 題 12 分)菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC4 3，BD4.動點P在線段BD上從點B向點D運動，PFAB于點F，四邊形PFBG關(guān)于BD對稱，四邊形QEDH與四邊形PFBG關(guān)于AC對稱設(shè)菱形ABCD被這兩個四邊形蓋住部分的面積為 S1，未被蓋住部分的面積為S2，BPx. (1)用含x的代數(shù)式分別表示S1，S2； 第 23 題圖 (2)若S1S2，求x的值 類型二 菱形的判定(臺州 2012.22，溫州 2012.19) 第 24 題圖 24. (2014 麗水 7 題 3 分)如圖，小紅在作線段AB的垂直平分線時，是這樣操作的：分別以A，B為圓心，大于線段AB長度一半的長為半徑畫弧，相交于點C，D，則直線CD即為所求連接AC，BC，AD，BD，根據(jù)她的作圖方法可知四邊形ADBC一定是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形 25. (2014 嘉興 20 題 8 分)已知：如圖，在ABCD中，O為對角線BD的中點，過點O的直線EF分別交AD、BC于E、F兩點，連接BE，DF. (1)求證：DOEBOF； (2)當DOE等于多少度時，四邊形BFDE 為菱形？請說明理由 第 25 題圖 命題點 3 3 正方形的性質(zhì)及相關(guān)計算(杭州 2 考，臺州 5 考，溫州 3 考，紹興 3 考) 26. (2016 臺州 9 題 4 分)小紅用次數(shù)最少的對折方法驗證了一條四邊形絲巾的形狀是正方形，她對折了( ) A. 1 次 B. 2 次 C. 3 次 D. 4 次 27. (2014 臺州 9 題 4 分)如圖，F(xiàn)是正方形ABCD的邊CD上的一個動點，BF的垂直平分線交對角線AC于點E，連接BE，F(xiàn)E，則EBF的度數(shù)是( ) A. 45 B. 50 C. 60 D. 不確定 第 27 題圖 28 (2017 溫州 9 題 4 分)四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD， 過各較長直角邊的中點作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH.已知AM為 RtABM較長直角邊，AM2 2EF，則正方形ABCD的面積為( ) 第 28 題圖 A. 12S B. 10S C. 9S D. 8S 29(2017 寧波 11 題 4 分)如圖，四邊形ABCD是邊長為 6 的正方形，點E在邊AB上，BE4，過點E作EFBC，分別交BD，CD于G，F(xiàn)兩點若M，N分別是DG，CE的中點，則MN的長為( ) A. 3 B. 2 3 C. 13 D. 4 第 29 題圖 30(2017 紹興 14 題 5 分)如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點G在對角線BD上，GECD，GFBC，AD1500 m，小敏行走的路線為BAGE，小聰行走的路線為BADEF.若小敏行走的路程為 3100 m， 則小聰行走的路程為_m. 第 30 題圖 31. (2017 臺州 16 題 5 分)如圖，有一個邊長不定的正方形ABCD，它的兩個相對的頂點A，C 分別在邊長為 1 的正六邊形一組平行的對邊上，另外兩個頂點B，D在正六邊形內(nèi)部(包括邊界)，則正方形邊長 a 的取值范圍是_ 第 31 題圖 32(2016 杭州 21 題 10 分)如圖，已知四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形，點E在線段DC上，點A，D，G在同一條直線上，且AD3，DE1，連接AC，CG，AE，并延長AE交CG于點H. (1)求 sinEAC的值； 第 32 題圖 (2)求線段AH的長 33. (2017 杭州 21 題 10 分)如圖， 在正方形ABCD中， 點G在對角線BD上(不與點B，D重合)，GEDC于點E，GFBC于點F，連接AG. (1)寫出線段AG，GE，GF長度之間的等量關(guān)系，并說明理由； (2)若正方形ABCD的邊長為 1，AGF105，求線段BG的長 第 33 題圖 34. (2017 湖州 22 題 10 分)已知正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O. (1)如圖，E，G分別是OB，OC上的點，CE與DG的延長線相交于點F.若DFCE，求證：OEOG； (2)如圖，H是BC上的一點，過點H作EHBC，交線段OB于點E，連接DH交CE于點F，交OC于點 G.若OEOG. 求證：ODGOCE； 當AB1 時，求HC的長 第 34 題圖 答案 1. 1. C 【解析】AN平分DAB，DMAN于點M，CNAN于點N，ADMMDCNCD45， DMcos45CNcos45CD， 在矩形ABCD中，CDABa， DMCNacos4522a.故選 C. 2. 2. D 【解析】如解圖，過點E作EQCF于點Q，則EQ2.設(shè)DEx，則CEDCDE3x，AECF，CQE90，AEQ90，AEDQEC90，AEDDAE90，DAEQEC，在ADE和EQC中，DCQE90ADEQDAEQEC，ADEEQC(ASA)，AEEC3x.在 RtADE中，根據(jù)勾股定理得AD2DE2AE2，即 22x2(3x)2，解得x56.故選 D. 第 2 題解圖 3.3. A 【解析】如解圖，設(shè)矩形的周長為Ln，設(shè)的長分別是a，b，c，的寬為d，和是正方形，和的寬為b和c，L14b，bL14，cL24，大矩形的面積S(abc)(dbc)，觀察圖形可知：L62(ab)，則abL62，同理bdL42，當L2，L4和L6已知時，可以求出大矩形面積acL82，dcL52，當L1，L8和L5已知時，也可以求出大矩形面積所以至少需要知道 3 個小矩形的周長 第 3 題解圖 4. 4. 7 【解析】FH是BE的垂直平分線，EFFB，四邊形ABCD是矩形，DBCD90，F(xiàn)CGD90.又G 是CD的中點，DGCG，DGECGF，EDGFCG(ASA) 由全等三角形對應(yīng)邊相等得DECF，EGFG.設(shè)BCx.在矩形ABCD中，AE4，DEx4，CFDEx4.又EFBFBCCFx(x4)2x4，G是EF的中點，EGEF22x42x2，DGCD2AB2824，在 RtDEG中，由勾股定理得：DE2DG2EG2，即(x4)242(x2)2，解得x7，即BC7. 5. 5. 18 cm，31 cm 【解析】如解圖，延長OK交線段MF于點M，延長PQ交BC于點G，交FN于點N.設(shè)圓孔半徑為r.在 RtKBG中，根據(jù)勾股定理，得BG2KG2BK2，即(13050)2(44r)21002， 解得r16 cm.根據(jù)題意知， 如解圖， 圓心O在矩形EFGH的對角線上，則KN12AB42 cm，OMKMr12CB65 cm.QNKNKQ421626 cm，KMOMr49 cm，CNQGQN442618 cm，AMBCPDKM130504931 cm，綜上所述，CN，AM的長分別是 18 cm、31 cm. 第 5 題解圖 6 6證明：(1)四邊形ABCD是矩形， DCAB，ADBC，DCB90，(1 分) EFAB，GHAD， EFCD，GHBC， 四邊形PFCH是矩形，(2 分) PHCPFC90，PHCF， HCPF， PHCCFP(SAS)；(4 分) (2)四邊形ABCD為矩形， DB90， 又EFABCD，GHADBC， 四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形(6 分) S矩形 PEDHS矩形 PFBG.(8 分) 【解法提示】EFAB， CPFCAB， 在 RtAGP中，AGP90， PGAGtanCAB， 在 RtCFP中，CFP90， CFPFtanCPF， S矩形 PEDHDEEPCFEPPFtanCPFEP， S矩形 PFBGPGPFAGtanCABPFEPPFtanCAB. 又tanCPFtanCAB， S矩形 PEDHS矩形 PFBG. 7 7解：(1)AB2AD.理由如下： 直角點M為CD邊的中點， MDMC， 又ADBC，DC90， ADMBCM(SAS)，(3 分) AMDBMC， AMB90， AMDBMC90， AMDBMC45， DAMAMD45， ADDM， AB2AD；(6 分) (2)如解圖，過點M作MHAB于點H，連接MN， 第 7 題解圖 AMB90， AMDBMC90， AMDDAM90， DAMBMC， 又DC90， ADMMCB， ADMCDMCB，即3MC4MC3， MC1 或 3，(8 分) 點M，N分別為矩形ABCD邊CD，AB上的直角點， ANMC， 當MC1 時，AN1，NH2， MN2MH2NH2( 3)2227， MN 7，(10 分) 當MC3 時，此時點N與點H重合，即MNBC 3， 綜上，MN 7或 3.(12 分) 8 8解：設(shè)AEa，則ADna， (1)由對稱得AEFE， EAFEFA， GFAF， EAFFGAEFAEFG90， FGAEFG， EGEF， AEEG；(3 分) (2)如解圖，當點F落在AC上時， 第 8 題解圖 由對稱得BEAF， ABEBAC90， DACBAC90， ABEDAC， 又BAED90， ABEDAC， ABDAAEDC， ABDC，AB2ADAEna2， AB0，ABna， ADABnanan；(7 分) (3)若AD4AB，則ABn4a， 如解圖，當點F落在線段BC上時，EFAEABa. 第 8 題解圖 此時n4aa， n4. 當點F落在矩形內(nèi)部時，n4， 點F落在矩形的內(nèi)部，點G在AD上， FCGBCD， FCG90， 第 8 題解圖 如解圖，若CFG90，則點F落在AC上，由(2)得ADABn，即4ABABn， n16；(9 分) 若CGF90，則CGDAGF90， FAGAGF90， CGDFAGABE， BAED90， ABEDGC， ABDGAEDC， ABDCDGAE， 即(n4a)2(n2)aa， 解得n184 2，n284 24(不合題意，舍去) 當n16 或n84 2，以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形(12 分) 9. 9. A 【解析】折痕的長不可能超過對角線長由勾股定理得，矩形的對角線長5262 61 cm8 cm，所以折痕的長不可能為 8 cm. 10. 10. B 【解析】點E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點，EFAB，EFBC，EG是DCH的中位線，DGHG，由折疊的性質(zhì)可得AGHABH90，AGHAGD90，在AGH 和AGD中，HGDGAGHAGDAGAG，AGHAGD(SAS)，ADAH，DAGHAG，由折疊的性質(zhì)可得BAHHAG，BAHHAGDAG13BAD30，在 RtABH中，AHAD4，BAH30，HB2，AB2 3，CDAB2 3 cm. 11. 11. 42 2或 2 2 【解析】本題結(jié)合平行線間的距離考查了平面圖形的折疊對稱問題注意，題目只說明兩平行線間的距離，要考慮左側(cè)相距和右側(cè)相距的問題，即分類討論當直線 l 位于CE左側(cè)，與CE距離為 2 時，如解圖所示：EM直線 l，且EM2，記直線 l 與AD交于點G，與CD交于點H，連接EG，E為AB中點，AE2，易證明 RtAEGRtMEG(HL)，即將AEG沿著EG折疊時，點A與M重合，此時 A 點在直線 l 上，又ADAE2，CEB45，CEGH，DGH45，D、M、E 三點共線，則DMDEEM 2 22，DFDG 2DM42 2； 第 11 題解圖 當直線l位于CE右側(cè)，與CE距離為 2 時，如解圖所示：EM直線l，且EM2，同理可證明D、E、M三點共線，AEEM2，點 E 到直線 l 上的點的距離 d2，將矩形折疊后 A 點落在直線l上，只可能與M點重合，此時AEM的平分線所在直線與矩形交點即為點F.易求DEFDFE67.5，DFDE2 2，綜上所述，DF42 2或2 2. 12124 2154 【解析】要使所剪得的兩個小矩形紙片周長之和最大，則這兩個小矩形紙片長與寬的和最大，原矩形的長與寬之比為 2 21，剪得的兩個小矩形中，一個矩形的長為 1，寬為112 224，另外一個矩形的長為 2 2247 24，寬為7 2412 278，所剪得的兩個小矩形紙片周長之和的最大值是 2(1247 2478)4 2154. 1313(1)證明：在矩形ABCD中，ADBC，ABBCDADC90， A點與A點關(guān)于DE所在直線對稱， ADEADE45，ADAD， 四邊形AEAD為正方形， BCADAE，(2 分) CH與BC關(guān)于CE對稱，AE與GE關(guān)于EF對稱， CHBC，AEGE， EGCH；(4 分) (2)解：由折疊性質(zhì)可知：AEFGEF，CEHCEB， AEFGEFCEHCEB180， AEFCEB90， 由(1)知CBEA，AB90， CEBBCE90， AEFBCE， AEFBCE(ASA)， BEAF 2，(6 分) 由折疊性質(zhì)知：FGAF 2， FGD90，F(xiàn)DG45， DGF為等腰直角三角形， DF 2FG2，AD2 2， AE2 2， AB2 2 222 2.(8 分) 1414D 【解析】 選項 正誤 選項分析 A 等腰梯形的對角線相等 B 正方形屬于菱形，且對角線相等 C 正方形屬于矩形，且對角線互相垂直 D 菱形、正方形屬于特殊的平行四邊形，對角線可以互相垂直 15.15.A 【解析】因為菱形花壇的周長為 24 米，所以邊長為 6 米，又AC、BD相互垂直平分，且平分一組對角，如解圖，設(shè)AC、BD相交于點O，則AOB是以AOB為直角的直角三角形，且BAO30，又 cos30OAAB，所以O(shè)A3 3 (米)，故AC6 3 (米) 第 15 題解圖 16. 16. C 【解析】EGAD，F(xiàn)HAB，AEAF，四邊形AEOF是菱形，EGBC，四邊形BEOH是平行四邊形，OHBE，四邊形CGOH也為菱形，4(AEOH)12，AEOH3，AEEB3，又AEEBAB8，兩式相加得2AE83，解得AE5.5. 17. 17. B 【解析】四邊形ABCD是菱形，ADBC，A120，ABC180A18012060， 作點P關(guān)于直線 BD 的對稱點P， 連接PQ， PC， 則PQ的長即為PKQK的最小值，如解圖，當點Q與點C重合，過點C作CPAB時，PKQK的值最小，在 RtBCP中，BCAB2，ABC60，PQCPBCsinABC232 3.故選 B. 第 17 題解圖 18.18. A 【解析】如解圖，由折疊的對稱性可知，AJ，CM，四邊形MNJK和四邊形BENF都是菱形， 則BENE，AEJE， 菱形MNJK與菱形ABCD相似， 且菱形MNJK的面積是菱形ABCD面積的116，(JNAB)2116，JNAB14，設(shè)JNa，ENb，則AB4a，ABAEEBEJENJNENENJN2ENa2b， a2b4a，a23b，AEBEabb53. 第 18 題解圖 1919105或 45 【解析】如解圖，四邊形ABCD是菱形，DAB30，ABC150， ABDDBC75.頂角為120的等腰三角形的底角是30.當點E在ABD內(nèi)時， E1BCE1BDDBC3075105.當點E在DBC內(nèi)時， E2BCDBCE2BD753045.綜上所述，EBC的度數(shù)為 105或45. 第 19 題解圖 20.20.72 【解析】如解圖，延長BE到H，使得EHBE，連接GH，DGBD，DE12GH且DEGH，BEAD，BHGH.設(shè)DEx，AEDE，BEAD，ABBD，四邊形ABCD是菱形，ABAD2x，ABD為等邊三角形，DBE30，GH2DE2x，HB2 3x，EHBE 3x，EG GH2HE2（2x）2（ 3x）2 7x，EGAB7x2x72. 第 20 題解圖 21. 21. 2.8 【解析】如解圖，由軸對稱性質(zhì)可知，PAFPAE2PAB2PAD2(PABPAD)180，點A在菱形EFGH的邊EF上，同理可知，點B、C、D均在菱形EFGH的邊上，APAEAF，點A為EF中點，同理可知，點C為GH中點連接AC交BD于點O，則有AFCG，且AFCG，四邊形ACGF 為平行四邊形，F(xiàn)GAC5，即菱形 EFGH 的邊長等于矩形 ABCD 的對角線長EFFG5，APAEAF，AP12EF2.5，OA12AC2.5，APAO，即APO為等腰三角形過點A作ANBD交BD于點N，則點N為OP的中點，由SABD12ABAD12BDAN，可求得AN2.4，在 RtAON中，由勾股定理得ON OA2AN2 2.522.420.7，OP2ON1.4；同理可求得OQ1.4，PQOPOQ1.41.42.8. 第 21 題解圖 22. 22. 503 【解析】如解圖，菱形的四個頂點分別為M、P、N、Q，連接PQ，MN，設(shè)DEx，則DA2x4，CD67(2x4)，而CDM的CD邊上的高為x42，SMCD1267(2x4)x42542 ，解得x5 或x11(舍去)，DE5，CD12，MCD的CD邊上的高為92，CDM中CD與CD邊上的高的比為 83，CDMPQM，PQM中PQ與BQ邊上的高的比為 83，菱形PNQM的兩條對角線的比為PQMN8643，又MNDE5，PQ203，MP（52）2（103）2256，菱形的周長為2564503 cm. 第 22 題解圖 2323解：(1)設(shè)BPx，當點P在BO上，0 x2 時，如解圖， 第 23 題解圖 四邊形ABCD是菱形， AC4 3，BD4， OA2 3，OB2，tanABOOAOB 3， ABO60， PFAB，BPF為直角三角形， BF12x，F(xiàn)P32x， 則SBPF12BFFP38x2， 四邊形PFBG關(guān)于BD對稱， BPFBPG， 又四邊形QEDH與四邊形PFBG關(guān)于AC對稱， BPFDQE， S14SBPF32x2，(3 分) 又S菱形 ABCD12ACBD8 3， S2S菱形 ABCDS18 332x2，(4 分) 第 23 題解圖 當點P在OD上，2x4 時，如解圖， 由BPx，則BF12x， 又AB2BO4， AF412x， FMtanFAMAF33(412x)， SAFM12AFFM1233(412x)236(412x)2，(7 分) S24SAFM436(412x)22 33(412x)2，(6 分) S1S菱形 ABCDS28 32 33(412x)2.(8 分) (2)解：若S1S2， 當點P在BO上，02(舍)；(10分) 當點P在OD上，24(舍)，x282 6. 綜上所述，當x82 6時，S1S2.(12 分) 2424B 【解析】依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知ACBC，ADBD，又ACAD，所以ACBCADBD，依據(jù)“四條邊都相等的四邊形是菱形”可知四邊形ADBC是菱形故選 B. 2525(1)證明：在ABCD中，O為對角線BD的中點， BODO，EDBFBO， 在EOD和FOB中， EDOOBFDOBOEODFOB， DOEBOF(ASA)；(4 分) (2)解：當DOE90時，四邊形 BFDE 為菱形， 理由：由(1)得DOEBOF， BFDE， 又BFDE， 四邊形BFDE是平行四邊形，(6 分) BODO，EOD90， EBDE， 四邊形BFDE為菱形(8 分) 2626C 【解析】本題只需先說明這個四邊形絲巾是菱形再說明有一個角是直角，從而得出是正方形先沿對角線折疊再折疊，若重合，得是菱形，再展開沿對邊中點折疊，若重合得到一個角是 90，從而可判斷四邊形絲巾是否是正方形故選 C. 2727A 第 27 題解圖 【解析】如解圖，過點E作NGBC，分別交AB、CD于點N、G，則BNEEGF90，點 E是BF的垂直平分線EM上的點，EFEB，點 E 是BCD 平分線上一點，點E到BC和CD的距離相等，即BNEG，RtBNERtEGF(HL)，NBEGEF，NBENEB90，GEFNEB90，BEF90， 又BEEF，EBFEFB45. 2828C 【解析】正方形EFGH的面積為 S，EF S，AM2 2EF，AM2 2S.四邊形PMQE是矩形，PMEQ SFQ，點P是AM的中點，PM12AM 2S，F(xiàn)QPMEF 25 S，MQ 2S S，又BQPM 2S，BMEF S，在 RtAMB中，由勾股定理得AB2AM2BM2(2 2S)2( S)29S，即正方形ABCD的面積為9S. 第 28 題解圖 2929C 【解析】如解圖，過點M作MRDC于點R，過點N作NQDC于點Q，過點M作MPNQ于點P，ABBC6，EF6，又BE4，AEDF2，M 為 DG 的中點，RF12DF1，在NQC和EFC中，EFNQ且N為EC的中點，NQ12EF3，NPNQPQNQMR312，F(xiàn)Q12FC1242，RQMP123，RtMNP中，MN MP2NP2 3222 13. 第 29 題解圖 30304600 【解析】由題意得，BAAGGE3100 m，AB1500 m，AGGE310015001600 m，BD為對角線，DBC45，而GEDC，DGE45，DEG為等腰直角三角形，DEGE，如解圖，過點G作GHAB，易證AGHEFC，AGEF，ABADDEEFABAD(GEAG)300016004600 m. 第30 題解圖 31.31.62a3 3 【解析】四邊形ABCD是正方形，ABa22AC，a的取值范圍與AC的長度直接相關(guān)如解圖，當A，C兩點恰好是正六邊形一組對邊中點時，a的值最小，正六邊形的邊長為 1，AC 3，ABa22AC62；如解圖，連接MN，延長AE，BF交于點G，該六邊形是正六邊形，四邊形 ABCD 是正方形，MNG、ABG、EFG為正三角形，設(shè)AEBFx，則AMBN1x，AGBGAB1xa，GMMN2，BNM60，sinBNMsin60BC2BNa21x32， 3(1x)a， 3(2a)a，解得，a2 3313 3.正方形邊長a的取值范圍是62a3 3. 第 31 題解圖 3232解：(1)由題意知EC2，AE 10， 如解圖，過點E作EMAC于點M， EMC90，易知ACD45， EMC是等腰直角三角形， EM 2， sinEACEMAE55；(4 分) (2)在GDC與EDA中， DGDEGDCEDADCDA， GDCEDA(SAS)， GCDEAD，CGAE 10， 又HECDEA， EHCEDA90， AHGC， SAGC12AGDC12GCAH， 124312 10AH， AH6510.(6 分) 第 32 題解圖 3333解：(1)AG2GE2GF2；(1 分) 第 33 題解圖 理由：如解圖，連接CG，四邊形ABCD是正方形， ADGCDG45，ADCD， DGDG， ADGCDG(SAS)，(2 分) AGCG， 又GEDC，GFBC， ECF90， 四邊形CEGF是矩形，(3 分) CFGE， 在 RtGFC中，由勾股定理得，CG2GF2CF2， AG2GE2GF2；(4 分) (2)如解圖，過點A作AMBD于點M， GFBC，ABGGBC45， BAMBGF45， ABM，BGF都是等腰直角三角形，(6 分) AB1， AMBM22， AGF105， AGM60， tan60AMGM， GM66 ，(8 分) BGBMGM22663 2 66.(10 分) 3434(1)證明：四邊形ABCD是正方形， ACBD，ODOC， DOGCOE90， OECOCE90， DFCE， OECODG90， ODGOCE，(2 分) DOGCOE(ASA)，(3 分) OEOG；(4 分) (2)證明：ODOC，DOGCOE90， 又OEOG， DOGCOE(SAS)(6 分) ODGOCE；(7 分) 解：設(shè)CHx，四邊形ABCD是正方形，AB1， BH1x，DBCBDCACB45， EHBC，BEHEBH45， EHBH1x， ODGOCE， BDCODGACBOCE， HDCECH，(8 分) EHBC， EHCHCD90， CHEDCH，(9 分) EHHCHCCD， HC2EHCD，得x2x10， 解得x1512，x2 512(舍去)， HC512.(10 分)