高三數學文一輪備考 第8章第8節(jié)圓錐曲線的綜合問題

+2019年數學高考教學資料+高考真題備選題庫第8章 平面解析幾何第8節(jié) 圓錐曲線的綜合問題考點 直線與圓錐曲線的位置關系1（2013安徽，13分）已知橢圓C：1(a>b>0)的焦距為4，且過點P(，)(1)求橢圓C的方程；(2)設Q(x0，y0)(x0y00)為橢圓C上一點過點Q作x軸的垂線，垂足為E.取點A(0,2)，連接AE.過點A作AE的垂線交x軸于點 D點G是點D關于y軸的對稱點，作直線QG.問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由解：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質，直線和橢圓的位置關系等基礎知識，考查數形結合思想、邏輯推理能力及運算求解能力(1)因為焦距為4，所以a2b24.又因為橢圓C過點P(，)，所以1，故a28，b24.從而橢圓C的方程為1.(2)由題意，知E點坐標為(x0,0)設D(xD,0)，則(x0，2)，(xD，2)由ADAE知，0，即xDx080.由于x0y00，故xD.因為點G是點D關于y軸的對稱點，所以點G.故直線QG的斜率kQG.又因Q(x0，y0)在橢圓C上，所以x2y8.從而kQG.故直線QG的方程為y.將代入橢圓C方程，得(x2y)x216x0x6416y0.再將代入，化簡得x22x0xx0，解得xx0，yy0.即直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點2（2013北京，14分）直線ykxm(m0)與橢圓W：y21相交于A，C兩點，O是坐標原點(1)當點B的坐標為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時，求AC的長；(2)當點B在W上且不是W的頂點時，證明：四邊形OABC不可能為菱形解：本題主要考查直線與橢圓的位置關系、函數與方程的思想，意在考查考生的運算求解能力、轉化與化歸能力、數形結合能力(1)因為四邊形OABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分所以可設A，代入橢圓方程得1，即t.所以|AC|2.(2)證明：假設四邊形OABC為菱形因為點B不是W的頂點，且ACOB，所以k0.由消去y并整理得(14k2)x28kmx4m240.設A(x1，y1)，C(x2，y2)，則，km.所以AC的中點為M.因為M為AC和OB的交點，且m0，k0，所以直線OB的斜率為.因為k1，所以AC與OB不垂直所以OABC不是菱形，與假設矛盾所以當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形3（2013湖南，13分）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：y21的左、右焦點，F(xiàn)1，F(xiàn)2關于直線xy20的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點(1)求圓C的方程；(2)設過點F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a，b.當ab最大時，求直線l的方程解：本題主要考查橢圓的幾何性質、圓的方程、弦長和弦長最值的求解，意在考查考生的計算能力、數據處理能力和轉化能力(1)由題設知，F(xiàn)1，F(xiàn)2的坐標分別為(2,0)，(2,0)，圓C的半徑為2，圓心為原點O關于直線xy20的對稱點設圓心的坐標為(x0，y0)，由解得所以圓C的方程為(x2)2(y2)24.(2)由題意，可設直線l的方程為xmy2，則圓心到直線l的距離d.所以b2.由得(m25)y24my10.設l與E的兩個交點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1y2，y1y2.于是a.從而ab2.當且僅當，即m時等號成立故當m時，ab最大，此時，直線l的方程為xy2或xy2，即xy20或xy20.4（2013江西，13分）橢圓C：1(a>b>0)的離心率e，ab3.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2mk為定值解：本題主要考查利用待定系數法求橢圓的方程，考查直線、橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系，考查函數與方程思想、數形結合思想，旨在考查推理論證能力與理性思維能力(1)因為e，所以ac，bc.代入ab3得，c，a2，b1.故橢圓C的方程為y21.(2)證明：法一：因為B(2,0)，P不為橢圓頂點，則直線BP的方程為yk(x2)，把代入y21，解得P.直線AD的方程為：yx1.與聯(lián)立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三點共線知，解得N.所以MN的斜率為m，則2mkk(定值)法二：設P(x0，y0)(x00，2)，則k，直線AD的方程為：y(x2)，直線BP的方程為：y(x2)，直線DP的方程為：y1x，令y0，由于y01，可得N聯(lián)立解得M，因此MN的斜率為m，所以2mk(定值)5（2013廣東，14分）已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F(0，c)(c0)到直線l：xy20的距離為，設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(1)求拋物線C的方程；(2)當點P(x0，y0)為直線l上的定點時，求直線AB的方程；(3)當點P在直線l上移動時，求|AF|BF|的最小值解：本題主要考查點到直線距離公式的運用、直線與圓錐曲線的位置關系及解析幾何中的最值問題，意在考查考生運用數形結合思想、函數與方程思想解決問題的能力(1)拋物線C的焦點F(0，c)(c0)到直線l：xy20的距離為，得c1，F(xiàn)(0,1)，即拋物線C的方程為x24y.(2)設切點A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x24y得yx，切線PA：yy1x1(xx1)，有yx1xxy1，而x4y1，即切線PA：yx1xy1，同理可得切線PB：yx2xy2.兩切線均過定點P(x0，y0)，y0x1x0y1，y0x2x0y2，由以上兩式知點A，B均在直線y0xx0y上，直線AB的方程為y0xx0y，即yx0xy0.(3)設點P的坐標為(x，y)，由xy20，得xy2，則|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1.由得y2(2yx2)yy20，有y1y2x22y，y1y2y2，|AF|BF|y2x22y1y2(y2)22y122，當y，x時，即P時，|AF|BF|取得最小值.6（2013遼寧，12分）如圖，拋物線C1：x24y，C2：x22py(p0)點M(x0，y0)在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點為A，B(M為原點O時，A，B重合于O)當x01時，切線MA的斜率為.(1)求p的值；(2)當M在C2上運動時，AB中點N的軌跡方程(A，B重合于O時，中點為O.)解：本題主要考查拋物線的標準方程，求導運算、直線的點斜式方程，以及求軌跡方程，意在考查考生利用導數知識解決圓錐曲線問題的能力，以及處理直線與圓錐曲線的位置關系的熟練程度和運算化簡能力(1)因為拋物線C1：x24y上任意一點(x，y)的切線斜率為y，且切線MA的斜率為，所以A點坐標為.故切線MA的方程為y(x1).因為點M(1，y0)在切線MA及拋物線C2上，于是y0(2)，y0.由得p2.(2)設N(x，y)，A，B，x1x2，由N為線段AB中點知x，y.切線MA，MB的方程為y(xx1)，y(xx2).由得MA，MB的交點M(x0，y0)的坐標為x0，y0.因為點M(x0，y0)在C2上，即x4y0，所以x1x2.由得x2y，x0.當x1x2時，A，B重合于原點O，AB中點N為O，坐標滿足x2y.因此AB中點N的軌跡方程為x2y.7（2012遼寧，5分）已知P，Q為拋物線x22y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為()A1B3C4 D8解析：因為P，Q兩點的橫坐標分別為4，2，且P，Q兩點都在拋物線yx2上，所以P(4,8)，Q(2,2)因為yx，所以kPA4，kQA2，則直線PA，QA的方程聯(lián)立得，即，可得A點坐標為(1，4)答案：C8（2010山東，5分）已知拋物線y22px(p0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為()Ax1Bx1Cx2 Dx2解析：拋物線的焦點F(，0)，所以過焦點且斜率為1的直線方程為yx，即xy，將其代入得：y22px2p(y)2pyp2，所以y22pyp20，所以p2，所以拋物線的方程為y24x，準線方程為x1.答案：B9（2012新課標全國，12分）設拋物線C：x22py(p0)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(1)若BFD90，ABD的面積為4，求p的值及圓F的方程；(2)若A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值解：(1)由已知可得BFD為等腰直角三角形，|BD|2p，圓F的半徑|FA|p.由拋物線定義可知A到l的距離d|FA|p.因為ABD的面積為4，所以|BD|d4，即2pp4，解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1)，圓F的方程為x2(y1)28.(2)因為A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，所以AB為圓F的直徑，ADB90.由拋物線定義知|AD|FA|AB|，所以ABD30，m的斜率為或.當m的斜率為時，由已知可設n：yxb，代入x22py得x2px2pb0.由于n與C只有一個公共點，故p28pb0，解得b.因為m的縱截距b1，3，所以坐標原點到m，n距離的比值為3.當m的斜率為時，由圖形對稱性可知，坐標原點到m，n距離的比值為3.10（2012廣東，14分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：1(a>b>0)的左焦點為F1(1,0)，且點P(0,1)在C1上(1)求橢圓C1的方程；(2)設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y24x相切，求直線l的方程解：(1)根據橢圓的左焦點為F1(1,0)，知a2b21，又根據點P(0,1)在橢圓上，知b1，所以a，所以橢圓C1的方程為y21.(2)因為直線l與橢圓C1和拋物線C2都相切，所以其斜率存在且不為0，設直線l的方程為ykxm(k0)，代入橢圓方程得(kxm)21，即(k2)x22kmxm210，由題可知此方程有唯一解，此時4k2m24(k2)(m21)0，即m22k21.把ykxm(k0)代入拋物線方程得y2ym0，由題可知此方程有唯一解，此時1mk0，即mk1.聯(lián)立得解得k2，所以或所以直線l的方程為yx或yx.11（2012北京，14分）已知橢圓C：1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0)，離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當AMN的面積為時，求k的值解：(1)由題意得解得b，所以橢圓C的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設點M，N的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|.又因為點A(2,0)到直線yk(x1)的距離d，所以AMN的面積為S|MN| d.由，化簡得7k42k250，解得k1.12（2012湖南，13分）在直角坐標系xOy中，已知中心在原點，離心率為的橢圓E的一個焦點為圓C：x2y24x20 的圓心(1)求橢圓E的方程；(2)設P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線l1，l2.當直線l1，l2都與圓C相切時，求P的坐標解：(1)由x2y24x20得(x2)2y22，故圓C的圓心為點(2,0)從而可設橢圓E的方程為1(a>b>0)，其焦距為2c.由題設知c2，e.所以a2c4，b2a2c212.故橢圓E的方程為1.(2)設點P的坐標為(x0，y0)，l1，l2的斜率分別為k1，k2，則l1，l2的方程分別為l1：yy0k1(xx0)，l2：yy0k2(xx0)，且k1k2，由l1與圓C：(x2)2y22相切得，即(2x0)22k2(2x0)y0k1y20.同理可得(2x0)22k2(2x0)y0k2y20.從而k1，k2是方程(2x0)22k22(2x0)y0ky20的兩個實根，于是且k1k2.由得5x8x0360，解得x02，或x0.由x02得y03；由x0得y0，它們均滿足式故點P的坐標為(2,3)，或(2，3)，或(，)，或(，)13.（2011山東，14分）(本小題滿分14分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：y21.如圖所示，斜率為k(k>0)且不過原點的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x3于點D(3，m)()求m2k2的最小值；()若|OG|2|OD|OE|，()求證：直線l過定點；()試問點B，G能否關于x軸對稱？若能，求出此時ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由解：()設直線l的方程為ykxt(k>0)，由題意，t>0.由方程組得(3k21)x26ktx3t230.由題意>0，所以3k21>t2.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韋達定理得x1x2，所以y1y2.由于E為線段AB的中點，因此xE，yE，此時kOE.所以OE所在直線方程為yx，又由題設知D(3，m)，令x3，得m，即mk1，所以m2k22mk2，當且僅當mk1時上式等號成立，此時由>0得0<t<2，因此當mk1且0<t<2時，m2k2取最小值2.()()證明：由()知OD所在直線的方程為yx，將其代入橢圓C的方程，并由k>0，解得G(，)又E(，)，D(3，)，由距離公式及t>0得|OG|2()2()2，|OD|，|OE|，由|OG|2|OD|OE|得tk，因此直線l 的方程為yk(x1)，所以直線l恒過定點(1,0)()由()得G(，)，若B，G關于x軸對稱，則B(，)代入yk(x1)整理得3k21k，即6k47k210，解得k2(舍去)或k21，所以k1.此時B(，)，G(，)關于x軸對稱又由()得x10，y11，所以A(0,1)由于ABG的外接圓的圓心在x軸上，可設ABG的外接圓的圓心為(d,0)，因此d21(d)2，解得d，故ABG的外接圓的半徑為r.所以ABG的外接圓的方程為(x)2y2.14(2011江蘇，16分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C.連接AC，并延長交橢圓于點B.設直線PA的斜率為k.(1)當直線PA平分線段MN時，求k的值；(2)當k2時，求點P到直線AB的距離d；(3)對任意的k0，求證：PAPB.解：(1)由題設知，a2，b，故M(2,0)，N(0，)，所以線段MN中點的坐標為(1，)由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線PA過坐標原點，所以k.(2)直線PA的方程為y2x，代入橢圓方程得1，解得x.因此P(，)，A(，)于是C(，0)，直線AC的斜率為1，故直線AB的方程為xy0.因此，d.(3)證明：法一：將直線PA的方程ykx代入1，解得x.記，則P(，k)，A(，k). 于是C(，0)故直線AB的斜率為，其方程為y(x)，代入橢圓方程并由得(2k2)x22k2x2(3k22)0，解得x或x.因此B(，)于是直線PB的斜率k1.因此k1k1，所以PAPB.法二：設P(x1，y1)，B(x2，y2)，則x10，x20，x1x2，A(x1，y1)，C(x1,0)設直線PB，AB的斜率分別為k1，k2.因為C在直線AB上，所以k2.從而k1k12k1k212110.所以k1k1，所以PAPB.15(2011遼寧，12分)如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e.直線lMN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D.(1)設e，求|BC|與|AD|的比值；(2)當e變化時，是否存在直線l，使得BOAN，并說明理由解：(1)因為C1，C2的離心率相同，故依題意可設C1：1，C2：1，(ab0)設直線l：xt(|t|a)，分別與C1，C2的方程聯(lián)立，求得A，B.(4分)當e時，ba，分別用yA，yB表示A，B的縱坐標，可知|BC|AD|.(2)t0時的l不符合題意，t0時，BOAN當且僅當BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即，解得ta.因為|t|a，又0e1，所以1.解得e1.所以當0e時，不存在直線l，使得BOAN；當e1時，存在直線l，使得BOAN.16(2011廣東，14分)在平面直角坐標系xOy中，直線l：x2交x軸于點A.設P是l上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足MPOAOP.(1)當點P在l上運動時，求點M的軌跡E的方程；(2)已知T(1，1)設H是E上動點，求|HO|HT|的最小值，并給出此時點H的坐標；(3)過點T(1，1)且不平行于y軸的直線l1與軌跡E有且只有兩個不同的交點，求直線l1的斜率k的取值范圍命題意圖：本題考查的知識涉及動點、直線、軌跡、最值、參數范圍的綜合解析幾何問題(1)先畫出圖形，“以圖助算”勢在必行，而畫出圖形后可發(fā)現(xiàn)MPOA或點M在x軸上，也就找到了解決問題的入口與思路；(2)順著第(1)問的結果與思路，結合拋物線的定義可求得|HO|HT|的最小值；(3)再次回到畫出的圖形，可直觀地求得k的取值范圍解：(1)如圖1，可得直線l：x2與x軸交于點A(2,0)，設P(2，m)，當m0時，點P與點A重合，這時OP的垂直平分線為x1，由AOPMPO0得M(1,0)，當m0時，設M(x0，y0)，(i)若x01，由MPOAOP得MPOA，有y0m， 圖1又kOP，OP的中點為(1，)，OP的垂直平分線為y(x1)，而點M在OP的垂直平分線上，y0(x01)，又my0，于是y0(x01)，即y4(x01)(x01)(ii)若x01，如圖1，由MPOAOP得點M為OP的垂直平分線與x軸的交點，在y(x1)中，令y0，有x11，即M(1,0)，點M的軌跡E的方程為y24(x1)(x1)和y0(x1)(2)由(1)知軌跡E為拋物線y24(x1)(x1)與射線y0(x1)，而拋物線y24(x1)(x1)的頂點為B(1,0)，焦點為O(0,0)，準線為x2，當點H在拋物線y24(x1)(x1)上時，作HG垂直于準線x2于點G，由拋物線的定義得|HO|HG|，則|HO|HT|HT|HG|，作TF垂直于準線x2于點F，則|HT|HG|TF|，又T 圖2 (1，1)，得|TF|3，在y24(x1)(x1)中，令y1得x，即當點H的坐標為(，1)時，|HO|HT|的最小值為3，當點H在射線y0(x1)上時，|HO|HT|TF|，|HO|HT|的最小值為3，此時點H的坐標為(，1)(3)由(2)得kBT，由圖2得當直線l1的斜率k或k0時，直線l1與軌跡E有且只有兩個不同的交點直線l1的斜率k的取值范圍是(，(0，)17(2010新課標全國，12分)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(a>b>0)的左、右焦點，過F1斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數列(1)求E的離心率；(2)設點P(0，1)滿足|PA|PB|，求E的方程解：(1)由橢圓定義知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a.l的方程為yxc, 其中c.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標滿足方程組化簡得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，則x1x2，x1x2.因為直線AB斜率為1，所以|AB|x2x1| .得a，故a22b2，所以E的離心率e.(2)設AB的中點為N(x0，y0)，由(1)知x0c，y0x0c.由|PA|PB|得kPN1.即1，得c3，從而a3，b3.故橢圓E的方程為1.高考數學復習精品高考數學復習精品