高考數學復習：第五章 ：第四節(jié)　數列求和突破熱點題型

+2019年數學高考教學資料+第四節(jié)數 列 求 和 考點一公式法求和 例1(2013·浙江高考)在公差為d的等差數列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比數列(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|a2|a3|an|.自主解答(1)由題意得5a3·a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4.所以ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)設數列an的前n項和為Sn.因為d<0，由(1)得d1，ann11.則當n11時，|a1|a2|a3|an|Snn2n.當n12時，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.綜上所述，|a1|a2|a3|an|【方法規(guī)律】三類可以使用公式求和的數列(1)等差數列、等比數列以及由等差數列、等比數列通過加、減構成的數列，它們可以使用等差數列、等比數列的求和公式求解(2)奇數項和偶數項分別構成等差數列或者等比數列的，可以分項數為奇數和偶數時使用等差數列或等比數列的求和公式求解(3)等差數列各項加上絕對值，等差數列的通項公式乘以(1)n.已知數列an的通項公式是an2·3n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n項和Sn.解：Sn2(133n1)111(1)n·(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以當n為偶數時，Sn2×ln 33nln 31；當n為奇數時，Sn2×(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.來源:綜上所述，Sn考點二錯位相減法求和 例2已知an是等差數列，其前n項和為Sn，bn是等比數列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求數列an與bn的通項公式；(2)記Tna1b1a2b2anbn，nN*，證明Tn8an1bn1(nN*，n2)自主解答(1)設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由條件，得方程組解得所以an3n1，bn2n，nN*.(2)證明：由(1)，得Tn2×25×228×23(3n1)×2n，2Tn2×225×23(3n4)×2n(3n1)×2n1.由，得Tn2×23×223×233×2n(3n1)×2n1(3n1)×2n12(3n4)×2n18，即Tn8(3n4)×2n1.而當n2時，an1bn1(3n4)×2n1，所以Tn8an1bn1，nN*，n2.【互動探究】在本例(2)中，若Tnanb1an1b2a1bn，nN*，求證：Tn122an10bn(nN*)證明：由(1)，得Tn2an22an123an22na1，2Tn22an23an12na22n1a1.，得Tn2(3n1)3×223×233×2n2n22n26n210×2n6n10.而2an10bn122(3n1)10×2n1210×2n6n10，故Tn122an10bn，nN*. 【方法規(guī)律】用錯位相減法求和應注意的問題(1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“SnqSn”的表達式；(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解來源:已知數列an滿足a13，an13an3n(nN*)，數列bn滿足bn.(1)證明數列bn是等差數列并求數列bn的通項公式；來源:(2)求數列an的前n項和Sn.解：(1)由bn，得bn1，又an13an3n，bn1bn.來源:數列bn是等差數列，其首項b11，公差為.bn1(n1).(2)an3nbn(n2)×3n1.Sna1a2an3×14×3(n2)×3n1，3Sn3×34×32(n2)×3n.，得2Sn3×13323n1(n2)×3n213323n1(n2)×3n(n2)×3n，Sn.高頻考點考點三 裂項相消法求和1裂項相消法求和是每年高考的熱點，題型多為解答題，難度適中，屬中檔題2高考對裂項相消法的考查常有以下兩個命題角度：(1)直接考查裂項相消法求和；(2)與不等式相結合考查裂項相消法求和例3(2013·廣東高考)設各項均為正數的數列an的前n項和為Sn，滿足4Sna4n1，nN*，且a2，a5，a14構成等比數列(1)證明：a2；(2)求數列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數n，有<.自主解答(1)證明：an>0，令n1，有4S1a41，即4a1a5，a2.(2)當n2時，4Sna4n1,4Sn1a4(n1)1，兩式相減得4anaa4，有a(an2)2，即an1an2，an從第2項起，是公差為2的等差數列，a5a23×2a26，a14a212×2a224，又a2，a5，a14構成等比數列，有aa2·a14，則(a26)2a2(a224)，解得a23，由(1)得a11，又an1an2(n2)an是首項為1，公差為2的等差數列，即an1(n1)×22n1.(3)證明：由(2)得<.裂項相消法求和問題的常見類型及解題策略(1)直接考查裂項相消法求和解決此類問題常用的裂項有：；.(2)與不等式相結合考查裂項相消法求和解決此類問題應分兩步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放縮法、單調性等證明不等式1正項數列an滿足：a(2n1)an2n0.(1)求數列an的通項公式an；(2)令bn，求數列bn的前n項和Tn.解：(1)由a(2n1)an2n0，得(an2n)(an1)0.由于an是正項數列，所以an2n.來源:(2)已知an2n，bn，則bn.Tn.2設數列an滿足a12a222a32n1an，nN*.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn，cn，記Snc1c2cn，證明：Sn<1.解：(1)由題意a12a222a32n2an12n1an，nN*，當n2時，a12a222a32n2an1.兩式相減，得2n1an.所以，當n2時，an.當n1時，a1也滿足上式，所求通項公式an(nN*)(2)證明：bn，cn，Snc1c2cn1<1.課堂歸納通法領悟2種思路解決非等差、等比數列求和問題的兩種思路(1)轉化的思想，即將一般數列設法轉化為等差或等比數列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成(2)不能轉化為等差或等比數列的，往往通過裂項相消法、倒序相加法等來求和3個注意點應用“裂項相消法”和“錯位相減法”應注意的問題(1)裂項相消法，分裂通項是否恰好等于相應的兩項之差(2)在正負項抵消后，是否只剩下第一項和最后一項，或有時前面剩下兩項，后面也剩下兩項，未消去的項有前后對稱的特點(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比含有參數，應分q1和q1兩種情況求解 高考數學復習精品高考數學復習精品