無限風(fēng)光在險(xiǎn)峰—導(dǎo)數(shù)法的恒成立壓軸題

無限風(fēng)光在險(xiǎn)峰-導(dǎo)數(shù)法的恒成立壓軸題導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的強(qiáng)有力工具，并且導(dǎo)數(shù)知識(shí)綜合性 較強(qiáng)，眾多數(shù)學(xué)的思想方法貫穿于導(dǎo)數(shù)解答題解題過程的 始終，能很好地體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力，因此導(dǎo)數(shù)作為壓軸題成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn)?？v觀近幾年高考導(dǎo)數(shù)壓 軸題，有一類問題是求參數(shù)在什么范圍內(nèi)不等式恒成立問 題。學(xué)生解決這類問題困難較大、上手難、失分多，現(xiàn)將 這類問題解決方法進(jìn)行歸納，可以從兩方面入手。一、分離參數(shù)法如果能夠?qū)?shù)分離出來，建立起明確的參數(shù)和變量 x的關(guān)系構(gòu)造函數(shù)，則可以利用求函數(shù)的最值法求解參數(shù) 范圍，即參數(shù)大于函數(shù)最大值或小于函數(shù)最小值。形如a f x恒成立 a f x maY即大于時(shí)大于函數(shù)maxf (x)最大彳K, a f x恒成立 a f x min即小于 時(shí)小于函數(shù)f(x)最小值。分離參數(shù)方法的適用范圍：參 數(shù)易于分離且分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能求出最值。例 1 已知 f(x) xlnx,g(x) x2 ax 3。對于 一切x (0,), 2 f (x) g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：將不等式2f (x) g(x)進(jìn)行分離參數(shù)即3 3a 2ln x x 一，構(gòu)造函數(shù) h(x) 2ln x x 一xx(x 0)顯然借助導(dǎo)數(shù)函數(shù)最小值易求。 一一2 一 .一3斛：1 2xln x x ax 3, a 2ln x x - .x、兒3(x 3)( x 1)設(shè) h(x) 2ln x x 一(x 0),貝Uh(x) 2.xx當(dāng) x (0,1) ,h(x) 0,h(x)在(0,1)單調(diào)遞減;當(dāng) x (1,),h(x) 0,h(x)在(1,)單調(diào)遞增.，一切 x (0,), 2 f (x) g(x)恒成立,a h(x)min 4例2(2013新課標(biāo)I理科)已知函數(shù)f (x) x2 ax b, g(x) ex(cx d)若曲線 y f (x)和曲線y g(x)都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線 y 4x 2.(i)求 a , b , c, d 的值；(n)若x 2時(shí)，f (x) kg(x),求k的取值范圍.分析：(n )將參數(shù)k分離，有三種情況：22x 4x 2 田 x 4x 2 記 2 x1時(shí),k 一；,而一； 的2ex(x 1)2ex(x 1)最小值可求；x1時(shí)，k R符合題意；(3) x1時(shí)，k x *4 2,而x x4X 2的最大值2e (x 1) 2e (x 1)可求。解：(I)易得a 4, b(n)由(i)知 f (x) x22, c 2, d 2;4x 2,g(x) 2ex(x 1),由題意知 x2 4x 2 kg2ex(x 1),g(x)1時(shí),kx2 4x 22ex(x 1)，設(shè) g(x)x2 4x 22ex(x 1) h(x)minh(1) 4x(x 2)22ex(x 1)20,故g(x)在2, 1)單調(diào)遞增,g(x) g( 2) e2 ,從而 k e2。(ii) x1時(shí)，1 0原不等式恒成立，從而 k R,(iii) x1時(shí)，k2_X2 4x 22ex(x 1)，設(shè) g(x)x2 4x 22ex(x 1)xex(x 2)2g(x)2x(X 2)2, x ( 1,0)時(shí) g(x) 0, g(x)2e (x 1)在(1,0)單調(diào)遞增；x (0,4g(x) 0, g(x)在(0,)單調(diào)遞減，g(x) g(0) 1,從而k 1。綜上所述，k的取值范圍1,e2。二、分類討論法有些試題在高中范圍內(nèi)用分離參數(shù)的方法不能順利解決，利用分離參數(shù)的方法不能解決這部分問題的原因是(ii)若k e2,則 F(x) 2e2(x 2)(ex e2)從而當(dāng)時(shí)F(x) 0,即F(x)在(2,)單調(diào)遞增。而F( 2) 0,故當(dāng) x 2時(shí) F(x) 0,即 f(x) kg(x)恒成立。(iii )若 k e2,則222F( 2) 2ke 2 2e (k e ) 0。從而當(dāng) x 2時(shí)F(x) 0,即f(x) kg(x)不可能恒成立。f(x)的切aln x bx 1x線方程為f(x)In x kx 1 x4x ln x單調(diào)性無法用常無法求最值或求最值時(shí)出現(xiàn)了0或一型的式子，而這就0是大學(xué)數(shù)學(xué)中的不定式問題，解決這類問題的有效方法就 是洛必達(dá)法則。但利用洛必達(dá)法則在高考評分中往往帶有 爭議，因此需掌握分類討論的基本思想。分類討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，首先確定參數(shù)的分界點(diǎn)，然后驗(yàn)證參數(shù)在每一段內(nèi)是否滿足題意， 從而得出參數(shù)的范圍。 往往在分 類討論的個(gè)別情況中，需要找一個(gè)與恒成立的不等式矛盾 的區(qū)間或一個(gè)矛盾的值來否定此時(shí)參數(shù)范圍不符合題意。例2(2013新課標(biāo)I理科)分析：(n)此問也可用分類討論方法求出參數(shù)的范 圍，構(gòu)造函數(shù) F(x) kg(x) f(x)討論其單調(diào)性，由導(dǎo)數(shù)兩根的大小及 x -2確定參數(shù)k的分界點(diǎn)為1和e2, 分三種情況討論，并驗(yàn)證每段是否符合題意， 從而得出參 數(shù)的范圍。解：(I)略。(n)由(I)知 f(x) x2 4x 2,g(x) 2ex(x 1) 設(shè)函數(shù) F (x) kg(x) f (x) 2kex(x 1) x2 4x 2 則 F(x) 2kex(x 2) 2x 4 2(x 2)(kex 1) 由題設(shè)可的F(0) 0 ,即k 1 令 F (x) 0 得 x1lnk,x22(i)若1 k e2,則 2 x, 0.從而當(dāng)x (2,為)時(shí)F (x) 0;當(dāng) x (x,，)時(shí)，F(xiàn) (x) 0。即 F(x)在(2,x,)單調(diào)遞減，在(x1,)單調(diào)遞增。故F(x)在2,)最小值為F(x,)。而 2F(x1) 2x1 2 為4x1 2x1 (x1 2) 0故當(dāng)x 2時(shí)F(x) 0,即f (x) kg(x)恒成立。綜上，k的取值范圍是1,e2。例3(2011新課標(biāo)理科)已知函數(shù)曲線y f (x)在點(diǎn)(1,f (1)處 x 2y 3 0.(I)求a, b的值；(II)如果當(dāng)x>0,且x 1時(shí)，求k的取值范圍.分析：(II)參數(shù)k易于分離，分離后轉(zhuǎn)化為, 2xln x2xln xk -2 1,令g(x) 2 1,其最值很難x 1x 1求出，原因是其導(dǎo)函數(shù)2(lnx 1)(x2 1) g (x)/ 2 八2(x 1)規(guī)方法判斷。因此需構(gòu)造函數(shù)討論其單調(diào)性，通過恰當(dāng)變形及二次型方程的判別式為零，確定參數(shù)的分界點(diǎn)為 0和 1,分三種情況討論。解：(I)易求 a 1, b 1。, 八 一、ln x 1(n)由(i)知 f(x) 一，所以x 1 x2一、，lnx k、1(k 1)(x2 1)、f(x) ()2 (2ln x)x 1 x 1 xx考慮函數(shù) h(x) 2ln x (k 1)(x一1 (x 0),則 x2_(k 1)(x1) 2xh (x) 2。x(i)設(shè) k 0 ,由 h (x) k一匕"1) 知,當(dāng) xx 1 時(shí)，h(x) 0。而 h(1) 0,故，.-1當(dāng) x (0,1)時(shí)，h(x) 0,可得2 h(x) 0；1 x1當(dāng) x (1, + )時(shí)，h (x) <0,可得2h(x)>01 x從而當(dāng)x>0,且x 1時(shí)，f (x)士+k)x 1 x>0,即 f (x) >In xx 1(ii)設(shè) 0<k<1.由于當(dāng) x (1,)時(shí)，(k-1) (x21 k一+ 1) +2x>0 ,故 h (x) >0,而.1 一一一h(1) 0 ,故當(dāng) x (1,)時(shí)，h (x) >0,可1 km 1一得2h (x) <0,與題設(shè)矛盾。1 x2(iii)設(shè) k 1.此時(shí) h (x) >0,而 h(1) 0,故當(dāng) x (1,-1-+ )時(shí)，h (x) >0,可得 2- h (x) <0,與題設(shè)矛1 x盾。綜上所述，k的取值范圍為(-,0。本文給出了用導(dǎo)數(shù)求解恒成立問題的參數(shù)范圍的兩種方法：分離參數(shù)的方法容易想到， 解題時(shí)需注意參數(shù)的 系數(shù)正負(fù)情況且分離后構(gòu)造的函數(shù)最值可求；分類討論法的關(guān)鍵是確定參數(shù)的分界點(diǎn)，需考慮含參函數(shù)的定義域結(jié) 合含參函數(shù)零點(diǎn)的大小關(guān)系或二次型方程判別式為零來確定參數(shù)的分界點(diǎn)，此方的難點(diǎn)是分類討論的個(gè)別情況， 需要找一個(gè)與恒成立的不等式矛盾的區(qū)間或值來否定此 時(shí)參數(shù)范圍不符合題意。高考壓軸題是區(qū)分考生數(shù)學(xué)能力 與數(shù)學(xué)思維強(qiáng)弱的“分水嶺”，希望通過上述方法分析， 能使學(xué)生對恒成立壓軸題的解答有更深悟的領(lǐng)會(huì)。參考文獻(xiàn)：1.高慧明.2004年全國高考數(shù)學(xué)壓軸題分類導(dǎo)析(一)一一以“數(shù)列”為主體J.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2005 (1)