《解三角形的實際應用舉例》教學設計6頁

課題：解三角形的實際應用舉例一、教材分析本節(jié)課是學習了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計算之后的一節(jié)實際應用課，可以說是為正弦定理、余弦定理的應用而設計的，因此本節(jié)課的學習具有理論聯(lián)系實際的重要作用。在本節(jié)課的教學中，用方程的思想作支撐，以具體問題具體分析作指導，引領學生認識問題、分析問題并最終解決問題。 二、教學目標1、知識與技能能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，了解測量的方法和意義會在各種應用問題中，抽象或構造出三角形，標出已知量、未知量，確定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解決的各類應用問題和基本圖形和基本等量關系，理解各種應用問題中的有關名詞、術語（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）2、過程與方法采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學生在溫故知新中學會正確識圖、畫圖、想圖，幫助學生逐步構建知識框架通過解三角形的應用的學習，提高解決實際問題的能力；通過解三角形在實際中的應用，要求學生體會具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學問題，以及數(shù)學知識在生產(chǎn)、生活實際中所發(fā)揮的重要作用3、情感態(tài)度價值觀激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，并體會數(shù)學的應用價值培養(yǎng)學生運用圖形、數(shù)學符號表達題意和應用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學問題的能力進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力三、教學重點、難點1、重點：實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化掌握運用正、余弦定理等知識方法解三角形的方法2、難點：實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化思路的確定四、教學方法與手段本節(jié)課的重點是正確運用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正確運用兩個定理的關鍵是要結合圖形，明確各已知量、未知量以及它們之間的相互關系。通過問題的探究，要讓學生結合實際問題，畫出相關圖形，學會分析問題情景，確定合適的求解順序，明確所用的定理；其次，在教學中讓學生分析討論，在方程求解繁與簡的基礎上選擇解題的思路，以提高學生觀察、識別、分析、歸納等思維能力。五、教學過程教學環(huán)節(jié)教學過程設計意圖引言“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，上述方法存在特殊性，不能完全實施。今天我們就來學習更一般的在實踐中使用正弦定理和余弦定理解決實際問題。通過引言，讓學生體會解三角形在生活中的廣泛應用，激發(fā)學生對于本堂課內(nèi)容的濃厚興趣例題講解基于例題變式講解例題變式例1、如圖所示，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點的距離(精確到0.1m)啟發(fā)提問1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得=AB= 65.7(m)答:A、B兩點間的距離為65.7米變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？解略：a km例2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法。解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得BCA=，ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，應用正弦定理得AC=BC=計算出AC和BC后，再在ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離AB=分組討論：還沒有其它的方法？師生一起對不同方法進行對比、分析。變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20例3、AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法。分析：求AB長的關鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點到建筑物頂部A的距離CA，再測出由C點觀察A的仰角，就可以計算出AE的長。解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點在同一條直線上。由在H、G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是、，CD = a，測角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得AC = AB = AE + h= AC+ h= + h例4、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile)分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根據(jù)余弦定理，AC= = 113.15根據(jù)正弦定理, = sinCAB = = 0.3255,所以 CAB =19.0 75- CAB =56.0答:此船應該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile練習：（對例3的變式）在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4 = 因為sin4=2sin2cos2cos2=, 得 2=30=15在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設方程來求解）設DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設建筑物高為AE=8，由題意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= 在RtADE中，sin4=, 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m啟發(fā)式教學老師引導學生畫圖解題。體會數(shù)學建模的思想方法。對于例1的變式練習變式教學，使得課堂延展性增強在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選擇最佳的計算方式。仍然是距離問題，由測量長度變?yōu)闇y量高度，讓學生感受不同類型的問題。解三角形在航海問題中的應用實際問題中需要掌握近似估計、運算通過變式，讓學生體會該數(shù)學模型的在不同問題中的應用一題多解、挑戰(zhàn)思維提升學生專研數(shù)學的興趣課堂小結（采用提問形式，學生闡述，老師適當補充）1、解斜三角形應用題的一般步驟：分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解2、利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學會審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中進行加工、抽取主要因素，進行適當?shù)暮喕?、解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況：已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。培養(yǎng)學生學習的主動性和學后反思的習慣及歸納總結的能力。六、課后作業(yè)1、必做題：自學課本第三節(jié)中的4個例子，寫出你的解題步驟課本習題2-3 A組 第2、4題 2、選做題： 課本習題2-3 B組 第1、2題 七、教學反思本節(jié)課，我是一些實例來探索關于解三角形在實際應用中的思維方法，具體解三角形時，所選例題突出了數(shù)學建模的思想及函數(shù)與方程的思想，將正弦定理、余弦定理視作方程或方程組，處理已知量與未知量之間的關系。