三年模擬一年創(chuàng)新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第六章 第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理全國通用

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第三節(jié)第三節(jié) 等比數(shù)列及其前等比數(shù)列及其前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 A 組 專項(xiàng)基礎(chǔ)測試 三年模擬精選 一、選擇題 1(20 xx江西贛州模擬)在公比大于 1 的等比數(shù)列an中，a3a772，a2a827，則a12( ) A96 B64 C72 D48 解析 a3a7a2a872，a2a827， a224，a83或a23，a824， 又公比大于 1，a23，a824，q68， 即q22，a12a2q1032596. 答案 A 2(20 xx山東日照模擬)設(shè)數(shù)列an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a41，S37，則S5( ) A.152 B.314 C.334 D.172 解析 設(shè)此數(shù)列的公比為q(q0)由已知，a2a41，得a231，所以a31，由S37，知a3a3qa3q27，即 6q2q10，解得q12，進(jìn)而a14. 所以S541125112314，選 B. 答案 B 3(20 xx濰坊模擬)設(shè)等比數(shù)列an中，前n項(xiàng)和為Sn，已知S38，S67，則a7a8a9等于( ) A.18 B18 C.578 D.558 解析 a7a8a9S9S6，S3，S6S3，S9S6也成等比數(shù)列，即8，1，S9S6成等比數(shù)列，有 8(S9S6)1，即S9S618. 答案 A 4(20 xx北大附中模擬)已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列an中，a4與a14的等比中項(xiàng)為 2 2，則2a7a11的最小值為( ) A16 B8 C6 D4 解析 a4a14(22)28，即a4a14a298，a922.則 2a7a112a9q2a9q222a9q2a9q22 2a98，當(dāng)且僅當(dāng)2a9q2a9q2，即q42 時(shí)取等號 答案 B 二、填空題 5(20 xx云南大理二模)若數(shù)列an滿足a13，an12an1，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為_ 解析 an12an1，an112(an1)，數(shù)列an1是首項(xiàng)為 4，公比為 2 的等比數(shù)列，an142n1，an2n11. 答案 an2n11 三、解答題 6(20 xx陜西師大附中模擬)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a221a11a2，a3a4321a31a4. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bna2nlog2an，求數(shù)列bn 的前n項(xiàng)和Tn. 解 (1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0)，則ana1qn 1，且an0，由已知得a1a1q21a11a1q，a1q2a1q3321a1q21a1q3. 化簡得a21q（q1）2（q1），a21q5（q1）32（q1），即a21q2，a21q532. 又a10，q0，a11，q2.an2n1. (2)由(1)知bna2nlog2an4n1n1， Tn(14424n1)(0123n1) 4n141n（n1）24n13n（n1）2. 一年創(chuàng)新演練 7已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a11，a22，2a2na2n1a2n1(n2)，則a6等于( ) A16 B8 C2 2 D4 解析 由2a2na2n1a2n1(n2)可知數(shù)列a2n是等差數(shù)列，且以a211為首項(xiàng)，公差da22a21413，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為a2n13(n1)3n2，所以a2636216，即a64.選 D. 答案 D 8已知數(shù)列1，a1，a2，9是等差數(shù)列，數(shù)列1，b1，b2，b3，9是等比數(shù)列，則b2a1a2的值為_ 解析 1，a1，a2，9 是等差數(shù)列， a1a21910. 又 1，b1，b2，b3，9 是等比數(shù)列，b22199， b21b20，b23，b2a1a2310. 答案 310 B 組 專項(xiàng)提升測試 三年模擬精選 一、選擇題 9(20 xx山東菏澤二模)已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足：a7a62a5，若存在兩項(xiàng)an，am使得aman4a1，則1m4n的最小值為( ) A.32 B.53 C.256 D不存在 解析 a7a62a5，a5q2a5q2a5，即q2q20，解得q2，q 1(舍)若存在兩項(xiàng)an，am，有aman4a1，即aman16a21，a21qmn216a21，即 2mn216，mn24，mn6，即mn61. 1m4n1m4nmn61654mnnm 16524mnnm32， 當(dāng)且僅當(dāng)4mnnm，即n24m2，n2m時(shí)取等號，此時(shí)mn63m，m2，n4 時(shí)取最小值，最小值為32. 答案 A 二、解答題 10(20 xx陜西寶雞 4 月)已知數(shù)列an滿足a15，a25，an1an6an1(n2) (1)求證：an12an是等比數(shù)列 (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (3)設(shè) 3nbnn(3nan)，求|b1|b2|bn|. (1)證明 an1an6an1(n2)， an12an3an6an13(an2an1)(n2) 又a15，a25， a22a115， an2an10(n2)， an12anan2an13(n2)， 數(shù)列an12an是以 15 為首項(xiàng)，3 為公比的等比數(shù)列 (2)解 由(1)得an12an153n153n， 則an12an53n， an13n12(an3n) 又a132，an3n0， an3n是以 2 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列 an3n2(2)n1， 即an2(2)n13n(nN N*) (3)解 由(2)及 3nbnn(3nan)可得 3nbnn(an3n)n2(2)n1n(2)n， bnn23n，|bn|n23n. Tn|b1|b2|bn| 232232n23n， 23，得 23Tn2322233(n1)23n n23n1， ，得 13Tn2323223nn23n1 2323n1n23n1 2(n3)23n1， Tn62(n3)23n. 11(20 xx馬鞍山模擬)已知數(shù)列an滿足a11，an12n1anan2n(nN N*) (1)證明數(shù)列2nan是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (3)設(shè)bnn(n1)an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn. (1)證明 由已知可得an12n1anan2n， 2n1an12nan1，即2n1an12nan1， 數(shù)列2nan是公差為 1 的等差數(shù)列 (2)解 由(1)可得2nan2a1(n1)1n1， an2nn1. (3)解 由(2)知，bnn2n， Sn12222323n2n， 2Sn122223324n2n1， 兩式相減得Sn222232nn2n12n12n2n1，Sn(n1)2n12. 12(20 xx廣西欽州二模)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，滿足Sna1a(1an)(a0 且a1，nN N*)，數(shù)列bn滿足bnanlgan(nN N*) (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列bn中的每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng)，求a的取值范圍 解 (1)Sna1a(1an)(a0 且a1，nN N*)， Sn1a1a(1an1)，由Sn1Snan1，得an1a1a(anan1)，an1aan， 即an1ana(a0，nN N*)； 當(dāng)n1 時(shí)，a1a1a(1a1)，即a1a. 于是，數(shù)列an是以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為anan(nN N*) (2)依題意，得bnnanlg a，令bk1bk(kN N*)， 則(k1)ak1lg akaklg a. a0 且a1，ak0，即(k1)alg aklg a. 當(dāng)a1 時(shí)，lg a0，則(k1)ak，即akk1. 0kk11 時(shí)，bk1bk(kN N*)恒成立 當(dāng) 0a1 時(shí)，lg a0，則(k1)ak，即akk1. 為了使不等式對任意的正整數(shù)k都成立，只需akk1min. kk1111k12，0a1，或0a12. 一年創(chuàng)新演練 13已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足：a2n(n2n1)an(n2n)0(nN N)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足b11，2Sn1bn(nN N) (1) 求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)cn（2n1）bnan，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：T2n1. (1)解 由a2n(n2n1)an(n2n)0，得an(n2n)(an1)0. 由于an是正項(xiàng)數(shù)列，所以ann2n. 由 2Sn1bn可得當(dāng)n2 時(shí)，2Sn11bn1，兩式相減得bnbn1， 數(shù)列bn是首項(xiàng)為 1，公比為1 的等比數(shù)列， bn(1)n1. (2)證明 cn（2n1）bnan (1)n12n1n（n1）. 法一 c2n1c2n 4n12n（2n1）4n12n（2n1） （4n1）（2n1）（4n1）（2n1）2n（2n1）（2n1） 2（2n1）（2n1） 12n112n1， T2n(c1c2)(c3c4)(c2n1c2n)1113131512n112n1112n11. 法二 cn（2n1）bnan(1)n12n1n（n1） (1)n11n1n1， T2nc1c2c3c4c2n1c2n 1112121313141415 12n112n12n12n1 112n11.