專題43 商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系法求三角函數(shù)值(解析版)

專題43 商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系法求三角函數(shù)值一、單選題1已知，則（ ）ABCD【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，再利用誘導(dǎo)公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，因此，.故選：D.2若，且是第二象限角，則（ ）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，由題中條件先求正弦，進(jìn)而可求出正切.【詳解】因?yàn)?，且是第二象限角，所以，因?故選：B.3已知是第四象限角，且，則（ ）ABCD【答案】A【分析】由題求出，再求得解.【詳解】，是第四象限角，則，故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角恒等變換常用的方法：三看（看角看名看式）三變（變角變名變式）.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.4若，則的值為（ ）A2B3C4D6【答案】B【分析】先利用代換，再由可化簡得解.【詳解】，又，.故選：B5在中，角、的對邊分別為、，已知，若最長邊為，則最短邊長為（ ）ABCD【答案】A【分析】先結(jié)合角的范圍利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得角的正余弦，再利用三角形內(nèi)角和為和誘導(dǎo)公式計(jì)算角的正余弦，判斷c為最大邊，為最短邊，利用正弦定理求出即可.【詳解】由知，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可求得，由知，得，即為鈍角，為最大角，故c為最大邊，有，由知，最短邊為，于是由正弦定理，即求得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵在于通過計(jì)算內(nèi)角的正余弦值判斷c為最大邊，為最短邊，才能再利用已知條件和正弦定理計(jì)算突破答案.6己知，則的值為（ ）ABCD【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式可求得的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及誘導(dǎo)公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，則，因此，.故選：A.7已知，則等于（ ）ABCD【答案】D【分析】求出的范圍，用上平方關(guān)系即可求解.【詳解】解：，故選：D.8化簡的結(jié)果是（ ）ABC1D【答案】C【分析】應(yīng)用平方關(guān)系化簡即可.【詳解】解：原式故選：C9已知，且是第四象限角，那么的值是（ ）ABCD【答案】B【分析】由誘導(dǎo)公式對已知式子和所求式子進(jìn)行化簡即可求解.【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式：，所以，故.故選：B【點(diǎn)睛】誘導(dǎo)公式的記憶方法：奇變偶不變，符號看象限.10在中，則的面積為（ ）ABCD【答案】A【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求，再運(yùn)用三角形面積公式計(jì)算即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故，所以的面積為.故選：A.11已知數(shù)列首項(xiàng)，且當(dāng)時(shí)滿足，若的三邊分別為、，則最大角的正弦值為（ ）ABCD【答案】D【分析】由題意得數(shù)列為等差數(shù)列，則可求出、，然后利用余弦定理求解最大角的余弦值，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解出最大角的正弦值.【詳解】解：由題意知：當(dāng)時(shí)，滿足，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則、分別為，設(shè)中最大角為，則最大角的余弦值為：，又，最大角的正弦值為.故選：D.12已知，則（ ）ABCD【答案】C【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系和二倍角公式可求得，利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】由得：，.故選：.13已知，在第二象限內(nèi)，那么的值等于（ ）ABCD以上都不對【答案】A【分析】結(jié)合各個(gè)象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得，利用二倍角公式構(gòu)造方程，結(jié)合終邊位置可確定結(jié)果.【詳解】在第二象限內(nèi)，由得：，解得：，即，在第二象限內(nèi)，為第一或第三象限角，.故選：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：求解三角函數(shù)值時(shí)，需注意角所處的范圍，從而確定所求三角函數(shù)值的符號.14已知，則（ ）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，可得的值，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合的范圍，可求得的值，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以為第二象限角，所以所以故選：A二、解答題15已知，且是第四象限角.（1）求和的值；（2）求的值；【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根據(jù)象限和公式求出的正弦，再用倍角公式計(jì)算即可（2）求出角正切值，再展開，代入計(jì)算即可.【詳解】解：（1），由得，又是第四象限角，.（2）由（1）可知，.16已知（1）求及的值；（2）求的值【答案】（1），；（2）.【分析】（1）在等式兩邊平方可求得的值，計(jì)算出的值，判斷出的符號，即可求得的值；（2）聯(lián)立方程組求出、的值，利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可求得的值.【詳解】（1）在等式兩邊平方可得，解得，則，所以，因此，；（2）由已知條件可得，解得，因此，.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：求解有關(guān)、關(guān)系的問題時(shí)，常用以下公式求解：（1）；（2）.17已知（1）若為第三象限角，且，求的值（2）若，且，求函數(shù)的最小值，并求出此時(shí)對應(yīng)的x的值【答案】(1) (2) 函數(shù)的最小值為1，此時(shí)【分析】(1)先化簡函數(shù)解析式得，則由條件可得，得出答案.(2)由條件可得，則由，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)即可得出答案.【詳解】由已知有（1）若為第三象限角，且，則，則（2），設(shè)即，當(dāng)，即 時(shí)，有最小值1所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值1.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)三角函數(shù)求值和將函數(shù)化為的二次式求最值，解答本題的關(guān)鍵是由將函數(shù)化為二次式，根據(jù)求最小值，屬于中檔題.18已知，（1）化簡；（2）若，求【答案】（1）；（2）當(dāng)是第二象限角時(shí)， ，當(dāng)是第三象限角時(shí)，【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式以及同角公式化簡可得結(jié)果；（2）由得，再討論的象限可求得結(jié)果.【詳解】（1）（2），可得，是第二或第三象限角，當(dāng)是第二象限角時(shí)，當(dāng)是第三象限角時(shí)，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握誘導(dǎo)公式和同角公式是解題關(guān)鍵.19已知，且為第二象限角（I）求：的值；（II）求：的值【答案】（）；（）.【分析】（）根據(jù)題意以及同角基本關(guān)系可知，再利用二倍角公式即可求出結(jié)果；（）根據(jù)（）的結(jié)果利用兩角差余弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（），又為第二象限角，得，；（）20已知，（1）求證：（2）若為第一象限角，為第四象限角，求的值【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）分別將已知條件展開，兩式相減、相加可得，的值，兩式相除即可求證；（2）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合角所在的象限求出、的值，利用即可求解.【詳解】（1）由題意可得：得得得：，即（2）若為第一象限角，因?yàn)闉榈谒南笙藿牵?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，要證，化切為弦即證，所以想到將已知條件展開，給值求值型的關(guān)鍵是用已知角表示所要求的角，即.21設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c且，.（1）求；（2）當(dāng)取最小值時(shí)，求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)已知條件利用正弦定理化邊為角得到，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得，最后利用誘導(dǎo)公式即得；（2）結(jié)合余弦定理化簡，求二次函數(shù)取最小值時(shí)的取等號條件即確定邊，再結(jié)合，利用三角形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】解：（1）由正弦定理及與得：，（R是的外接圓半徑）兩式相除，得設(shè)，B是的內(nèi)角，由得，即得，.（2）由（1）及余弦定理知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.又，.最小時(shí)的面積為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識地根據(jù)已知條件判斷用哪個(gè)定理更合適. 如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理.22已知.（1）求的值.（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）把平方即得解；（2）求出，即得解.【詳解】解：（1），.（2），又，原式.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是判斷的符號，要結(jié)合的范圍判斷.23已知，其中（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式可得出，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的值，求出、的值，利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可求得的值；（2）將所求代數(shù)式變形為，在分式的分子和分母中同時(shí)除以，利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】（1），由誘導(dǎo)公式可得，由已知可得，解得，因此，；（2）.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值問題中已知，求關(guān)于、的代數(shù)式的值時(shí)，一般利用弦化切公式后直接代入的值，在關(guān)于、的齊次式中，常常利用弦化切的方程轉(zhuǎn)化為含的代數(shù)式.24設(shè)是鈍角，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)及題干條件，可求得的值，根據(jù)即可得答案；（2）根據(jù)（1）可得的值，利用兩角和的余弦公式，即可求得答案.【詳解】（1）是鈍角，根據(jù)，解得，所以.（2），.25（1）若，求、；（2）若，求的值.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）分為第二象限角和第三象限角兩種情況討論，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得、的值；（2）在所求分式的分子和分母中同時(shí)除以，利用弦化切思想可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】（1），則角為第二象限角或第三象限角.若角為第二象限角，則，；若角為第三象限角，則，.綜上所述，若角為第二象限角，；若角為第三象限角，則，；（2），.26已知，為銳角，.（1）求的值.（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系以及二倍角公式即可求值；（2）先求出，再利用即可求解.【詳解】解：（1）由題意知：為銳角，且，解得：，；（2）由（1）知，則，故.27已知，且為第三象限角.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）將化為即可求出；（2）由，即可求出.【詳解】（1），；（2），即，即，為第三象限角，.28已知，且是第四象限的角（1）求；（2）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，先求出余弦值，再求正切值即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，將原式化簡整理，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋堑谒南笙薜慕牵?，因此；?）由（1）可得：.29（1）若，求的值；（2）已知，求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可得，再由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系可轉(zhuǎn)化條件為，即可得解；（2）由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，進(jìn)而可得，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?原式=；（2）因?yàn)?，所以，所以，則，因?yàn)椋?，所?0已知，求和的值【答案】； .【分析】利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系以及兩角和的正弦求解即可.【詳解】解：，31已知，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先根據(jù)的值和二者的平方關(guān)系聯(lián)立求得 的值，再把平方即可求出；（2）結(jié)合（1）求，的值，最后利用商數(shù)關(guān)系求得的值，代入即可得解【詳解】（1），,，.（2）由，解得，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角恒等常用的方法：三看（看角、看名、看式），三變（變角、變名、變式）.32的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求；（2）若，求的面積，并求的最小值.【答案】（1）；（2）；.【分析】（1）利用兩角和的正切公式展開，根據(jù)角A的范圍，可求得的值，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可求得答案；（2）利用數(shù)量積公式，結(jié)合（1），可求得的值，代入面積公式，即可求得的面積；利用余弦定理，可求得的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，可求得的最小值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以（舍去? 因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以，? （2）因?yàn)椋?所以， ，所以的面積. 由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號成立， 所以的最小值為.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握正余弦定理，面積公式，并靈活應(yīng)用，在利用數(shù)量積公式時(shí)，需注意兩向量的夾角為銳角還是鈍角，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬基礎(chǔ)題.三、填空題33若且，則_【答案】【分析】先由已知求出，再由商數(shù)關(guān)系即可求出.【詳解】且，.故答案為：.34已知，且有，則_.【答案】【分析】運(yùn)用正弦、余弦的二倍角公式化簡已知等式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)?，所以，因此由，而，把代入得：，而，因?故答案為：35已知，則_【答案】【分析】根據(jù)同角平方關(guān)系，先求出，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系，求出.【詳解】由，可得，則根據(jù)商數(shù)關(guān)系得.故答案為：.36已知，則_.【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求，再利用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，可?所以，故答案為：.37已知，則_【答案】【分析】由已知結(jié)合范圍，可得，利用平方差公式即可計(jì)算求解【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，又，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)求值，解題的關(guān)鍵是會(huì)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題38已知角是第四象限角，且滿足，則_【答案】【分析】由題可得，進(jìn)而得出，即可求出.【詳解】，即，角是第四象限角，.故答案為：.39，則_【答案】【分析】將平方，求出的值，再利用弦化切即可求解.【詳解】 ，所以，所以.故答案為：40已知，則_.【答案】【分析】由條件結(jié)合三角函數(shù)的同角基本關(guān)系可解出，然后可得答案.【詳解】因?yàn)椋钥山獾盟怨蚀鸢笧椋?1若，是第三象限角，則_.【答案】【分析】先化簡，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可得答案.【詳解】解：，為第三象限角，故答案為：【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合半角公式化簡，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.42已知且，則_.【答案】【分析】本題考查同角三角函數(shù)及其關(guān)系，借助公式，求解即可，求解時(shí)需要判定符號的正負(fù).【詳解】解：法一：由可得，代入解得，因?yàn)?，所以，所?法二：由且可取終邊上的一點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)終邊定義公式.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的3個(gè)應(yīng)用技巧：（1）弦切互化利用公式實(shí)現(xiàn)角的弦切互化；（2）和(差)積轉(zhuǎn)換利用進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化；（3）巧用“1”的變換.43已知，則=_【答案】【分析】由誘導(dǎo)公式可得cos的值，及的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出tan的值即可【詳解】cos，sin，,故答案為：44已知，則_【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，可得的值，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故答案為?5已知，則_.【答案】【分析】根據(jù)的范圍，先利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求出，再根據(jù)，即可求出.【詳解】解：，又，.故答案為：.46已知，則_.【答案】【分析】結(jié)合二倍角余弦公式解方程求得，由同角三角函數(shù)平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】，或（舍），.故答案為：.47已知，是第二象限角，則_.【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，先求出，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求出，進(jìn)而可得出正切值.【詳解】因?yàn)?，所以，又是第二象限角，所以，則，所以.故答案為：.48已知，則 _.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求得的值，由此求得的值.【詳解】依題意，兩邊平方得，而，所以，所以.由解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】知道其中一個(gè)，可通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得另外兩個(gè)，在求解過程中要注意角的范圍.49已知，則_【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系即可求出.【詳解】，.故答案為：.50在中，若，則_.【答案】【分析】根據(jù)題意及即可求解.【詳解】解：將兩邊平方得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】解決同三角函數(shù)問題：（1）利用可實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時(shí)要根據(jù)角所在象限確定符號；利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化；（2）應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對于這三個(gè)式子，利用，可以知一求二；（3）注意公式逆用及變形應(yīng)用：.