專題45 弦切互化法求三角函數(shù)值(解析版)

專題45 弦切互化法求三角函數(shù)值一、單選題1（ ）AB1CD【答案】B【分析】運用誘導(dǎo)公式、兩角和差公式及輔助角公式化簡得解【詳解】故選B【點睛】熟練掌握誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、輔助角公式是解題關(guān)鍵.2已知，則的值為（ ）ABCD【答案】B【分析】利用商數(shù)關(guān)系式弦化切，再代入可解得結(jié)果.【詳解】.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：弦化切是求解關(guān)鍵.3在ABC中，若，則的最大值為（ ）ABCD【答案】B【分析】在ABC中，化簡條件可得，再利用基本不等式求得的最小值，求得的最小值，可得的最大值.【詳解】在ABC中，即，化簡可得：，所以，即，所以，顯然同號，又在ABC中，最多有一個小于，所以均為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；又，所以，所以，則的最大值為.故選：B.【點睛】思路點睛：先利用三角函數(shù)的恒等變換，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的余弦公式得到，再利用基本不等式得到的最值，最后利用.4已知，則（ ）AB4C5D【答案】D【分析】先利用兩角和的正切公式對已知條件化簡求出的值，再將要求的代數(shù)式分子分母同除以轉(zhuǎn)化為正切，將的值代入即可求解.【詳解】，則，故選：D.5已知，則的值為（ ）ABCD2【答案】D【分析】根據(jù)題中條件，由切化弦，將所求式子化簡整理，即可得出結(jié)果.【詳解】，故選：D.6已知角的頂點與原點O重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則（ ）ABCD【答案】D【分析】由已知條件求得，再利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值.【詳解】由題意可知，點在直線上，則，可得，因此，.故選：D.7設(shè)為第四象限角，且，則的值為（ ）ABCD【答案】C【分析】由題意可求得，則，從而，由此解得，再切化弦結(jié)合誘導(dǎo)公式求出答案【詳解】解：，兩邊同時平方得，即，又為第四象限角，聯(lián)立解得，故選：C8已知向量，若，則（ ）.A1BCD【答案】C【分析】由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式有，可求，再將目標(biāo)式化弦為切求值.【詳解】由題意知：，即，故選：C【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，應(yīng)用化弦為切求三角函數(shù)式的值，屬于基礎(chǔ)題.9已知，則（ ）ABC4D5【答案】D【分析】巧用“1”，化弦為切，由已知可得解.【詳解】故選:D【點睛】本題關(guān)鍵在于化弦為切，屬于基礎(chǔ)題.10已知平面向量，若，則（ ）ABC1D【答案】C【分析】由已知條件，有數(shù)量積的坐標(biāo)公式可得，進而求得【詳解】又，即故選：C【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式，利用向量的垂直關(guān)系，并應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系，求正切值11已知，則=（ ）ABCD【答案】A【分析】利用弦化切化簡，再代入，計算得結(jié)果.【詳解】故選：A【點睛】本題考查弦化切，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12已知，則（ ）ABC7D【答案】B【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角差的正余弦公式展開目標(biāo)式為，結(jié)合題設(shè)已知條件求得，即可求的值【詳解】，即故選：B【點睛】本題考查了三角函數(shù)，應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角差正余弦公式求三角函數(shù)值，首先由同角函數(shù)關(guān)系將切化弦的形式，再由兩角差正余弦公式展開，最后結(jié)合已知條件求函數(shù)值13已知，（ ）ABC1D【答案】D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再由弦化切即可求值.【詳解】.故選：D【點睛】本題考查了應(yīng)用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，屬于簡單題.14已知，則（ ）ABCD【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式，可求出的值，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系，即可得答案.【詳解】因為，且所以，所以，所以，故選：D【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計算化簡的能力，屬基礎(chǔ)題.15若，則等于（ ）ABCD【答案】B【分析】先弦化切，再解方程求得，最后利用二倍角的正切公式求解即可.【詳解】因為所以解得可得故選：B.【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，以及二倍角的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16若，則tan 的值為（ ）A2B2CD【答案】D【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系，有結(jié)合題干條件，列方程求tan 【詳解】，解得故選：D【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，將正余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為正切函數(shù)，結(jié)合已知條件列方程求正切函數(shù)值17已知 ，則（ ）A B2C D 【答案】C【分析】分子分母同時除以即可得，代入即可求值.【詳解】解：，故選:C.【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.18設(shè)是第三象限角，且，那么（ ）ABCD【答案】B【分析】利用弦切互化得到方程，解方程得到的正切值，由所在象限及同角三角函數(shù)關(guān)系得到正余弦值，進而求得【詳解】且是第三象限的角由同角三角函數(shù)關(guān)系，得，故選：B【點睛】本題考查了三角恒等變換的兩角和的正弦公式，弦切互化及同角三角函數(shù)關(guān)系求三角函數(shù)值19已知是第二象限角，為其終邊上一點且，則的值（ ）ABCD【答案】A【分析】由三角函數(shù)的定義可得，進而可得，弦化切，代入即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得，解得又是第二象限角，故選：A【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，考查了運算求解能力，屬于一般題目.20計算（ ）A4BCD2【答案】C【分析】切化弦后根據(jù)二倍角公式及輔助角公式化簡即可求值.【詳解】故選：C【點睛】本題主要考查了三角恒等變形，涉及二倍角公式，兩角和差的正弦、正切公式，切化弦的思想，屬于中檔題.21已知，則（ ）ABCD【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式、正弦的倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于正切的代數(shù)式，代值計算即可.【詳解】，而 ，且，故選：B【點睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、正弦的倍角公式化簡求值，屬于中檔題.二、多選題22在數(shù)學(xué)史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作，定義為角的余矢，記作，則下列命題中正確的是（ ）A函數(shù)在上是減函數(shù)B若，則C函數(shù)，則的最大值D【答案】BD【分析】由正矢和余矢的定義講四個選項中的已知條件化簡，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷選項A，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化弦為切可判斷選項B，利用誘導(dǎo)公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項C、D，進而可得正確選項.【詳解】由正矢和余矢的定義可得：對于選項A：所以在區(qū)間單調(diào)遞減，故選項A錯誤；對于選項B：因為，則，所以B正確；對于選項C：所以則的最大值，故選項C不正確，對于選項D：，故選項D正確；故選：BD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是讀懂三角函數(shù)正矢和余矢的定義，能將已知條件化簡，能熟練運用誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系齊次式化弦為切，屬于中檔題.三、填空題23已知，則的值為_【答案】【分析】由已知求得，再運用切化弦公式和誘導(dǎo)公式可得答案.【詳解】因為，所以，所以，解得，又，所以，故答案為：.24已知tan2，則 _.【答案】【分析】弦化切可求得結(jié)果.【詳解】.故答案為：25已知sincos，則tan的值是_.【答案】【分析】先通過已知求出，再化簡tan即得解.【詳解】由sincos得.tan.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是把sincos兩邊平方得到.26已知tan3，則sin2cos2_【答案】【分析】根據(jù)以及，進行弦化且可得結(jié)果.【詳解】因為，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了平方關(guān)系式和商數(shù)關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題27已知tan2tan，則_【答案】3【分析】由誘導(dǎo)公式對原式化簡，用兩角和差公式展開，分子分母同除，即可得結(jié)果.【詳解】故答案為：3【點睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、三角恒等變換等基本數(shù)學(xué)知識，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題目.28若，則_.【答案】【分析】根據(jù)同角公式得到，再根據(jù)二倍角公式得到，將所求式子用表示即可得到結(jié)果.【詳解】，則.故答案為：.【點睛】本題考查了同角公式、誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦、正切公式，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題29（1）若，求、；（2）若，求的值.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）分為第二象限角和第三象限角兩種情況討論，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得、的值；（2）在所求分式的分子和分母中同時除以，利用弦化切思想可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】（1），則角為第二象限角或第三象限角.若角為第二象限角，則，；若角為第三象限角，則，.綜上所述，若角為第二象限角，；若角為第三象限角，則，；（2），.30（1）已知方程，的值（2）已知是關(guān)于的方程的兩個實根，且，求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）由已知利用誘導(dǎo)公式化簡得到的值，再利用誘導(dǎo)公式化簡為含有的形式，代入即可；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，結(jié)合的范圍求出，進一步求出，即可求的值【詳解】解：（1）由得：，即， ；（2），是關(guān)于的方程的兩個實根， ，解得：， 又，即，解得：，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是化弦為切.31（1）已知，求的值（2）已知直線l過點，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，求直線l的方程【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）求出，弦化切得解；（2）設(shè)點斜式方程，利用三角形公式求得斜率得解.【詳解】（1），分子分母同除以，得；（2）顯然，直線l與兩坐標(biāo)軸不垂直，否則不構(gòu)成三角形，設(shè)的斜率為，則，則的方程為令，得；令，得于是直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，即，解得或l的方程為，或即或【點睛】本題第1小題考查弦化切運算，第2小題考查點斜式直線方程，屬于基礎(chǔ)題.32計算：已知，求下列各式的值（1）（2）【答案】（1）1；（2）2【分析】（1）已知式分子分母同除以后可解得值；（2）代數(shù)式看作分母為1的分式，然后分子與分母中的1都用代換化為關(guān)于的二次齊次分式，然后弦化切代入計算【詳解】解（1）同除有，解得：（2）【點睛】本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查弦切互化屬于基礎(chǔ)題33已知角的終邊經(jīng)過點，求下列各式的值.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再將弦化為切，代入即可得解；（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再利用誘導(dǎo)公式化簡，代入的值可得答案.【詳解】（1）由角的終邊經(jīng)過點，可知，則.（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，所以.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，考查了同角公式，考查了誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.34（1）已知，計算 的值 .（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）把轉(zhuǎn)化成正切則可求. （2）的分母看成1，用平方關(guān)系代換1，再轉(zhuǎn)化成正切即可.【詳解】解：（1） 原式=.（2）=.【點睛】已知三角函數(shù)值求函數(shù)值，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.35已知（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再弦化切，解得結(jié)果；（2）先弦化切，再代入切的值求解.【詳解】（1），；（2）原式分子分母同除以得：原式【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、弦化切，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.36求值：.【答案】1【分析】將所求關(guān)系式中的正切和余切化為正弦和余弦，通分，逆用二倍角的正弦及和兩角和差正余弦和差公式即可求出答案.【詳解】解：原式的分子，原式的分母，所以原式.【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，將所求關(guān)系式的正余切化為正余弦函數(shù)后通分是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題.37設(shè)，且，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)二倍角的余弦公式以及變形，再弦化切可求得結(jié)果；（2）由求出，由求出，再根據(jù)以及兩角差的余弦公式可得結(jié)果.【詳解】（1），.（2），.【點睛】本題考查了同角公式，考查了二倍角的余弦公式，考查了兩角差的余弦公式，屬于中檔題.38已知（1）求（2）若，求的值【答案】（1）；（2）-2.【分析】（1）已知等式分子分母同除以化為后可解得；（2）由，利用兩角和的正切公式計算【詳解】（1）因為，所以 （2）【點睛】本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系：商數(shù)關(guān)系，考查兩角和的正切公式，解題時要先確定已知角和未知角的關(guān)系，再確定選用的公式五、雙空題39若，則_；_.【答案】 【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角公式即可求解.【詳解】由，則，所以，.故答案為：；40已知=2，則tanx=_，sinxcosx=_.【答案】3 【分析】將=2中，分子分母同除以，即可得到；，將的值帶入即可得到答案.【詳解】因為=2，所以，解得，.故答案為：；【點睛】本題考查三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，涉及到構(gòu)造齊次式求式子的值，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.