高考數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)教師用書(shū)：第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題6 第15講　函數(shù)與方程 Word版含答案

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第15講函數(shù)與方程題型1函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第50頁(yè))核心知識(shí)儲(chǔ)備·1零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根2函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)g(x)的根，即函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)yg(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)典題試解尋法·【典題1】(考查數(shù)形結(jié)合法判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù))已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：圖象關(guān)于(1,0)點(diǎn)對(duì)稱；f(1x)f(1x)；當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)則函數(shù)yf(x)在區(qū)間3,3上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A5B6C7D8思路分析函數(shù)yf(x)在區(qū)間3,3上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)函數(shù)yf(x)與函數(shù)y在3,3上的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)下結(jié)論解析因?yàn)閒(1x)f(1x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，如圖，畫(huà)出f(x)以及g(x)在3,3上的圖象由圖可知，兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，所以函數(shù)yf(x)在區(qū)間3,3上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，故選A.答案A【典題2】(考查應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù))已知函數(shù)fn(x)xln x(nN*，e2.718 28為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)求曲線yf1(x)在點(diǎn)(1，f1(1)處的切線方程；(2)討論函數(shù)fn(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804105】解(1)因?yàn)閒1(x)xln xx2，所以f1(x)ln x12x，所以f1(1)121.又f1(1)1，所以曲線yf1(x)在點(diǎn)(1，f1(1)處的切線方程為y1(x1)，即yx.(2)令fn(x)0，得xln x0(nN*，x>0)，所以nln xx0.令g(x)nln xx，則函數(shù)fn(x)的零點(diǎn)與函數(shù)g(x)nln xx的零點(diǎn)相同因?yàn)間(x)1，令g(x)0，得xn，所以當(dāng)x>n時(shí)，g(x)<0；當(dāng)0<x<n時(shí)g(x)>0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，n上單調(diào)遞增，在區(qū)間n，)上單調(diào)遞減所以函數(shù)g(x)在xn處有最大值，且g(n)nln nn.當(dāng)n1時(shí)，g(1)ln 111<0，所以函數(shù)g(x)nln xx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)n2時(shí)，g(2)2ln 22<2ln e20，所以函數(shù)g(x)nln xx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)n3時(shí)，g(n)nln nnn(ln n1)n(ln 31)>n(ln e1)0，因?yàn)間(e2n)nln e2ne2n<2n24n2n2(13)n<2n2<2n213n3n(n1)n21<0，且g(1)<0，所以由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，可得函數(shù)g(x)nln xx在區(qū)間(1，n)和(n，)內(nèi)都恰有一個(gè)零點(diǎn)所以函數(shù)g(x)nln xx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.綜上所述，當(dāng)n1或n2時(shí)，函數(shù)fn(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)n3且nN*時(shí)，函數(shù)fn(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.類題通法1.求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的兩種方法：(1)由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷；(2)由函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)極值的正負(fù)來(lái)確定.2.零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論,對(duì)于不可求的零點(diǎn)，需要通過(guò)方程轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷.3.零點(diǎn)討論中的參數(shù),針對(duì)參數(shù)的討論有兩個(gè)方向：一是方程根的個(gè)數(shù)；二是參數(shù)對(duì)構(gòu)造的初等函數(shù)圖象形狀的影響.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1已知函數(shù)f(x)，則函數(shù)F(x)ff(x)2f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A4B5C6D7A(數(shù)形結(jié)合思想)令f(x)t，則函數(shù)F(x)可化為yf(t)2t，則函數(shù)F(x)的零點(diǎn)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為方程f(t)2t0有根的問(wèn)題令yf(t)2t0，即f(t)2t，如圖(1)，由數(shù)形結(jié)合得t10,1<t2<2，如圖(2)，再由數(shù)形結(jié)合得，當(dāng)f(x)0時(shí)，x2，有1個(gè)解，當(dāng)f(x)t2時(shí)，有3個(gè)解，所以F(x)ff(x)2f(x)共有4個(gè)零點(diǎn)故選A.圖(1)圖(2)2函數(shù)f(x)cos 2x在區(qū)間3,3上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A3B4C5D6 C設(shè)函數(shù)g(x)1x，h(x)cos 2x，則f(x)g(x)h(x)，g(x)1xx2x3x2 015x2 016(1x)x2(1x)x2 014(1x)x2 016.當(dāng)3x1時(shí)，顯然g(x)0；g(x)1x(x1)x3(x1)x2 015(x1)，當(dāng)1<x3時(shí)，顯然g(x)>0，所以g(x)在區(qū)間3,3上是增函數(shù)，又g(1)<0，g(0)1>0，所以g(x)在區(qū)間3,3上有且只有1個(gè)零點(diǎn)x0(1,0)，且x0.h(x)cos 2x在區(qū)間3,3上有4個(gè)零點(diǎn)：，所以函數(shù)f(x)g(x)h(x)在區(qū)間3,3上有5個(gè)零點(diǎn)題型強(qiáng)化集訓(xùn)·(見(jiàn)專題限時(shí)集訓(xùn)T2、T5、T6、T13、T14)題型2已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第51頁(yè))核心知識(shí)儲(chǔ)備·已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根或圖象有交點(diǎn))求參數(shù)的值或取值范圍常用的方法：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式，再通過(guò)解方程或不等式確定參數(shù)的值或取值范圍分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問(wèn)題加以解決數(shù)形結(jié)合法：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解典題試解尋法·【典題1】(考查已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍)(20xx·太原二模)已知f(x)x2ex，若函數(shù)g(x)f2(x)kf(x)1恰有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A(，2)(2，)B.C.D思路分析f(x)x2ex畫(huà)f(x)的圖象g(x)有四個(gè)零點(diǎn)方程t2kt10在和各有1解實(shí)數(shù)k的取值范圍解析(數(shù)形結(jié)合思想)f(x)xex(x2)，令f(x)>0，得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，2)，(0，)，令f(x)<0，得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,0)，所以f(2)4e2>0為函數(shù)f(x)的極大值，f(0)0為函數(shù)f(x)的極小值，故f(x)0，作出其函數(shù)圖象如圖所示因?yàn)楹瘮?shù)g(x)f2(x)kf(x)1恰有四個(gè)零點(diǎn)，令f(x)t，則關(guān)于t的方程t2kt10有兩個(gè)不相同的根，記為t1，t2，且0<t1<4e2,4e2<t2，所以，解得k>，故選D.答案D【典題2】(考查已知方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍)已知函數(shù)f(x)，其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804106】思路分析方程f(x)b有三個(gè)不同的根函數(shù)f(x)與函數(shù)yb有三個(gè)不同的交點(diǎn)依據(jù)m的取值畫(huà)函數(shù)f(x)的圖象求m的取值范圍解析f(x)當(dāng)x>m時(shí)，f(x)x22mx4m(xm)24mm2，其頂點(diǎn)為(m,4mm2)；當(dāng)xm時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與直線xm的交點(diǎn)為Q(m，m)當(dāng)即0<m3時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象如圖(1)所示，易得直線yb與函數(shù)f(x)的圖象有一個(gè)或兩個(gè)不同的交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)即m>3時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象如圖(2)所示，則存在實(shí)數(shù)b滿足4mm2<bm，使得直線yb與函數(shù)f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，符合題意綜上，m的取值范圍為(3，)圖(1) 圖(2)答案(3，)【典題3】(考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點(diǎn)中的應(yīng)用)(20xx·全國(guó)卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍思路分析求f(x)求函數(shù)的單調(diào)性及極值確定a的取值范圍解f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)設(shè)a0，則f(x)(x2)ex，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)a0，則當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增又f(1)e，f(2)a，取b滿足b0且bln ，則f(b)(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)設(shè)a0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，則ln(2a)1，故當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，因此f(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增又當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)若a<，則ln(2a)1，故當(dāng)x(1，ln(2a)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(ln(2a)，)時(shí)，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ln(2a)，)內(nèi)單調(diào)遞增又當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上，a的取值范圍為(0，) 類題通法已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍問(wèn)題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)：一是將原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，并進(jìn)行適當(dāng)化簡(jiǎn)、整理；二是構(gòu)造新的函數(shù)，把方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新構(gòu)造的兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題；三是對(duì)新構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行畫(huà)圖；四是觀察圖象，得參數(shù)的取值范圍.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1設(shè)x表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù)，如2.63，3.53.已知函數(shù)f(x)x22x，若函數(shù)F(x)f(x)k(x2)2在(1,4上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.2,5)B.5,10)C.5,10)D.5,10)B令F(x)0，得f(x)k(x2)2，作出函數(shù)yf(x)和yk(x2)2的圖象如圖所示若函數(shù)F(x)f(x)k(x2)2在(1,4上有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)f(x)和g(x)k(x2)2的圖象在(1,4上有兩個(gè)交點(diǎn)因?yàn)間(x)過(guò)定點(diǎn)P(2，2)，經(jīng)計(jì)算可得kPA5，kPB10，kPO1，kPC，所以k的取值范圍是5,10)故選B.2已知函數(shù)f(x)ex，若關(guān)于x的不等式f(x)22f(x)a0在0,1上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804107】(，e22e由f(x)22f(x)a0在0,1上有解，可得af(x)22f(x)，即ae2x2ex.令g(x)e2x2ex(0x1)，則ag(x)max，因?yàn)?x1，所以1exe，則當(dāng)exe，即x1時(shí)，g(x)maxe22e，即ae22e，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，e22e 題型強(qiáng)化集訓(xùn)·(見(jiàn)專題限時(shí)集訓(xùn)T1、T3、T4、T7、T8、T9、T10、T11、T12)三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第52頁(yè))1.(20xx·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零點(diǎn)，則a()ABCD1C法一：(換元法)f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，則g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函數(shù)g(t)為偶函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)，g(t)也有唯一零點(diǎn)又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)0，2a10，解得a.故選C.法二：(等價(jià)轉(zhuǎn)化法)f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”x22x(x1)211，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”若a0，則a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零點(diǎn)，則必有2a1，即a.若a0，則f(x)的零點(diǎn)不唯一故選C.2(20xx·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804108】A(2，)B(，2)C(1，)D(，1)Bf(x)3ax26x，當(dāng)a3時(shí)，f(x)9x26x3x(3x2)，則當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)>0；x時(shí)，f(x)<0；x時(shí)，f(x)>0，注意f(0)1，f>0，則f(x)的大致圖象如圖(1)所示圖(1)不符合題意，排除A、C.當(dāng)a時(shí)，f(x)4x26x2x(2x3)，則當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，x時(shí)，f(x)>0，x(0，)時(shí)，f(x)<0，注意f(0)1，f，則f(x)的大致圖象如圖(2)所示圖(2)不符合題意，排除D.3.(20xx·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ae2x(a2)exx.(1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍. 解(分類討論思想)(1)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)()若a0，則f(x)<0，所以f(x)在(，)單調(diào)遞減()若a>0，則由f(x)0得xln a.當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(ln a，)時(shí)，f(x)>0.所以f(x)在(，ln a)單調(diào)遞減，在(ln a，)單調(diào)遞增(2)()若a0，由(1)知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)()若a>0，由(1)知，當(dāng)xln a時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(ln a)1ln a.當(dāng)a1時(shí)，由于f(ln a)0，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a(1，)時(shí)，由于1ln a0，即f(ln a)>0，故f(x)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)a(0,1)時(shí)，1ln a0，即f(ln a)0.又f(2)ae4(a2)e22>2e22>0，故f(x)在(，ln a)有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)正整數(shù)n0滿足n0ln，則f(n0)e(aea2)n0en02n00.由于lnln a，因此f(x)在(ln a，)有一個(gè)零點(diǎn)綜上，a的取值范圍為(0,1)