高考數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)教師用書(shū)：第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題5 第13講　圓錐曲線中的綜合問(wèn)題 Word版含答案

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第13講圓錐曲線中的綜合問(wèn)題題型1圓錐曲線中的定值問(wèn)題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第43頁(yè))核心知識(shí)儲(chǔ)備·解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等與題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值典題試解尋法·【典題】已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值解(1)由題意有，1，解得a28，b24.所以C的方程為1.(2)證明：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMk·xMb.于是直線OM的斜率kOM，即kOM·k.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值類題通法 定值問(wèn)題的常見(jiàn)方法(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·已知橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)為F1(，0)，e.圖13­1(1)求橢圓C的方程； (2)如圖13­1，設(shè)R(x0，y0)是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，由原點(diǎn)O向圓(xx0)2(yy0)24引兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q，若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：k1k2為定值；(3)在(2)的條件下，試問(wèn)|OP|2|OQ|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由題意得，c，e，解得a2，橢圓C的方程為1.(2)由已知，直線OP：yk1x，OQ：yk2x，且與圓R相切，2，化簡(jiǎn)得(x4)k2x0y0k1y40，同理，可得(x4)k2x0y0k2y40， k1，k2是方程(x4)k22x0y0ky40的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，x40，0，k1k2.點(diǎn)R(x0，y0)在橢圓C上，1，即y6x，k1k2.(3)|OP|2|OQ|2是定值18.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立得，解得，xy，同理，可得xy.由k1k2，得|OP|2|OQ|2xyxy18.綜上：|OP|2|OQ|218.題型強(qiáng)化集訓(xùn)·(見(jiàn)專題限時(shí)集訓(xùn)T3)題型2圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第44頁(yè))核心知識(shí)儲(chǔ)備·1解決圓、圓錐曲線范圍問(wèn)題的方法(1)圓、圓錐曲線自身范圍的應(yīng)用，運(yùn)用圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍(2)參數(shù)轉(zhuǎn)化：利用引入?yún)?shù)法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來(lái)解決(3)構(gòu)造函數(shù)法：運(yùn)用求函數(shù)的值域、最值以及二次方程實(shí)根的分布等知識(shí)2求最值的方法(1)代數(shù)法：設(shè)變量、建立目標(biāo)函數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值注意靈活運(yùn)用配方法、導(dǎo)數(shù)法、基本不等式法等(2)幾何法：若題中的條件與結(jié)論有明顯的幾何特征和意義，則考慮利用圖形的幾何性質(zhì)來(lái)解決典題試解尋法·【典題】如圖13­2，已知橢圓y21上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線ymx對(duì)稱圖13­2(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804094】解(1)由題意知m0，可設(shè)直線AB的方程為yxb.由消去y，得x2xb210.因?yàn)橹本€yxb與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以2b220.設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則M，代入直線方程ymx，解得b.由得m或m.(2)令t，則|AB|·，且O到直線AB的距離d.設(shè)AOB的面積為S(t)，所以S(t)|AB|·d，當(dāng)且僅當(dāng)t2時(shí)，等號(hào)成立故AOB面積的最大值為.類題通法在研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí)，常涉及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、面積等問(wèn)題.一般是先聯(lián)立方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，用設(shè)而不求，整體代入的技巧進(jìn)行求解.易錯(cuò)警示：在設(shè)直線方程時(shí)，若要設(shè)成ykxm的形式，注意先討論斜率是否存在；若要設(shè)成xtyn的形式，注意先討論斜率是否為0.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·如圖13­3，點(diǎn)F1為圓(x1)2y216的圓心，N為圓F1上一動(dòng)點(diǎn)，且F2(1,0)，M，P分別是線段F1N，F(xiàn)2N上的點(diǎn)，且滿足·0，2.圖13­3(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F2的直線l(與x軸不重合)與軌跡E交于A，C兩點(diǎn)，線段AC的中點(diǎn)為G，連接OG并延長(zhǎng)交軌跡E于點(diǎn)B(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求四邊形OABC的面積S的最小值解(1)由題意，知MP垂直平分F2N，所以|MF1|MF2|4.所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a4，焦距2c2，所以a2，c1，b23.軌跡E的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，G(x0，y0)設(shè)直線AC的方程為xmy1，與橢圓方程聯(lián)立，可得(43m2)y26my90，所以y1y2，y1y2.由弦長(zhǎng)公式可得|AC|y1y2|，又y0，所以G.直線OG的方程為yx，與橢圓方程聯(lián)立得x2，所以B.點(diǎn)B到直線AC的距離d1，點(diǎn)O到直線AC的距離d2.所以S四邊形OABC|AC|(d1d2)63，當(dāng)且僅當(dāng)m0時(shí)取得最小值3.題型強(qiáng)化集訓(xùn)·(見(jiàn)專題限時(shí)集訓(xùn)T1、T4)題型3圓錐曲線中的探索性問(wèn)題(答題模板)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第45頁(yè))圓錐曲線中的存在性(探索性)問(wèn)題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)探索點(diǎn)是否存在；(2)探索曲線是否存在；(3)探索命題是否存在涉及這類命題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題(20xx·全國(guó)卷T20、20xx·全國(guó)卷T20)典題試解尋法·【典題】(本小題滿分12分)(20xx·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，(1)當(dāng)k0時(shí)，分別求C在；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有？說(shuō)明理由審題指導(dǎo)題眼挖掘關(guān)鍵信息看到直線與曲線C相交，想到設(shè)點(diǎn)、聯(lián)立方程、消元，表示x1x2，x1x2的值.看到曲線上某點(diǎn)處的切線，想到利用導(dǎo)數(shù)法求切線斜率；看到兩角相等，想到把角的相等轉(zhuǎn)化為直線斜率的關(guān)系.規(guī)范解答(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).2分，C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為 ya(x2)，即xya0.4分y在2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.5分6分(2)存在符合題意的點(diǎn)證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2將ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.8分故x1x24k，x1x24a.從而.10分當(dāng)ba時(shí)，有k1k20.則直線PM的傾斜角與直,線PN的傾斜角互補(bǔ)，故OPMOPN，所以點(diǎn)P(0，a)符合題意.12分閱卷者說(shuō)易錯(cuò)點(diǎn)防范措施忽視導(dǎo)數(shù)法求切線斜率導(dǎo)致思路不清.明確求切線斜率的方法，導(dǎo)數(shù)法求曲線上某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就等于該點(diǎn)處切線的斜率.忽視直線的形式及解答題的得分點(diǎn)失分.表示直線方程時(shí)無(wú)特殊要求一般采用直線的一般式，結(jié)論性、總結(jié)性的語(yǔ)句是得分點(diǎn)，一定不能省.忽視化簡(jiǎn)、消元致錯(cuò).當(dāng)式子中未知數(shù)較多時(shí)要注意消元，如此處把y1，y2代換為x1，x2，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.忽視轉(zhuǎn)化致思路不清.把條件轉(zhuǎn)化為熟知的知識(shí)，進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系，知OPMOPN轉(zhuǎn)化為kPMkPN0.類題通法1定點(diǎn)問(wèn)題的解法：(1)直線過(guò)定點(diǎn)：化為yy0k(xx0)，當(dāng)xx00時(shí)與k無(wú)關(guān)(2)曲線過(guò)定點(diǎn)：利用方程f(x，y)0對(duì)任意參數(shù)恒成立得出關(guān)于x，y的方程組，進(jìn)而求出定點(diǎn)2存在性問(wèn)題的解題步驟：一設(shè)：設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線等)存在；二列：用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組；三解：解方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線等)存在；否則，元素(點(diǎn)、直線等)不存在對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線2xy60相切(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)A，B為動(dòng)直線yk(x2)(k0)與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)E，使得2·為定值？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804095】解(1)由e，得，即ca，又以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓為x2y2a2，且該圓與直線2xy60相切，所以a，代入得c2，所以b2a2c22，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由得(13k2)x212k2x12k260.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.根據(jù)題意，假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E(m,0)，使得2·()··為定值，則·(x1m，y1)·(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)，要使上式為定值，即與k無(wú)關(guān)，只需3m212m103(m26)，解得m，此時(shí)，2·m26，所以在x軸上存在定點(diǎn)E使得2·為定值，且定值為.題型強(qiáng)化集訓(xùn)·(見(jiàn)專題限時(shí)集訓(xùn)T2)三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第46頁(yè))1(20xx·全國(guó)卷)已知橢圓C：1(ab0)四點(diǎn)P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上(1)求C的方程(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過(guò)定點(diǎn)解(1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn)又由知，橢圓C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在橢圓C上因此解得故橢圓C的方程為y21.動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程為y24x.(2)證明：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l：xt，由題設(shè)知t0，且|t|2，可得A，B的坐標(biāo)分別為，則k1k21，得t2，不符合題設(shè)從而可設(shè)l：ykxm(m1)將ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.由題設(shè)可知16(4k2m21)>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.而k1k2.由題設(shè)k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)·(m1)·0，解得k.當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過(guò)定點(diǎn)(2，1)2(20xx·全國(guó)卷)設(shè)圓x2y22x150的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍解(1)因?yàn)閨AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.由題設(shè)得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為1(y0)(2)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120，則x1x2，x1x2.所以|MN|x1x2|.過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m：y(x1)，點(diǎn)A到直線m的距離為，所以|PQ|24.故四邊形MPNQ的面積S|MN| PQ|12.可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，故四邊形MPNQ的面積為12.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8)