高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 雙曲線學案 理 北師大版

高考數(shù)學精品復習資料 2019.5第七節(jié)雙曲線考綱傳真(教師用書獨具)1.了解雙曲線的實際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡單應用(對應學生用書第144頁)基礎知識填充1雙曲線的定義(1)平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點的集合叫作雙曲線這兩個定點F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.當2a<|F1F2|時，M點的軌跡是雙曲線；當2a|F1F2|時，M點的軌跡是兩條射線；當2a>|F1F2|時，M點不存在2雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRya或ya，xR對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點頂點A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)實虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實軸，它的長|A1A2|2a；線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫作雙曲線的實半軸長，b叫作雙曲線的虛半軸長a、b、c的關系c2a2b2(c>a>0，c>b>0)知識拓展1三種常見雙曲線方程的設法(1)若已知雙曲線過兩點，焦點位置不能確定，可設方程為Ax2By21(AB<0)(2)當已知雙曲線的漸近線方程bx±ay0，求雙曲線方程時，可設雙曲線方程為b2x2a2y2(0)(3)與雙曲線1有相同的漸近線的雙曲線方程可設為(0)2等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線，其漸近線方程為y±x，離心率為e.基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線()(2)方程1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線(m>0，n>0，0)的漸近線方程是0，即±0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()答案(1)×(2)×(3)(4)2(教材改編)已知雙曲線1(a>0)的離心率為2，則a()A2B CD1D依題意，e2，所以2a，則a21，a1.3若雙曲線E：1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|3，則|PF2|等于()A11 B9 C5 D3B由題意知a3，b4，c5.由雙曲線的定義|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.4已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為()Ay21Bx21C1 D1A由題意可得解得a2，則b1，所以雙曲線的方程為y21，故選A5(20xx·全國卷)雙曲線1(a0)的一條漸近線方程為yx，則a_.5雙曲線的標準方程為1(a>0)，雙曲線的漸近線方程為y±x.又雙曲線的一條漸近線方程為yx，a5.(對應學生用書第145頁)雙曲線的定義及應用(1)已知雙曲線x21的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點若|PF1|PF2|，則F1PF2的面積為()A48B24C12D6(2)(20xx·湖北武漢調(diào)研)若雙曲線1的左焦點為F，點P是雙曲線右支上的動點，A(1,4)，則|PF|PA|的最小值是()A8B9C10D12(1)B(2)B(1)由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形，因此S|PF1|·|PF2|24.(2)由題意知，雙曲線1的左焦點F的坐標為(4,0)，設雙曲線的右焦點為B，則B(4,0)，由雙曲線的定義知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，當且僅當A，P，B三點共線且P在A，B之間時取等號所以|PF|PA|的最小值為9.規(guī)律方法1.應用雙曲線的定義需注意的問題在雙曲線的定義中，要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點間的距離”.若定義中的“絕對值”去掉，點的軌跡是雙曲線的一支.同時需注意定義的轉(zhuǎn)化應用.2.在焦點三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將|PF1|PF2|2a平方，建立與|PF1|·|PF2|間的聯(lián)系.跟蹤訓練已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1，F(xiàn)2，點A在C上若|F1A|2|F2A|，則cosAF2F1() 【導學號：79140294】A BC DA由e2得c2a，如圖，由雙曲線的定義得|F1A|F2A|2a.又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，cosAF2F1.雙曲線的標準方程(1)(20xx·全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點，則C的方程為()A1B1C1 D1(2)(20xx·湖北調(diào)考)已知點A(1,0)，B(1,0)為雙曲線1(a0，b0)的左、右頂點，點M在雙曲線上，ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則該雙曲線的標準方程為()Ax21Bx21Cx21Dx2y21(1)B(2)D(1)由yx可得.由橢圓1的焦點為(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程為1.故選B(2)由題意知a1.不妨設點M在第一象限，則由題意有|AB|BM|2，ABM120°.過點M作MNx軸于點N，則|BN|1，|MN|，所以M(2，)，代入雙曲線方程得41，解得b1，所以雙曲線的方程為x2y21，故選D規(guī)律方法求雙曲線標準方程的主要方法(1)定義法：由條件判定動點的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程.(2)待定系數(shù)法：即“先定位，后定量”，如果不能確定焦點的位置，應注意分類討論或恰當設置簡化討論.跟蹤訓練(1)已知雙曲線C：1的離心率e，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為()A1 B1C1 D1(2)設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為_(1)C(2)1由焦點F2(5,0)知c5.又e，得a4，b2c2a29.所以雙曲線C的標準方程為1.(2)由題意知橢圓C1的焦點坐標為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，設曲線C2上的一點P，則|PF1|PF2|8.由雙曲線的定義知：a4，b3.故曲線C2的標準方程為1，即1.雙曲線的幾何性質(zhì)角度1雙曲線的離心率問題(20xx·長沙模擬(二)已知雙曲線1(a0，b0)的漸近線與圓(x2)2y2相切，則該雙曲線的離心率為()A BCD3A由雙曲線1(a0，b0)的漸近線yx，即bxay0與圓相切得，即cb，則c23b23(c2a2)，化簡得ca，則該雙曲線的離心率為e，故選A角度2雙曲線的漸近線問題(20xx·合肥二檢)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為_y±x因為e，所以c2a2b23a2，故ba，則此雙曲線的漸近線方程為y±x±x.角度3雙曲線性質(zhì)的綜合應用(20xx·全國卷)已知F是雙曲線C：x21的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是(1,3)，則APF的面積為()A BC DD因為F是雙曲線C：x21的右焦點，所以F(2,0)因為PFx軸，所以可設P的坐標為(2，yP)因為P是C上一點，所以41，解得yP±3，所以P(2，±3)，|PF|3.又因為A(1,3)，所以點A到直線PF的距離為1，所以SAPF×|PF|×1×3×1.故選D規(guī)律方法與雙曲線幾何性質(zhì)有關問題的解題策略(1)求雙曲線的離心率(或范圍).依據(jù)題設條件，將問題轉(zhuǎn)化為關于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得.(2)求雙曲線的漸近線方程.依據(jù)題設條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進而得出雙曲線的漸近線方程.跟蹤訓練(1)(20xx·全國卷)若a>1，則雙曲線y21的離心率的取值范圍是()A(，)B(，2)C(1，)D(1,2)(2)(20xx·全國卷)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是()A(1,3)B(1，)C(0,3)D(0，)(3)(20xx·武漢調(diào)研)雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，焦點到漸近線的距離為3，則C的實軸長等于_. 【導學號：79140295】(1)C(2)A(3)8(1)由題意得雙曲線的離心率e.e21.a1，01，112，1e.故選C(2)若雙曲線的焦點在x軸上，則又(m2n)(3m2n)4，m21，1<n<3.若雙曲線的焦點在y軸上，則雙曲線的標準方程為1，即即n>3m2且n<m2，此時n不存在故選A(3)因為e，所以ca，設雙曲線的一條漸近線方程為yx，即axby0，焦點為(0，c)，所以b3，所以a，所以a216，即a4，故2a8.