浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點強(qiáng)化專題 專題2 突破點4 等差數(shù)列、等比數(shù)列 Word版含答案

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5專題二數(shù)列建知識網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系高考點撥數(shù)列專題是浙江新高考的必考專題之一，主要考查等差、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算及數(shù)列求和的能力，該部分即可單獨命題，又可與其他專題綜合命題，考查方式靈活多樣，結(jié)合浙江新高考的命題研究，本專題我們按照“等差、等比數(shù)列”和“數(shù)列求和及綜合應(yīng)用”兩條主線展開分析和預(yù)測突破點4等差數(shù)列、等比數(shù)列 (對應(yīng)學(xué)生用書第16頁) 核心知識提煉提煉1等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算(1)通項公式等差數(shù)列：ana1(n1)d；等比數(shù)列：ana1·qn1.(2)求和公式等差數(shù)列：Snna1d；等比數(shù)列：Sn(q1)(3)性質(zhì)若mnpq，在等差數(shù)列中amanapaq；在等比數(shù)列中am·anap·aq.提煉2等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法：(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明an1an(nN*)為同一常數(shù)；利用中項性質(zhì)，即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明(nN*)為同一常數(shù)；利用等比中項，即證明aan1an1(n2).提煉3數(shù)列中項的最值的求法(1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)an，利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進(jìn)行求解，但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)的限制(2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解，利用不等式an1an(或an1an)求解出n的取值范圍，從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化，進(jìn)而確定相應(yīng)的最值(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解，若求數(shù)列an的最大項，則可解不等式組若求數(shù)列an的最小項，則可解不等式組求出n的取值范圍之后，再確定取得最值的項高考真題回訪回訪1等差數(shù)列及其運(yùn)算1(20xx·浙江高考)已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4S6>2S5”的() 【導(dǎo)學(xué)號：68334059】A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件C法一：數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，S44a16d，S55a110d，S66a115d，S4S610a121d,2S510a120d.若d>0，則21d>20d,10a121d>10a120d，即S4S6>2S5.若S4S6>2S5，則10a121d>10a120d，即21d>20d，d>0.“d>0”是“S4S6>2S5”的充分必要條件故選C.法二：S4S6>2S5S4S4a5a6>2(S4a5)a6>a5a5d>a5d>0，“d>0”是“S4S6>2S5”的充分必要條件故選C.2(20xx·浙江高考)已知an是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn，若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則()Aa1d>0，dS4>0Ba1d<0，dS4<0Ca1d>0，dS4<0Da1d<0，dS4>0Ba3，a4，a8成等比數(shù)列，aa3a8，(a13d)2(a12d)(a17d)，展開整理，得3a1d5d2，即a1dd2.d0，a1d<0.Snna1d，S44a16d，dS44a1d6d2d2<0.3(20xx·浙江高考)已知等差數(shù)列an的公差d0.設(shè)an的前n項和為Sn，a11，S2·S336.(1)求d及Sn；(2)求m，k(m，kN*)的值，使得amam1am2amk65. 【導(dǎo)學(xué)號：68334060】解(1)由題意知(2a1d)(3a13d)36，2分將a11代入上式解得d2或d5.因為d0，所以d2，Snn2(nN*).5分(2)由(1)得amam1am2amk(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65.11分由m，kN*知2mk1k11，故所以15分4(20xx·浙江高考)在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比數(shù)列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解(1)由題意得，a1·5a3(2a22)2，由a110，an為公差為d的等差數(shù)列得，d23d40，2分解得d1或d4.所以ann11(nN*)或an4n6(nN*).5分(2)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.因為d0，由(1)得d1，ann11，6分所以當(dāng)n11時，|a1|a2|a3|an|Snn2n；8分當(dāng)n12時，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.11分綜上所述，|a1|a2|a3|an|15分回訪2等比數(shù)列及其運(yùn)算5(20xx·浙江高考)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.若S24，an12Sn1，nN*，則a1_，S5_.1121an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn13，數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，3.又S24，S11，a11，S5×34×34，S5121.6(20xx·浙江高考)已知an是等差數(shù)列，公差d不為零若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1a21，則a1_，d_. 【導(dǎo)學(xué)號：68334061】1a2，a3，a7成等比數(shù)列，aa2a7，(a12d)2(a1d)(a16d)，即2d3a10.又2a1a21，3a1d1.由解得a1，d1.7(20xx·浙江高考)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通項公式an；(2)求數(shù)列|ann2|的前n項和解(1)由題意得則2分又當(dāng)n2時，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，所以數(shù)列an的通項公式為an3n1，nN*.5分(2)設(shè)bn|3n1n2|，nN*，則b12，b21.當(dāng)n3時，由于3n1>n2，故bn3n1n2，n3.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，則T12，T23，10分當(dāng)n3時，Tn3，13分所以Tn15分 (對應(yīng)學(xué)生用書第17頁)熱點題型1等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算題型分析：以等差(比)數(shù)列為載體，考查基本量的求解，體現(xiàn)方程思想的應(yīng)用是近幾年高考命題的一個熱點，題型以客觀題為主，難度較小.【例1】(1)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，a1a330，S4120，設(shè)bn1log3an，那么數(shù)列bn的前15項和為() 【導(dǎo)學(xué)號：68334062】A152B135 C80D16(2)(20xx·臺州市高三年級調(diào)考)已知數(shù)列an的前m(m4)項是公差為2的等差數(shù)列，從第m1項起，am1，am，am1，成公比為2的等比數(shù)列若a12，則m_，an的前6項和S6_.(1)B(2)428(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a1a330，a2a4S4(a1a3)90，所以公比q3，首項a13，所以an3n，bn1log33n1n，則數(shù)列bn是等差數(shù)列，前15項的和為135，故選B.(2)由題意，得am1a1(m2)d2m6，am2m4，則由2，解得m4，所以數(shù)列an的前6項依次為2,0,2,4,8,16，所以S628.方法指津在等差(比)數(shù)列問題中最基本的量是首項a1和公差d(公比q)，在解題時往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個量的方程組，從而求出這兩個量，那么其他問題也就會迎刃而解.這就是解決等差、等比數(shù)列問題的基本量的方法，這其中蘊(yùn)含著方程思想的運(yùn)用.提醒：應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，務(wù)必注意公比q的取值范圍. 變式訓(xùn)練1(1)已知在數(shù)列an中，a11，an1an3，Sn為an的前n項和，若Sn51，則n_.(2)已知an為等差數(shù)列，若a1a5a98，則|an|前9項的和S9_，cos(a3a7)的值為_(1)6(2)24(1)由a11，an1an3，得an1an3，所以數(shù)列an是首項為1，公差為3的等差數(shù)列由Snn×351，即(3n17)(n6)0，解得n6或n(舍)(2)由an為等差數(shù)列得a1a5a93a58，解得a5，所以an前9項的和S99a59×24.cos(a3a7)cos 2a5cos cos .熱點題型2等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)題型分析：該熱點常與數(shù)列中基本量的運(yùn)算綜合考查，熟知等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)，可以大大提高解題效率.【例2】(1)已知實數(shù)列an是等比數(shù)列，若a2a5a88，則() 【導(dǎo)學(xué)號：68334063】A有最大值B有最小值C有最大值D有最小值(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，中最大的項為()A.B.C.D.(1)D(2)C(1)由題意可得a2a5a8a8，則a52.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則121，當(dāng)且僅當(dāng)，q2時取等號，所以有最小值，故選D.(2)由S1515a8>0，S1616×<0，可得a8>0，a9<0，d<0，故Sn最大為S8.又d<0，所以an單調(diào)遞減，因為前8項中Sn遞增，所以Sn最大且an取最小正值時有最大值，即最大，故選C.方法指津1若an，bn均是等差數(shù)列，Sn是an的前n項和，則mankbn，仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)2若an，bn均是等比數(shù)列，則can(c0)，|an|，an·bn，manbn(m為常數(shù))，a，仍為等比數(shù)列3公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即a2a1，a3a2，a4a3，成等比數(shù)列，且公比為q.4(1)等比數(shù)列(q1)中連續(xù)k項的和成等比數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比數(shù)列，其公比為qk.(2)等差數(shù)列中連續(xù)k項的和成等差數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差數(shù)列，公差為k2d.5若A2n1，B2n1分別為等差數(shù)列an，bn的前2n1項的和，則.變式訓(xùn)練2(1)在等比數(shù)列an中，已知a1a38，a5a74，則a9a11a13a15()A1B2C3D2或4(2)已知公比q不為1的等比數(shù)列an的首項a1，前n項和為Sn，且a2S2，a3S3，a4S4成等差數(shù)列，則q_，S6_.(1)C(2)(1)an為等比數(shù)列，a5a7是a1a3與a9a11的等比中項，(a5a7)2(a1a3)(a9a11)，故a9a112.同理a9a11是a5a7與a13a15的等比中項，(a9a11)2(a5a7)(a13a15)故a13a151.a9a11a13a15213.(2)由a2S2q，a3S3qq2，a4S4qq2q3成等差數(shù)列，得2qqq2q3，化簡得2q23q10，q1，解得q，所以S616.熱點題型3等差、等比數(shù)列的證明題型分析：該熱點常以數(shù)列的遞推關(guān)系為載體，考查學(xué)生的推理論證能力.【例3】已知數(shù)列an的前n項和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若S5，求. 【導(dǎo)學(xué)號：68334064】解(1)證明：由題意得a1S11a1，故1，a1，故a10.1分由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.2分由a10，0得an0，所以.3分因此an是首項為，公比為的等比數(shù)列，4分于是ann1.6分(2)由(1)得Sn1n.8分由S5得15，即5.13分解得1.15分方法指津判斷或證明數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列，一般是依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，或利用等差中項、等比中項進(jìn)行判斷.提醒：利用aan1·an1(n2)來證明數(shù)列an為等比數(shù)列時，要注意數(shù)列中的各項均不為0. 變式訓(xùn)練3已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由解(1)證明：由題設(shè)知anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，2分由于an10，所以an2an.4分(2)由題設(shè)知a11，a1a2S11，可得a21.5分由(1)知，a31.6分令2a2a1a3，解得4.7分故an2an4，由此可得a2n1是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3.9分a2n是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.13分所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列.15分