數(shù)學理一輪對點訓練：1012 橢圓的幾何性質(zhì) Word版含解析

高考數(shù)學精品復習資料 2019.51一個圓經(jīng)過橢圓1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為_答案2y2解析由題意知，圓過橢圓的三個頂點(4,0)，(0,2)，(0，2)，設圓心為(a,0)，其中a>0，由4a，解得a，所以該圓的標準方程為2y2.2.過點M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(a>b>0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于_答案解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.、兩式相減并整理得.把已知條件代入上式得，故橢圓的離心率e.3已知橢圓C：1(a>b>0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，則C的離心率e_.答案解析如圖，設右焦點為F1，|BF|x，則cosABF.解得x8，故AFB90.由橢圓及直線關于原點對稱可知|AF1|8，且FAF190，F(xiàn)AF1是直角三角形，|F1F2|10，故2a8614,2c10，e.4設橢圓E的方程為1(a>b>0)，點O為坐標原點，點A的坐標為(a,0)，點B的坐標為(0，b)，點M在線段AB上，滿足|BM|2|MA|，直線OM的斜率為.(1)求E的離心率e；(2)設點C的坐標為(0，b)，N為線段AC的中點，點N關于直線AB的對稱點的縱坐標為，求E的方程解(1)由題設條件知，點M的坐標為，又kOM，從而，進而得ab，c2b，故e.(2)由題設條件和(1)的計算結(jié)果可得，直線AB的方程為1，點N的坐標為.設點N關于直線AB的對稱點S的坐標為，則線段NS的中點T的坐標為.又點T在直線AB上，且kNSkAB1，從而有解得b3.所以a3，故橢圓E的方程為1.5如圖，橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求橢圓的標準方程；(2)若|PF1|PQ|，求橢圓的離心率e.解(1)由橢圓的定義，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.設橢圓的半焦距為c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2| 2，即c，從而b1.故所求橢圓的標準方程為y21.(2)解法一：連接QF1，如圖，設點P(x0，y0)在橢圓上，且PF1PF2，則1，xyc2，求得x0，y0.由|PF1|PQ|>|PF2|得x0>0，從而|PF1|222(a2b2)2a(a)2.由橢圓的定義，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.從而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PF2，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此(2)|PF1|4a，即(2)(a)4a，于是(2)(1)4，解得e .解法二：連接QF1，如上圖，由橢圓的定義，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.從而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此，4a2|PF1|PF1|.|PF1|2(2)a，從而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.由PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2，因此e .6.已知橢圓E：1(a>b>0)的半焦距為c，原點O到經(jīng)過兩點(c,0)，(0，b)的直線的距離為c.(1)求橢圓E的離心率；(2)如圖，AB是圓M：(x2)2(y1)2的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點，求橢圓E的方程解(1)過點(c,0)，(0，b)的直線方程為bxcybc0，則原點O到該直線的距離d，由dc，得a2b2，解得離心率.(2)解法一：由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，圓心M(2,1)是線段AB的中點，且|AB|.易知，AB與x軸不垂直，設其方程為yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.從而x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得 ，解得b23.故橢圓E的方程為1.解法二：由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，點A，B關于圓心M(2,1)對稱，且|AB|.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x4y4b2, x4y4b2，兩式相減并結(jié)合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0.易知AB與x軸不垂直，則x1x2，所以AB的斜率kAB.因此直線AB的方程為y(x2)1，代入得x24x82b20.所以x1x24，x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得 ，解得b23.故橢圓E的方程為1.7設橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B，已知|AB|F1F2|.(1)求橢圓的離心率；(2)設P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1，經(jīng)過原點O的直線l與該圓相切求直線l的斜率解(1)設橢圓右焦點F2的坐標為(c,0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2.又b2a2c2，則.所以橢圓的離心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2.故橢圓方程為1.設P(x0，y0)由F1(c,0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.又因為點P在橢圓上，故1.由和可得3x4cx00.而點P不是橢圓的頂點，故x0c，代入得y0，即點P的坐標為.設圓的圓心為T(x1，y1)，則x1c，y1c，進而圓的半徑rc.設直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為ykx.由l與圓相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4.所以，直線l的斜率為4或4.8已知橢圓C的中心在原點，離心率e，右焦點為F(，0)(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓的上頂點為A，在橢圓C上是否存在點P，使得向量與共線？若存在，求直線AP的方程；若不存在，簡要說明理由解(1)設橢圓C的方程為1(a>b>0)，又離心率e，右焦點為F(，0)，c，a2，b21，故橢圓C的方程為y21.(2)假設橢圓C上存在點P(x0，y0)，使得向量與共線(x0，y01)，(，1)，x0(y01)又點P(x0，y0)在橢圓y21上，y1.由解得或P(0，1)或P.當點P的坐標為(0，1)時，直線AP的方程為x0，當點P的坐標為P時，直線AP的方程為x4y40，故存在滿足題意的點P，直線AP的方程為x0或x4y40.9在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(a>b1)的離心率e，且橢圓C上一點N到Q(0,3)距離的最大值為4，過點M(3,0)的直線交橢圓C于點A、B.(1)求橢圓C的方程；(2)設P為橢圓上一點，且滿足t(O為坐標原點)，當|AB|<時，求實數(shù)t的取值范圍解(1)e2，a24b2，則橢圓方程為1，即x24y24b2.設N(x，y)，則|NQ|.當y1時，|NQ|有最大值，則4，解得b21，a24，故橢圓方程是y21.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，直線AB的方程為yk(x3)，由整理得(14k2)x224k2x36k240.則x1x2，x1x2，(24k2)216(9k21)(14k2)>0，解得k2<.由題意得(x1x2，y1y2)t(x，y)，則x(x1x2)，y(y1y2)k(x1x2)6k.由點P在橢圓上，得4，化簡得36k2t2(14k2)由|AB|x1x2|<，得(1k2)(x1x2)24x1x2<3，將x1x2，x1x2代入得(1k2)<3，化簡，得(8k21)(16k213)>0，則8k21>0，即k2>，<k2<.由得t29，由得3<t2<4，2<t<或<t<2.故實數(shù)t的取值范圍為2<t<或<t<2.