廣東省廣州市高考數(shù)學一輪復(fù)習 專項檢測試題：24 不等式恒成立問題的處理方法

高考數(shù)學精品復(fù)習資料 2019.5不等式恒成立問題的處理方法1、轉(zhuǎn)換為求函數(shù)的最值恒成立的最大值；恒成立的最小值。例1、已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù)。（1）試確定的值； （2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：（1）（2）略（3）由（2）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值。要使恒成立，只需，即，從而，解得或，的取值范圍為。例2、已知對任意恒成立，試求實數(shù)的取值范圍。解：等價于對任意恒成立，又等價于時，的最小值成立。由于在上為增函數(shù)，則，所以。例3、函數(shù)在上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，且當時，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：由得到：因為為奇函數(shù)，故有恒成立，又因為為減函數(shù)，從而有對恒成立；設(shè)，則對于恒成立，函數(shù)，對稱軸為。當時，即，又當，即時，即，又，當時，恒成立。故由可知：。2、主參換位例4、若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。 例5、若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：例6、已知函數(shù)，其中為實數(shù)。若不等式對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍。解：由題設(shè)知，對任意，不等式都成立，即，都成立。設(shè)（），則是一個以為自變量的一次函數(shù)。恒成立，則，為上的單調(diào)遞增函數(shù)。所以對任意，恒成立的充分必要條件是，于是的取值范圍是。3、分離參數(shù)（1）將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最?。┲?；（3）解不等式（或），得的取值范圍。適用題型：參數(shù)與變量能分離；函數(shù)的最值易求出。例7、當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 。解：當時，由得。令，則易知在上是減函數(shù)，所以時，則。例8、已知函數(shù)，其中。（1）當滿足什么條件時，取得極值；（2）已知，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，試用表示出的取值范圍。解：（1）（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增在上恒成立恒成立，；設(shè)，令得或（舍），當時，當時，單調(diào)增函數(shù)；當時，單調(diào)減函數(shù)，；當時，此時在區(qū)間恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，。綜上，當時， ；當時，。4、數(shù)形結(jié)合例9、若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 。解：，不等式恒成立，則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖象知，即。例10、當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。例11、已知關(guān)于的函數(shù)，其中，若當在區(qū)間內(nèi)任意取值時，的值恒為正，求實數(shù)的取值范圍。解：，令，則，則有，于是問題轉(zhuǎn)化為：當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。因為是關(guān)于的一次函數(shù)，則當時，恒成立的充要條件是，解得。所以當時，；當時，。