廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)項(xiàng)檢測(cè)試題：28 函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱(chēng)性

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱(chēng)性一、奇偶性1、奇函數(shù)的定義：一般地，如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)。 （1）定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；（2）對(duì)定義中的任意一個(gè)，都有；（3）圖象特征：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。（這是判斷奇函數(shù)的直觀方法）2、偶函數(shù)定義：一般地，如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)。（1）定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；（2）對(duì)定義中的任意一個(gè)，都有；（3）圖象特征：偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。（這是判斷偶函數(shù)的直觀方法）二、周期性周期函數(shù)的定義：對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱(chēng)函數(shù)具有周期性，叫做的一個(gè)周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期，并不是所有周期函數(shù)都存在最小正周期。例如，狄利克雷函數(shù)，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，取1；當(dāng)為非有理數(shù)時(shí)，取0。（1）如果函數(shù)滿(mǎn)足且，（和是不相等的常數(shù)），則是以為為周期的周期函數(shù)。（2）如果奇函數(shù)滿(mǎn)足（），則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。（3）如果偶函數(shù)滿(mǎn)足（），則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。 三、對(duì)稱(chēng)性1、函數(shù)圖象本身的對(duì)稱(chēng)性（自身對(duì)稱(chēng)）題設(shè)：函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)一切來(lái)說(shuō)，其中為常數(shù)，函數(shù)滿(mǎn)足：（1）函數(shù)圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)；（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)；（3）函數(shù)圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)；（4）函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)（偶函數(shù)）；（5）函數(shù)圖象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)；（6）函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)（奇函數(shù)）；（7）如果函數(shù)滿(mǎn)足且，（和是不相等的常數(shù)），則是以為為周期的周期函數(shù)；（8）如果奇函數(shù)滿(mǎn)足（），則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；（9）如果偶函數(shù)滿(mǎn)足（），則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。2、兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)性（相互對(duì)稱(chēng)）（利用解析幾何中的對(duì)稱(chēng)曲線軌跡方程理解）（1）曲線與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。（2）曲線與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。（3）曲線與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；（4）曲線與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。（5）曲線與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。（6）曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)曲線為。（7）曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)曲線為。（8）曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)曲線為。（9）曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)曲線為。注意：設(shè)，都有且有個(gè)實(shí)根，則所有實(shí)根之和為。例1：已知滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)且，若，求大小關(guān)系？解：由已知得，對(duì)稱(chēng)軸，也為一條對(duì)稱(chēng)軸，例2：若函數(shù)，有，求。解：，知的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，而的對(duì)稱(chēng)中心 ， ，則。例3：設(shè)是定義在上的函數(shù)，均有，當(dāng)時(shí)，求當(dāng)時(shí)，的解析式。解：由有得設(shè)，則，；，當(dāng)時(shí)，。