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廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)檢測(cè)試題:27 基本不等式

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廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)檢測(cè)試題:27 基本不等式

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5基本不等式例1:求證。分析:此問(wèn)題的關(guān)鍵是“靈活運(yùn)用重要基本不等式,并能由這一特征,思索如何將進(jìn)行變形,進(jìn)行創(chuàng)造”。證明:,兩邊同加得,即;,同理可得:,三式相加即得。例2:若正數(shù)、滿足,則的取值范圍是 。解:,令,得,或(舍去),的取值范圍是。說(shuō)明:本題的常見(jiàn)錯(cuò)誤有二。一是沒(méi)有舍去;二是忘了還原,得出。前者和后者的問(wèn)題根源都是對(duì)的理解,前者忽視了后者錯(cuò)誤地將視為。因此,解題過(guò)程中若用換元法,一定要對(duì)所設(shè)“元”的取值范圍有所了解,并注意還原之。例3:已知,求證證明:,三式相加,得,即說(shuō)明:這是一個(gè)重要的不等式,要熟練掌握。例4:已知是互不相等的正數(shù),求證:。證明:,同理可得:三個(gè)同向不等式相加,得說(shuō)明:此題中互不相等,故應(yīng)用基本不等式時(shí),等號(hào)不成立。特別地,時(shí),所得不等式仍不取等號(hào)。例5:(1)求的最大值。(2)求函數(shù)的最小值,并求出取得最小值時(shí)的值。(3)若,且,求的最小值。解:(1)即的最大值為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即,時(shí),取得此最大值。(2)的最小值為3,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取得此最小值。(3),即,即的最小值為2,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得此最小值。例6:求函數(shù)的最值。 分析:本例的各小題都可用最值定理求函數(shù)的最值,但是應(yīng)注意滿足相應(yīng)條件。如:,應(yīng)分別對(duì)兩種情況討論,如果忽視的條件,就會(huì)發(fā)生如下錯(cuò)誤:,解:當(dāng)時(shí),又,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),函數(shù)有最小值當(dāng)時(shí),又,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),函數(shù)最小值例7:求函數(shù)的最值。 分析:。但等號(hào)成立時(shí),這是矛盾的!于是我們運(yùn)用函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增這一性質(zhì),求函數(shù)的最值。解:設(shè),。當(dāng)時(shí),函數(shù)遞增,故原函數(shù)的最小值為,無(wú)最大值。例8:求函數(shù)的最小值。 分析:用換元法,設(shè),原函數(shù)變形為,再利用函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果?;蛴煤瘮?shù)方程思想求解。解:解法1:設(shè),故。由,得:,故:。函數(shù)為增函數(shù),從而。解法2:設(shè),知,可得關(guān)于的二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系,得:。又,故有一個(gè)根大于或等于2,設(shè)函數(shù),則,即,故。 說(shuō)明:本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解:。要知道,無(wú)實(shí)數(shù)解,即,所以原函數(shù)的最小值不是2。錯(cuò)誤原因是忽視了等號(hào)成立的條件。當(dāng)、為常數(shù),且為定值,時(shí),不能直接求最大(?。┲?,可以利用恒等變形,當(dāng)之差最小時(shí),再求原函數(shù)的最大(小)值。例9:求的最小值。分析:此題出現(xiàn)加的形式和平方,考慮利用重要不等式求最小值。解:由,得又得,即。 故的最小值是。例10:已知:,求證:。分析:根據(jù)題設(shè),可想到利用重要不等式進(jìn)行證明。證明:同理:,。說(shuō)明:證明本題易出現(xiàn)的思維障礙是:(1)想利用三元重要不等式解決問(wèn)題;(2)不會(huì)利用重要不等式的變式;(3)不熟練證明輪換對(duì)稱不等式的常用方法。因此,在證明不等式時(shí),應(yīng)根據(jù)求證式兩邊的結(jié)構(gòu),合理地選擇重要不等式。另外,本題的證明方法在證輪換對(duì)稱不等式時(shí)具有一定的普遍性。例11:已知,且,求的最大值。解法1:由,可得,。注意到??傻?,。當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,代入中得,故的最大值為18。解法2:,代入中得:,解此不等式得。下面解法見(jiàn)解法1,下略。說(shuō)明:解法1的變形是具有通用效能的方法,值得注意:而解法2則是抓住了問(wèn)題的本質(zhì),所以解得更為簡(jiǎn)捷。例12:若,且,求證:。分析:不等式右邊的數(shù)字“8”使我們聯(lián)想到可能是左邊三個(gè)因式分別使用基本不等式所得三個(gè)“2”連乘而來(lái),而。證明:,又,即。同理,。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立。 說(shuō)明:本題巧妙利用的條件,同時(shí)要注意此不等式是關(guān)于的輪換式。

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