二項(xiàng)分布與正態(tài)分布[共12頁]

宜賓市優(yōu)學(xué)堂培訓(xùn)學(xué)校二項(xiàng)分布與正態(tài)分布最新考綱1了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念2理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布3能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.知 識(shí) 梳 理1條件概率及其性質(zhì)條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)>0，稱P(B|A)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率(1)0P(B|A)1(2)若B，C是兩個(gè)互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2.事件的相互獨(dú)立性設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(AB)P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B)；事件A與，與B，與都相互獨(dú)立3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若用Ai(i1,2，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)(2)二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為XB(n，p)，并稱p為成功概率4正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<Xb)，(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為XN(，2)函數(shù)，(x)，xR的圖象(正態(tài)曲線)關(guān)于直線x對(duì)稱，在x處達(dá)到峰值.(2)正態(tài)總體三個(gè)基本概率值P(<X)0.682_6.P(2<X2)0.954_4.P(3X3)0.997_4.辨 析 感 悟1條件概率與相互獨(dú)立事件的概率(1)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B)( )(2)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率，一定有P(AB)P(A)·P(B)( )(3)(教材習(xí)題改編)袋中有5個(gè)小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是0.5. ( )2二項(xiàng)分布與正態(tài)分布(4)在正態(tài)分布函數(shù)，(x)中，是正態(tài)分布的期望值，是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差( )(5)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列，是一個(gè)用公式P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n表示的概率分布列，它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生次數(shù)的概率分布( )(6)(2014·揚(yáng)州調(diào)研改編)小王通過英語聽力測(cè)試的概率是，他連續(xù)測(cè)試3次，那么其中恰好第3次測(cè)試獲得通過的概率是PC·1·31.( )感悟·提升1古典概型中，A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)，其中，在實(shí)際應(yīng)用中P(B|A)是一種重要的求條件概率的方法2P(A·B)P(A)·P(B)只有在事件A、B相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立，此時(shí)P(B)P(B|A)，如(1)，(2)3判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)：一是是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是否均為p.二是隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)且P(Xk)Cpk(1p)nk表示在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率.考點(diǎn)一條件概率【例1】 (1)從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()A. B. C. D.(2)如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則P(B|A)_.規(guī)律方法 (1)利用定義，求P(A)和P(AB)，則P(B|A).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A).【訓(xùn)練1】 已知1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球，則兩次都取到紅球的概率是()A. B. C. D.考點(diǎn)二相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率【例2】 (2013·陜西卷改編)在一場(chǎng)娛樂晚會(huì)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號(hào)中選3名歌手(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率；(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求“X2”的事件概率規(guī)律方法 (1)解答本題關(guān)鍵是把所求事件包含的各種情況找出來，從而把所求事件表示為幾個(gè)事件的和事件(2)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算【訓(xùn)練2】 甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率規(guī)律方法 (1)求解本題關(guān)鍵是明確正態(tài)曲線關(guān)于x2對(duì)稱，且區(qū)間0,4也關(guān)于x2對(duì)稱(2)關(guān)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法熟記P(<X)，P(2<X2)，P(3<X3)的值充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.【訓(xùn)練3】 若在本例中，條件改為“已知隨機(jī)變量XN(3,1)，且P(2X4)0.682 6，”求P(X>4)的值考點(diǎn)四獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【例4】 某種有獎(jiǎng)銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”或“謝謝購(gòu)買”字樣，購(gòu)買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”字樣即為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)概率為.甲、乙、丙三位同學(xué)每人購(gòu)買了一瓶該飲料(1)求甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒有中獎(jiǎng)的概率；(2)求中獎(jiǎng)人數(shù)X的分布列規(guī)律方法 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在同樣的條件下重復(fù)地、各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的(2)求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件，然后求概率【訓(xùn)練4】 某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)小結(jié)1相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件是指兩個(gè)事件發(fā)生的概率互不影響，計(jì)算式為P(AB)P(A)P(B)互斥事件是指在同一試驗(yàn)中，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，計(jì)算公式為P(AB)P(A)P(B)2在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次可看做是C個(gè)互斥事件的和，其中每一個(gè)事件都可看做是k個(gè)A事件與(nk)個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，只是發(fā)生的次序不同，其發(fā)生的概率都是pk(1p)nk.因此n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為Cpk(1p)nk.3若X服從正態(tài)分布，即XN(，2)，要充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1. 易錯(cuò)辨析對(duì)二項(xiàng)分布理解不準(zhǔn)致誤【典例】 一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是.(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列；(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求Y的分布列【自主體驗(yàn)】(2013·遼寧卷)現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答(1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；(2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題設(shè)張同學(xué)答對(duì)每道甲類題的概率都是，答對(duì)每道乙類題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立用X表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1設(shè)隨機(jī)變量XB，則P(X3)的值是()A. B. C. D.2已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0，2)若P(X>2)0.023，則P(2X2)()A0.477 B0.628 C0.954 D0.9773(2014·湖州調(diào)研)國(guó)慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為，乙、丙去北京旅游的概率分別為，.假定三人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為()A. B. C. D.4甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是被甲擊中的概率為()A0.45 B0.6 C0.65 D0.755(2013·湖北卷改編)假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機(jī)變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0.則p0的值為()(參考數(shù)據(jù)：若XN(，2)，有P(<X)0.682 6，P(2<X2)0.954 4，P(3<X3)0.997 4.)A0.954 4 B0.682 6 C0.997 4 D0.977 2二、填空題6某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為_7某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問題，即停止答題，晉級(jí)下一輪假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.8，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪的概率等于_8有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為_三、解答題9根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3.設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立(1)求該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的一種的概率；(2)求該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率10某公交公司對(duì)某線路客源情況統(tǒng)計(jì)顯示，公交車從每個(gè)?？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)及頻率如下表：人數(shù)0671213181924253031人及以上頻率0.100.150.250.200.200.10(1)從每個(gè)?？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約是多少？(2)全線途經(jīng)10個(gè)?？奎c(diǎn)，若有2個(gè)以上(含2個(gè))?？奎c(diǎn)出發(fā)后乘客人數(shù)超過18人的概率大于0.9，公交公司就考慮在該線路增加一個(gè)班次，請(qǐng)問該線路需要增加班次嗎？- 13 -