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高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 平均不等式素材 新人教A版選修45

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高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 平均不等式素材 新人教A版選修45

平均不等式一、引入:1定理1:如果,那么(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”)證明: 指出定理適用范圍:強(qiáng)調(diào)取“=”的條件。2定理2:如果是正數(shù),那么(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”)證明: 即: 當(dāng)且僅當(dāng)時 注意:(1)這個定理適用的范圍:;(2)語言表述:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。3定理3:如果,那么(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”)證明: 上式0 從而指出:這里 就不能保證。推論:如果,那么。(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”)證明:4算術(shù)幾何平均不等式:如果 則:叫做這n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù),叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù);基本不等式: () 這個結(jié)論最終可用數(shù)學(xué)歸納法,二項(xiàng)式定理證明(這里從略)語言表述:n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。的幾何解釋:以為直徑作圓,在直徑AB上取一點(diǎn)C,過C作弦DDAB 則,從而,而半徑。二、典型例題:例1 已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù),求證:。證: 以上三式相加:例2 設(shè)為正數(shù),求證:。例3 設(shè),為正數(shù),證明:。例4 若,設(shè) 求證: 加權(quán)平均;算術(shù)平均;幾何平均;調(diào)和平均證:即:(俗稱冪平均不等式)由平均不等式即:綜上所述:6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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