（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第六章 平面向量、復數(shù) 6.4 平面向量的應用（第1課時）講義（含解析）.docx

6.4平面向量的應用最新考綱考情考向分析會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.主要考查平面向量與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等綜合性問題，求參數(shù)范圍、最值等問題是考查的熱點，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，偶爾會出現(xiàn)在解答題中，屬于中檔題.1向量在平面幾何中的應用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：問題類型所用知識公式表示線平行、點共線等問題共線向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直問題數(shù)量積的運算性質abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義cos(為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量長度問題數(shù)量積的定義|a|，其中a(x，y)，a為非零向量(2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題2向量在解析幾何中的應用向量在解析幾何中的應用，是以解析幾何中的坐標為背景的一種向量描述它主要強調向量的坐標問題，進而利用直線和圓錐曲線的位置關系的相關知識來解答，坐標的運算是考查的主體3向量與相關知識的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))、解析幾何結合，常通過向量的線性運算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關問題概念方法微思考1根據(jù)你對向量知識的理解，你認為可以利用向量方法解決哪些幾何問題？提示(1)線段的長度問題(2)直線或線段平行問題(3)直線或線段垂直問題(4)角的問題等2如何用向量解決平面幾何問題？提示用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題然后通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題，最后把運算結果“翻譯”成幾何關系題組一思考辨析1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)若，則A，B，C三點共線()(2)在ABC中，若<0，則ABC為鈍角三角形()(3)若平面四邊形ABCD滿足0，()0，則該四邊形一定是菱形()(4)已知平面直角坐標系內(nèi)有三個定點A(2，1)，B(0，10)，C(8,0)，若動點P滿足：t()，tR，則點P的軌跡方程是xy10.()題組二教材改編2P108A組T5已知ABC的三個頂點的坐標分別為A(3，4)，B(5,2)，C(1，4)，則該三角形為()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰直角三角形答案B解析(2，2)，(4，8)，(6，6)，|2，|4，|6，|2|2|2，ABC為直角三角形3P113A組T1在平面直角坐標系xOy中，若定點A(1,2)與動點P(x，y)滿足4，則點P的軌跡方程是_答案x2y40解析由4，得(x，y)(1,2)4，即x2y4.題組三易錯自糾4在ABC中，已知(2,3)，(1，k)，且ABC的一個內(nèi)角為直角，則實數(shù)k的值為_答案或或解析若A90，則有0，即23k0，解得k；若B90，則有0，因為(1，k3)，所以23(k3)0，解得k；若C90，則有0，即1k(k3)0，解得k.綜上所述，k或或.5在四邊形ABCD中，(1,2)，(4,2)，則該四邊形的面積為_答案5解析依題意得1(4)220，所以，所以四邊形ABCD的面積為|5.6已知點P在圓x2y21上，點A的坐標為(2,0)，O為坐標原點，則的最大值為_答案6解析方法一由題意知，(2,0)，令P(cos，sin)，則(cos2，sin)(2,0)(cos2，sin)2cos46，故的最大值為6.方法二由題意知，(2,0)，令P(x，y)，1x1，則(2,0)(x2，y)2x46，故的最大值為6.第1課時平面向量在幾何中的作用題型一向量在平面幾何中的應用命題點1向量和平面幾何知識的綜合例1(1)如圖，在梯形ABCD中，ABCD，CD2，BAD，若2，則_.答案12解析(1)方法一因為2，所以，所以.因為ABCD，CD2，BAD，所以2|cos，化簡得|2.故()|2(2)222cos12.方法二如圖，建立平面直角坐標系xAy.依題意，可設點D(m，m)，C(m2，m)，B(n,0)，其中m>0，n>0，則由2，得(n,0)(m2，m)2(n,0)(m，m)，所以n(m2)2nm，化簡得m2.故(m，m)(m2，m)2m22m12.(2)(2018浙江聯(lián)盟校聯(lián)考)已知動點P是邊長為的正方形ABCD的邊上任意一點，MN是正方形ABCD的外接圓O的一條動弦，且MN，則的取值范圍是_答案解析如圖，取MN的中點H，連接PH，則，因為MN，所以222，當且僅當點P，H重合時取到最小值當P，H不重合時，連接PO，OH，易得OH，則2()222222|cosPOH2|cosPOH2|，當且僅當P，O，H三點共線，且P在A，B，C，D其中某一點處時取到等號，所以21，故的取值范圍為.命題點2三角形的“四心”例2已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足()，(0，)，則點P的軌跡一定通過ABC的()A內(nèi)心B外心C重心D垂心答案C解析由原等式，得()，即()，根據(jù)平行四邊形法則，知是ABC的中線AD(D為BC的中點)所對應向量的2倍，所以點P的軌跡必過ABC的重心引申探究1在本例中，若動點P滿足，(0，)，則如何選擇？答案A解析由條件，得，即，而和分別表示平行于，的單位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以點P的軌跡必過ABC的內(nèi)心2在本例中，若動點P滿足，(0，)，則如何選擇？答案D解析由條件，得，從而0，所以，則動點P的軌跡一定通過ABC的垂心命題點3平面向量與解三角形例3(1)O是ABC的外心(三角形外接圓的圓心)若，則BAC等于()A30B45C60D90答案C解析取BC的中點D，連接AD，則2.由題意得32，AD為BC的中線且O為重心又O為外心，ABC為正三角形，BAC60，故選C.(2)在ABC中，AB8，AC6，AD垂直BC于點D，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，若6，則BC等于()A2B10C2D14答案A解析由題意，知DEAE4，DFAF3，|cosEDF|6，|，BC2.思維升華向量與平面幾何綜合問題的解法(1)坐標法把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵校瑒t有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決(2)基向量法適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關系構造關于未知量的方程進行求解跟蹤訓練1 (1)(2018杭州二模)設P為ABC所在平面上一點，且滿足34m(m0)若ABP的面積為8，則ABC的面積為_答案14解析由34m，可得，可設，則D，A，C共線，且D在線段AC上，可得，D分AC的比為43，C到直線AB的距離等于P到直線AB的距離的倍，故SABCSABP814.(2)(2018浙江十校聯(lián)盟適應性考試)已知正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DEEA，CF2FB，如果對于常數(shù)，在正方形ABCD的四條邊上(不含頂點)有且僅有2個不同的點P，使得，則的取值范圍為_答案解析由題意作出圖形如圖所示，連接EF，取EF的中點G，連接PG，則()()()()22222.由已知和圖形可得以點G為圓心，PG為半徑的圓只能與AB相交，與BC，AD，CD相離，得PG，易得.題型二向量在解析幾何中的應用命題點1向量共線的應用例4 (1)已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A，B，C三點共線，當k<0時，若k為直線的斜率，則過點(2，1)的直線方程為_(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為_答案(1)2xy30(2)(2,4)解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k<0可知k2，則過點(2，1)且斜率為2的直線方程為y12(x2)，即2xy30.(2)在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，2.設點D的坐標為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點D的坐標為(2,4)命題點2解析幾何中的最值問題例5 (1)(2018浙江鎮(zhèn)海中學模擬)已知點P在雙曲線1上，點A滿足(t1)(tR)，且64，(0,1)，則|的最大值為()A.B.C.D.答案B解析(t1)，t，(xA，yA)t(xP，yP)又點(xP，yP)在雙曲線上，1，x16t2，64，|t|264，|t|64，將代入上式整理得16|t|64，即6416|t|2|yA|，當且僅當|t|時取等號，|yA|，|(0,1)(xA，yA)|.|的最大值為.(2)(2018紹興市適應性考試)已知正三角形ABC的邊長為4，O是平面ABC內(nèi)的動點，且AOB，則的最大值為_答案解析設ABC的外接圓為O，則O的直徑，2R，R，以O為原點，以OC為y軸建立平面坐標系如圖所示，則(4,0)，AOBACB，O的軌跡為優(yōu)弧，設(a，b)，顯然當O為圓O與x軸負半軸的交點時，a取得最大值.4a，即的最大值為.命題點3平面向量與幾何動點問題例6 (1)(2018杭州二中交流卷)已知矩形ABCD的面積為2，M，N分別是AD，BC的中點，點P為線段MN上的動點，則P2的最小值是_答案解析分別以AB，AD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，A為坐標原點，設B(m,0)，M(0，n)，P(x，n)(m>0，n>0)，則mn1，(x，n)，(mx，n)2x2mxn2m22n2m2n2m2，而n2m2mn，故當x且nm，即當m，n，x時，2取最小值.(2)(2018紹興、諸暨期末)已知ABC，滿足，點D為線段AB上一動點，若的最小值為3，則ABC的面積S等于()A9B9C18D18答案D解析因為，所以由平面向量的基本定理得，記|3m，|2m(其中m>0)，則由|m，得cosA，設t(1t0)，故t(t)3m2(3t2t)m23，即m212，因此SABC|sinA18，故選D.思維升華向量在解析幾何中的“兩個”作用(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的關系，從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題(2)工具作用：利用abab0(a，b為非零向量)，abab(b0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法跟蹤訓練2 (1)已知點A在橢圓1上，點P滿足(1)(R)(O是坐標原點)，且72，則線段OP在x軸上投影的最大值為_答案15解析因為(1)，所以，即O，A，P三點共線，因為72，所以|272，設A(x，y)，OA與x軸正方向的夾角為，線段OP在x軸上的投影為|cos|x|15，當且僅當|x|時取等號(2)(2018浙江寧波高三適應性考試)已知點M為單位圓x2y21上的動點，點O為坐標原點，點A在直線x2上，則的最小值為_答案2解析由題意得()|2|2|cos，其中為向量和的夾角，因為點A在直線x2上，所以|2，則由二次函數(shù)的性質易得當|2時，|2|cos取得最小值42cos，則當cos1，即向量和方向相反時，取得最小值2.1在ABC中，()|2，則ABC的形狀一定是()A等邊三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案C解析由()|2，得()0，即()0,20，A90.又根據(jù)已知條件不能得到|，故ABC一定是直角三角形2已知點A(2,0)，B(3,0)，動點P(x，y)滿足x2，則點P的軌跡是()A圓B橢圓C雙曲線D拋物線答案D解析(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2，y2x6，即點P的軌跡是拋物線3(2018湖州質檢)已知O是ABC的外心，C45，若mn(m，nR)，則mn的取值范圍是()A， B，1)C，1) D(1，答案B解析O是ABC的外心，C45，AOB90，又mn，兩邊平方可得m2n21，(mn)22(m2n2)2，當且僅當mn時，等號成立，mn.又由題意可知，m，n不能同時為正，mn1，故mn的取值范圍是，1)4(2018溫州高考適應性測試)如圖，已知ABC的邊BC的垂直平分線交BC于點Q，交AC于點P，若|1，|2，則的值為()A3B.C.D.答案B解析連接AQ，因為PQ垂直平分BC，所以，()，所以()()()(22)(2212).故選B.5過拋物線y22px(p>0)的焦點F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A，與拋物線的準線的交點為B，點A在拋物線的準線上的射影為C，若，48，則拋物線的方程為()Ay28xBy24xCy216xDy24x答案B解析如圖所示，由，得F為線段AB的中點，|AF|AC|，ABC30，由48，得|BC|4.則|AC|4，由中位線的性質，有p|AC|2，故拋物線的方程為y24x.故選B.6(2018浙江六校協(xié)作體聯(lián)考)已知O為坐標原點，(3,1)，|，當AOB的面積取得最大值時，等于()A(2，4) B(4,2)C(2，4)或(4,2) D(2，4)或(4,2)答案C解析方法一由于|，則點B在以點O(0,0)為圓心，為半徑的圓上，由數(shù)形結合易知，要使AOB的面積取得最大值，則需滿足.設(a，b)，則解得或當時，(1，3)，則(1，3)(3,1)(2，4)；當時，(1,3)，則(1,3)(3,1)(4,2)綜上，(2，4)或(4,2)故選C.方法二由于|，則點B在以點O(0,0)為圓心，為半徑的圓上，由數(shù)形結合易知，要使AOB的面積取得最大值，則需滿足.在平面直角坐標系中，畫出向量，當如圖1所示時，過點A作AAx軸于點A，過點B作BBx軸于點B，則OBBAOA，又|，所以RtAOARtOBB，則|OB|AA|1，|BB|OA|3，所以B(1，3)，(1，3)，(1，3)(3,1)(2，4)，當如圖2所示時，同理可得B(1,3)，(1,3)，(1,3)(3,1)(4,2)，綜上，(2，4)或(4,2)故選C.7已知向量(3，4)，(0，3)，(5m，3m)，若點A，B，C能構成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是_答案m解析由題意得(3,1)，(2m,1m)，若A，B，C能構成三角形，則，不共線，則3(1m)1(2m)，解得m.8(2009浙江改編)設向量a，b滿足：|a|3，|b|4，ab0，以a，b，ab的模為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為_答案4解析由|a|3，|b|4及ab0知ab，故a，b，ab構成直角三角形，且|ab|5.又其內(nèi)切圓半徑為1.如圖所示將內(nèi)切圓向上或向下平移可知該圓與該直角三角形最多有4個交點9已知圓C：(x2)2y24，圓M：(x25cos)2(y5sin)21(R)，過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE，PF，切點分別為E，F(xiàn)，則的最小值是_答案6解析圓C：(x2)2y24的圓心為C(2,0)，半徑等于2，圓M：(x25cos)2(y5sin)21，圓心M(25cos，5sin)，半徑等于1.|CM|5>21，兩圓相離如圖所示，設直線CM和圓M交于H，G兩點，則的最小值是.|HC|CM|1514，|HE|HF|2，sinCHE，cosEHFcos2CHE12sin2CHE，|cosEHF226.10已知點D為ABC所在平面上一點，且滿足，若ACD的面積為1，則ABD的面積為_答案4解析由，得54，所以4()，即4.所以點D在邊BC上，且|4|，所以SABD4SACD4.11已知直線2xy20與x軸、y軸的交點分別為A，B，橢圓1(a>b>0)的左焦點F1和上頂點D，若0，則該橢圓的離心率e_.答案解析因為直線2xy20與x軸、y軸的交點分別為A，B，所以A(1,0)，B(0，2)，又F1(c,0)，D(0，b)，所以(c,2)，(1，b)因為0，所以c2b0，所以，即，所以，所以該橢圓的離心率e.12.如圖，設正BCD的外接圓O的半徑為R，點A在BD下方的圓弧上，則的最小值為_答案解析因為|2|(|1)2，因為R|2R，而<R<，所以當|1時，取到最小值.13.如圖，已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P在第一象限，且滿足|a，()0，線段PF2與雙曲線C交于點Q，若5，則雙曲線C的漸近線方程為()AyxByxCyxDyx答案B解析由()0，可得|2c，|QF1|a，|QF2|，在QF1F2中，由余弦定理得，cosF1F2Q，即，ca，ba，雙曲線的漸近線方程為yx.14(2018浙江杭州市地區(qū)聯(lián)考)在ABC中，AB5，AC4，BAC60，M為ABC內(nèi)一點，SMABSMCBSMAC123，則等于()A.BC.D答案C解析如圖，延長BM交AC于點D，由SMABSMCBSMAC123，可得SMACSCAB，所以M為BD的中點，設k，則SABDkSCBD，SAMDkSCMD，兩式相減得SMABkSMCB，故k.所以，.所以22162554.15(2018杭州市高級中學仿真測試)記mina，b已知向量a，b，c滿足|a|1，|b|2，且ab1，若cab(，0，且21)，則當minac，bc取最大值時，|c|_.答案1解析設向量a與b的夾角為，則ab|a|b|cos2cos1，所以cos，所以60，不妨設a(1,0)，b(1，)，則c(，)(1，)，所以ac1，bc12.由0，得112，所以minac，bc1，因為120，解得，所以，所以當0時，minac，bc取得最大值，此時c(1,0)，則|c|1.16(2018臺州質檢)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點P是其外接圓O上的任意一點，若a2，bc，則222的最大值為_答案解析以BC的中點O為原點，以所在方向為x軸正方向，所在方向為y軸正方向，建立平面直角坐標系，則A(0,2)，B(，0)，C(，0)，可得外接圓的圓心O為，半徑為，所以圓O的方程為x22.設P，則，所以222222222sin.