（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第六章 平面向量、復(fù)數(shù) 6.4 平面向量的應(yīng)用（第2課時(shí)）平面向量的綜合應(yīng)用講義（含解析）.docx

第2課時(shí)平面向量的綜合應(yīng)用題型一平面向量與數(shù)列例1(2018浙江名校協(xié)作體考試)設(shè)數(shù)列xn的各項(xiàng)都為正數(shù)且x11.ABC內(nèi)的點(diǎn)Pn(nN*)均滿足PnAB與PnAC的面積比為21，若xn1(2xn1)0，則x4的值為()A15B17C29D31答案A解析因?yàn)閤n1(2xn1)0，所以(2xn1)xn1，如圖，設(shè)(2xn1)，以PnA和PnD為鄰邊作平行四邊形PnDEA，所以xn1，所以，所以，又，所以，所以，所以xn12xn1，又x11，所以x23，x37，x415，故選A.思維升華向量與其他知識(shí)的結(jié)合，多體現(xiàn)向量的工具作用，利用向量共線或向量數(shù)量積的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，“脫去”向量外衣，利用其他知識(shí)解決即可跟蹤訓(xùn)練1(1)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1a2018，且A，B，C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)點(diǎn)O)，則S2018等于()A1009B1008C2017D2018答案A解析因?yàn)閍1a2018，且A，B，C三點(diǎn)共線，a1a20181，又?jǐn)?shù)列an是等差數(shù)列，S20181009.(2)(2018浙江新高考預(yù)測(cè))角A，B，C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量m滿足|m|，且m，當(dāng)角A最大時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P使得|，|，|成等差數(shù)列，則的最大值是_答案解析設(shè)BC2a，BC的中點(diǎn)為D.由題意得|m|2221cos(BC)1cos(BC)cosBcosCsinBsinC，則cosBcosCsinBsinC，化簡(jiǎn)得tanBtanC，則tanAtan(BC)(tanBtanC)2，當(dāng)且僅當(dāng)tanBtanC時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)角A最大時(shí)，A，BC，則易得AD.因?yàn)閨，|，|成等差數(shù)列，所以2|，則點(diǎn)P在以B，C為焦點(diǎn)，以2|4a為長(zhǎng)軸的橢圓上，由圖(圖略)易得當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的與點(diǎn)A在直線BC的異側(cè)的頂點(diǎn)時(shí)，|取得最大值，此時(shí)|a，則|，所以.題型二和向量有關(guān)的最值問(wèn)題命題點(diǎn)1與平面向量基本定理有關(guān)的最值問(wèn)題例2(1)(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)測(cè)試)已知ABC內(nèi)接于圓O，且A60，若xy(x，yR)，則x2y的最大值是()A.B1C.D2答案D解析設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.由xy，得x2y，xy2，所以解得所以x2y2222(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取等號(hào))，故選D.(2)(2018溫州模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB3，AD4，M，N分別為線段BC，CD上的點(diǎn)，且滿足1，若xy，則xy的最小值為_(kāi)答案解析連接MN交AC于點(diǎn)G.由勾股定理，知MN2CM2CN2，所以1，即MNCMCM，所以C到直線MN的距離為定值1，此時(shí)MN是以C為圓心，1為半徑的圓的一條切線(如圖所示)，xy(xy).由向量共線定理知，(xy)，所以xy，又因?yàn)閨max514，所以xy的最小值為.命題點(diǎn)2與數(shù)量積有關(guān)的最值問(wèn)題例3(1)(2017浙江)如圖，已知平面四邊形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC與BD交于點(diǎn)O，記I1，I2，I3，則()AI1I2I3BI1I3I2CI3I1I2DI2I1I3答案C解析I1I2()，又與所成角為鈍角，I1I20，即I1I2.I1I3|cosAOB|cosCODcosAOB(|)，又AOB為鈍角，OAOC，OBOD，I1I30，即I1I3.I3I1I2，故選C.(2)(2018紹興市柯橋區(qū)質(zhì)檢)已知向量a，b，c滿足|b|c|2|a|1，則(ca)(cb)的最大值是_，最小值是_答案3解析由題意得|a|，|b|c|1，則(ca)(cb)|c|2cbcaab|c|2(abc)2(|a|2|b|2|c|2)(abc)2，則當(dāng)向量a，b，c同向共線時(shí)，(ca)(cb)取得最大值23，當(dāng)abc0時(shí)，(ca)(cb)取得最小值.命題點(diǎn)3與模有關(guān)的最值問(wèn)題例4 (1)(2018浙江金華一中考試)已知，是空間兩兩垂直的單位向量，xyz，且x2y4z1，則|的最小值為_(kāi)答案解析方法一由題意可設(shè)(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)由x2y4z1，得x12y4z.由xyz(x，y，z)，則|，所以|的最小值為.方法二由方法一得|，又x2y4z1表示一個(gè)平面，所以|的最小值d為定點(diǎn)(1,1,0)到平面x2y4z1的距離，即d.(2)(2018浙江學(xué)軍中學(xué)模擬)已知平面向量a，b，c滿足|a|3，|b|c|5,0<<1，若bc0，則|ab(bc)|的最小值為_(kāi)答案3解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)a，則A在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)設(shè)b，c，則bc，取DBC，設(shè)(bc)，則(1)(bc)，取EOC使得c，則|ab(bc)|，|，|ab(bc)|，作點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E，則|，由E(0,2)易得E(3,5)，|ab(bc)|33，且知當(dāng)A，D在線段OE上時(shí)取等號(hào)，|ab(bc)|的最小值為3.思維升華和向量有關(guān)的最值問(wèn)題，要回歸向量的本質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合、基本不等式或者函數(shù)的最值求解跟蹤訓(xùn)練2 (1)(2013浙江)設(shè)ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0BAB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有，則()AABC90BBAC90CABACDACBC答案D解析設(shè)BC中點(diǎn)為M，連接P0M，則2222同理22恒成立，|恒成立即P0MAB，取AB的中點(diǎn)N，連接CN，又P0BAB，則CNAB，ACBC.故選D.(2)(2018臺(tái)州期末)已知m，n是兩個(gè)非零向量，且|m|1，|m2n|3，則|mn|n|的最大值為()A.B.C4D5答案B解析因?yàn)?m2n)24n24mn19，所以n2mn2，所以(mn)2m22mnn25n2，所以|mn|n|n|.令|n|x(0<x)，f(x)x，則f(x)1.由f(x)0，得x(舍負(fù))，所以當(dāng)0<x<時(shí)，f(x)>0，當(dāng)<x時(shí)，f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f(x)maxf，故選B.(3)將一圓的八個(gè)等分點(diǎn)分成相間的兩組，連接每組的四個(gè)點(diǎn)得到兩個(gè)正方形，去掉兩個(gè)正方形內(nèi)部的八條線段后可以形成一個(gè)正八角星，如圖所示，設(shè)正八角星的中心為O，并且e1，e2.若將點(diǎn)O到正八角星16個(gè)頂點(diǎn)的向量都寫成為e1e2，R的形式，則的最大值為_(kāi)答案1解析由題意知，要取得最大值，必然是點(diǎn)O到正八角星的7個(gè)頂點(diǎn)的向量在如圖所示的，中的一個(gè)向量e1，此時(shí)1；(1)e1(1)e2，此時(shí)；()e1e2，此時(shí)1；e1e2，此時(shí)2；()e1e2，此時(shí)1；(1)(1)e1e2，此時(shí)；e2，此時(shí)1.綜上所述，的最大值為1.題型三和向量有關(guān)的創(chuàng)新題例5稱d(a，b)|ab|為兩個(gè)向量a，b間的“距離”若向量a，b滿足：|b|1；ab；對(duì)任意的tR，恒有d(a，tb)d(a，b)，則()AabBb(ab)Ca(ab) D(ab)(ab)答案B解析由于d(a，b)|ab|，因此對(duì)任意的tR，恒有d(a，tb)d(a，b)，即|atb|ab|，即(atb)2(ab)2，t22tab(2ab1)0對(duì)任意的tR都成立，因此有(2ab)24(2ab1)0，即(ab1)20，得ab10，故abb2b(ab)1120，故b(ab)思維升華解答創(chuàng)新型問(wèn)題，首先需要分析新定義(新運(yùn)算)的特點(diǎn)，把新定義(新運(yùn)算)所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，然后應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中，這是破解新定義(新運(yùn)算)信息題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在跟蹤訓(xùn)練3定義一種向量運(yùn)算“”：ab(a，b是任意的兩個(gè)向量)對(duì)于同一平面內(nèi)向量a，b，c，e，給出下列結(jié)論：abba；(ab)(a)b(R)；(ab)cacbc；若e是單位向量，則|ae|a|1.以上結(jié)論一定正確的是_(填上所有正確結(jié)論的序號(hào))答案解析當(dāng)a，b共線時(shí)，ab|ab|ba|ba，當(dāng)a，b不共線時(shí)，ababbaba，故是正確的；當(dāng)0，b0時(shí)，(ab)0，(a)b|0b|0，故是錯(cuò)誤的；當(dāng)ab與c共線時(shí)，存在a，b與c不共線，(ab)c|abc|，acbcacbc，顯然|abc|acbc，故是錯(cuò)誤的；當(dāng)e與a不共線時(shí)，|ae|ae|<|a|e|<|a|1，當(dāng)e與a共線時(shí)，設(shè)aue，uR，|ae|ae|uee|u1|u|1，故是正確的綜上，結(jié)論一定正確的是.1在平面直角坐標(biāo)系中，若|a|b|c|2，且ab0，(ac)(bc)0，則|abc|的取值范圍是()A0,22 B0,2C 22,22 D22,2答案D解析在平面直角坐標(biāo)系中，由于|a|b|c|2，且ab0，設(shè)a(2,0)，b(0,2)，c(2cos，2sin)，則(ac)(bc)(22cos，2sin)(2cos，22sin)44(sincos)0，即sincos1，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)知1sincos，所以|abc|，22,2，故選D.2(2018紹興質(zhì)檢)已知不共線的兩個(gè)非零向量a，b滿足|ab|2ab|，則()A|a|<2|b|B|a|>2|b|C|b|<|ab|D|b|>|ab|答案A解析設(shè)向量a，b的夾角為，則由|ab|2ab|，得(ab)2(2ab)2，即|a|22|a|b|cos|b|24|a|24|a|b|cos|b|2，化簡(jiǎn)得|a|2|b|cos.因?yàn)橄蛄縜，b不共線，所以cos(0,1)，所以|a|<2|b|，故選A.3(2018浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)已知向量a，b滿足|ab|4，|ab|3，則|a|b|的取值范圍是()A3,5B4,5C3,4D4,7答案B解析由題意知|a|b|max|ab|，|ab|4(當(dāng)a，b共線時(shí)等號(hào)成立)，又(|a|b|)2|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|2)|ab|2|ab|225(當(dāng)|a|b|時(shí)取等號(hào))，所以|a|b|5，故|a|b|的取值范圍是4,54(2014浙江)記maxx，yminx，y設(shè)a，b為平面向量，則()Amin|ab|，|ab|min|a|，|b|Bmin|ab|，|ab|min|a|，|b|Cmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2Dmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2答案D解析由于|ab|，|ab|與|a|，|b|的大小關(guān)系與夾角大小有關(guān)，故A，B錯(cuò)當(dāng)a，b夾角為銳角時(shí)，|ab|>|ab|，此時(shí)，|ab|2>|a|2|b|2；當(dāng)a，b夾角為鈍角時(shí)，|ab|<|ab|，此時(shí)，|ab|2>|a|2|b|2；當(dāng)ab時(shí)，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故選D.5(2018臺(tái)州市三區(qū)三校適應(yīng)性考試)已知a，b為單位向量，且ab，|ca|c2b|，則|c2a|cb|的最小值是()A5B.C.D.答案B解析在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不妨令a(1,0)，b(0,1)，設(shè)c(x，y)，則|ca|c2b|，易知C(x，y)的軌跡為線段2xy20(0x1)，|c2a|cb|，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)(2,0)，(0,1)與線段上點(diǎn)的距離之和的最小值，易知最小值為點(diǎn)(2,0)與點(diǎn)(0,1)之間的距離，為.6.如圖，在扇形OAB中，AOB，C為弧AB上與A，B不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且xy，若uxy(>0)存在最大值，則的取值范圍為()A(1,3) B.C.D.答案D解析設(shè)BOC，則AOC，因?yàn)閤y，所以即解得xcoscossin，ycossin，所以u(píng)sinsincossin()，其中tan，因?yàn)?<<，要使u存在最大值，只需滿足>，所以>，整理得>0，解得<<2，故選D.7設(shè)向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定義一種運(yùn)算：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知向量m，n.點(diǎn)P在ycosx的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在yf(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)，且滿足mn(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則yf(x)在區(qū)間上的最大值是()A4B2C2D2答案A解析設(shè)(x0，y0)，(x，y)，由題意可得y0cosx0，(x，y)mn(x0，y0)，即xx0，y4y0，即x02x，y0y，所以ycos，即y4cos.因?yàn)辄c(diǎn)Q在yf(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)，所以f(x)4cos，當(dāng)x時(shí)，02x，所以當(dāng)2x0時(shí)，f(x)取得最大值4.8已知ABC的外心為O，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且0，則a，b，c的關(guān)系為_(kāi)，cosB的取值范圍為_(kāi)答案a22c23b2解析設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為D，則ODAC，從而有()0b2，同理有c2，()b2c2，同理有c2a2，a2b2，由0，得a22c23b2.cosB(當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)取等號(hào))，又cosB<1，cosB<1.9(2019溫州模擬)設(shè)向量a，b滿足|ab|2|ab|，|a|3，則|b|的最大值是_；最小值是_答案91解析由|ab|2|ab|兩邊平方，得a22abb24(a22abb2)，化簡(jiǎn)得3a23b210ab10|a|b|，|b|210|b|90，解得1|b|9.10(2018紹興市上虞區(qū)質(zhì)檢)已知ABC的外接圓圓心為O，且A60，若(，R)，則的最大值為_(kāi)答案解析記|c，|b，由，得則由平面向量的數(shù)量積的幾何意義，得故(12)(12)，由基本不等式，有2()13132，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，解得(2舍)11(2018浙江衢州二中模擬)已知a(cos，sin)，b(sin，cos)，且.若c滿足|cab|2，則的取值范圍是_答案2，2解析因?yàn)?ab)222(cossinsincos)22sin()3，即|ab|.又|c|ab|c(ab)|c|ab|，則解得2|c|2，故2，212在ABC中，已知CA2，CB6，ACB60，點(diǎn)O滿足(>0)，mn，m，nR，且n，則|的取值范圍是_答案解析以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系不妨假設(shè)A在x軸上方，則B(6,0)，A(1，)由可得直線CO的方程為yx.設(shè)O，其中x>0.由mn，得mn，所以解得n.由n，可得x，所以|x.13如圖所示，已知點(diǎn)D為ABC的邊BC上一點(diǎn)，3，En(nN*)為邊AC上的一系列點(diǎn)，滿足an1(3an2)，其中實(shí)數(shù)列an中，an0，a11，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an_.答案23n11解析因?yàn)?，所以().設(shè)m，則由an1(3an2)，得0，即man1，m(3an2)，所以an1(3an2)，所以an113(an1)因?yàn)閍112，所以數(shù)列an1是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an123n1，所以an23n11.14(2018浙江重點(diǎn)中學(xué)考試)已知在ABC中，ACAB，AB3，AC4.若點(diǎn)P在ABC的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，則()的最小值為_(kāi)答案2解析因?yàn)锳CAB，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AC所在的直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(0,0)，B(3,0)，C(0,4)由題意可知ABC內(nèi)切圓的圓心為D(1,1)，半徑為1.因?yàn)辄c(diǎn)P在ABC的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，所以可設(shè)P(1cos，1sin)(02)所以(1cos，1sin)，(12cos，22sin)，所以()(1cos)(12cos)(1sin)(22sin)1cos2cos222sin21cos112，當(dāng)cos1，即P(0,1)時(shí)，()取到最小值，且最小值為2.15(2018浙江杭州二中考試)如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心，AB為半徑的圓弧(在正方形內(nèi)，包括邊界點(diǎn))上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是_若向量，則的最小值為_(kāi)答案0,1解析以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則易得A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，E，P(cos，sin)，則(cos，sin)(cos1，sin)cos2cossin21cos，又因?yàn)?，所以1cos0,1由，得(1,1)(cos，sin)，所以解得則，當(dāng)時(shí)，5，當(dāng)時(shí)，設(shè)f(x)(x0)，則f(x)>0(x0)，所以函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增；則當(dāng)tan0時(shí)，取得最小值.綜上所述，的最小值為.16已知非零向量a，b，c滿足|a|b|2ab1，且ac和bc的夾角為，則(ac)(bc)的最小值是_答案解析由題可知，單位向量a和b的夾角為，又ac和bc的夾角為，所以點(diǎn)C的軌跡是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓的劣弧和劣弧關(guān)于直線AB對(duì)稱的弧，即過(guò)點(diǎn)A，O，B的弧(如圖)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于AB的直線為x軸(向右為正方向)，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A，B.當(dāng)點(diǎn)C在劣弧上時(shí)，設(shè)C(cos，sin)，則有ac，bc，所以(ac)(bc)cos.當(dāng)點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)A，O，B的弧上時(shí)，設(shè)C(1cos，sin)，則有ac，bc，所以(ac)(bc)3cos，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值.故(ac)(bc)的最小值為.